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| Aufgabe | Gegeben ist die reelle DGL
(1 − y)y′ = (1 + y)y.
a) Bestimmen Sie alle konstanten Lösungen von y.
b) Ermitteln Sie alle Punkte [mm] (x_{0}, y_{0}), [/mm] durch die keine Lösungskurve der DGL geht.
Hinweis: Explizit hingeschriebene nicht-konstanten Lösungen werden nicht verlangt. |
hi,
ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
zu a) alle konstanten lösungen sind ja y=0 und y=-1 wenn ich das richtig sehe. aber damit kann ich die aufgabe b) nicht lösen. dazu muss ich eine lösung berechnen und sie nich erkennen. das ist aber mein problem.
ich stelle die dgl um auf:
[mm] \bruch{y'}{1+y}=\bruch{y}{1-y}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{}^{}{
\bruch{y'}{1+y}} dy=\integral_{}^{}{\bruch{y}{1-y}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln|1+y|=1-y-ln|1-y|
[mm] \gdw e^{ln|1+y|}=e^{1-y-ln|1-y|}
[/mm]
[mm] \gdw 1+y=e^{1-y}*e^{-ln|1-y|}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{y+1}{y-1}=e^{1-y}
[/mm]
so, und jetzt hab ich ja n y in [mm] e^{1-y} [/mm] das ich soleicht nicht wegbekomme, bzw beim logarithmieren hätt ich links wieder n [mm] ln|\bruch{y+1}{y-1}| [/mm] zu stehe...
hab ich falsch integriert? oda falsch umgestellt? ich komm hier einfach nich weiter. wär nett, wenn mir jemand den entscheidenden tipp geben könnte ;)
sg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Sa 01.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Reicheinstein,
ich denke, wenn unter der Aufgabe schon der steht, dass keine allgemeine Lösung erwartet wird, dann muß man sie auch ohne dies lösen können. Ein halbwegs systematischer Weg ist vielleicht das Zeichen des Richtungsfeldes.
Ich hab mal mit Maple einen Plot gemacht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man kann auch durch weiteres Betrachten der DGl versuchen eine Idee zu bekommen.
Aus beidem fällt auf, dass für y = 1 eine Singularität vorliegt; man erkennt, dass die linke Seite 0 wird, die rechte aber für dieses y nicht 0 ist.
Gruß
Uli
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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vielen dank für die antwort.
heißt singulär also, dass die eine seite 0 werden muss, die andere aber nich? d.h. [mm] (x_{0}, [/mm] 1), [mm] x_{0}\in\IR [/mm] wär also die menge aller punkte, durch die keine lösungskurve geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 So 02.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Reicheinstein,
ja, durch [mm] (x_{0},1), x_{0} \in \IR [/mm] gehen keine Lösungen. Den Begriff "Singularität" benutzt man im allgemeinen, wenn eine "0 im Nenner" vorkommt. Dies wäre hier der Fall, wenn man die DGl in der Form y'(x) = [mm] \bruch{(1+y)y}{(1-y)} [/mm] ansieht; da wird für y=1 der Nenner 0 und damit die Ableitung [mm] \infty; [/mm] das sieht man auch sehr schön am Richtungsfeld.
Gruß
Uli
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ahh ok, wunberbar, verstanden ;) danke
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