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| Aufgabe 1 | Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
[mm] y'(t)=(1+\bruch{2}{t})y(t) [/mm] |
| Aufgabe 2 | Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
[mm] y'(t)=ty(t)=2t^{2}y(t) [/mm] |
Hallo zusammen! Ich bin im ersten Semester Physik und habe leider das Thema Differentialgleichungen ein bisschen vernachlässigt. Inzwischen habe ich irgendwie komplett den Überblick verloren. Da bei uns momentan noch Ferien sind, würde ich das gerne versuchen aufzuholen.
Also die erste Aufgabe macht auf mich eigentlich einen recht einfachen Eindruck, aber ich weiß nicht, wie ich das formal angehen soll. Wenn ich die Stammfunktion von [mm] (1+\bruch{2}{t}) [/mm] bilde und diese bei der e-Funktion in den Exponenten schreibe, löst das doch die Differentialgleichung, oder? [mm] e^{t+2ln(t)}
[/mm]
Natürlich wurden uns auch verschiedenen Methoden genannt, um DGLen zu lösen, aber hier reicht es doch zu integrieren, oder? Ich sitze jetzt seit ein paar Stunden an dem Übungsblatt und meinen Aufzeichnungen aus der Vorlesung, aber blicke jetzt gar nicht mehr durch. :(
Wäre super, wenn jemand das Schritt für Schritt mit mir durchgehen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
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> [mm]y'(t)=(1+\bruch{2}{t})y(t)[/mm]
> Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
>
> [mm]y'(t)=ty(t)=2t^{2}y(t)[/mm]
> Hallo zusammen! Ich bin im ersten Semester Physik und habe
> leider das Thema Differentialgleichungen ein bisschen
> vernachlässigt. Inzwischen habe ich irgendwie komplett den
> Überblick verloren. Da bei uns momentan noch Ferien sind,
> würde ich das gerne versuchen aufzuholen.
>
> Also die erste Aufgabe macht auf mich eigentlich einen
> recht einfachen Eindruck, aber ich weiß nicht, wie ich das
> formal angehen soll. Wenn ich die Stammfunktion von
> [mm](1+\bruch{2}{t})[/mm] bilde und diese bei der e-Funktion in den
> Exponenten schreibe, löst das doch die
> Differentialgleichung, oder? [mm]e^{t+2ln(t)}[/mm]
>
Da erhätst du erstens nur eine spezielle und nicht die allgemeine Lösung (was man aber hier noch reparieren könnte). Zweitsens aber wirst du mit dieser 'Methode' nicht sehr weit kommen. Sagt dir die Methode der Trennung der Variablen etwas? Damit formt man die erste DGL um zu
[mm] \bruch{dy}{y}=\left(1+\bruch{2}{t}\right)*dt
[/mm]
Das löse mal durch Integration und vergiss die Integrationskonstante nicht!
Die zweite Aufgabe solltest du erst einmal eindeutig angeben. Soll das jetzt auf der rechten Seite t*y(t) oder [mm] 2t^2*y(t) heißen?
[/mm]
> Natürlich wurden uns auch verschiedenen Methoden genannt,
> um DGLen zu lösen,
Welche? Das solltest du stets mit angeben!
> aber hier reicht es doch zu
> integrieren, oder?
In der Tat, aber n ur wenn man sich der BEdeutung der Integrationskonstanten bewusst ist.
> Ich sitze jetzt seit ein paar Stunden an
> dem Übungsblatt und meinen Aufzeichnungen aus der
> Vorlesung, aber blicke jetzt gar nicht mehr durch. :(
Das ist zwar bedauerlich aber im Sinne einer zielführenden Klärung völlig irrelevant.
Das mit dem 'Schritt für Schritt durchgehen', das halten wir hier so: du präsentierst eine Rechnung, wir schauen das an und geben Tipps, wo etwas falsch gelaufen ist, oder wir bestätigen die Richtigkeit. Aber vorrechnen, das machen wir hier eigentlich nicht, das ist nicht Sinn und Zweck eines solchen Forums.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant, vielen Dank für Deine ausführliche Antwort!
Trennung der Variablen sagt mir etwas. In unserem Skript steht dazu:
Eine Differentialgleichung mit trennbaren (separierbaren) Variablen hat die Form $y'(x) = f(x,y) = u(x)*v(y) $
Hier habe ich schon das erste Verständnisproblem: bei der DGL, die ich lösen soll, kommt als abhängige Variable doch nur ein $t$ vor. Deswegen habe ich die Möglichkeit der Trennung der Variablen gar nicht erst in Betracht gezogen. Also ich verstehe in diesem Zusammenhang die Bedeutung der Variablen $x$ und $y$ nicht, wenn ich in meiner Aufgabe doch nur eine abhängige Variable habe.
$ [mm] \bruch{dy}{y}=\left(1+\bruch{2}{t}\right)\cdot{}dt [/mm] $
Aber weiter im Text. Warum habe ich bei $ [mm] \bruch{dy}{y}$ [/mm] im Nenner nur noch ein $y$ stehen, wenn die Funktion vorher doch $y(t)$ lautete?
[mm] \bruch{dy}{y}=\left(1+\bruch{2}{t}\right)\cdot{}dt \Rightarrow \int \bruch{dy}{y} [/mm] = [mm] \int \left(1+\bruch{2}{t}\right)\cdot{}dt \Rightarrow \ln(y)+C=t+2\ln(t)+C
[/mm]
Bei der zweiten Aufgabe habe ich mich leider verschrieben, die lautet eigentlich:
$y'(t)+ty(t)=2t^2y(t)$
Viele Grüße
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Hiho,
> Trennung der Variablen sagt mir etwas. In unserem Skript
> steht dazu:
>
> Eine Differentialgleichung mit trennbaren (separierbaren)
> Variablen hat die Form [mm]y'(x) = f(x,y) = u(x)*v(y)[/mm]
>
> Hier habe ich schon das erste Verständnisproblem: bei der DGL, die ich lösen soll, kommt als abhängige Variable doch nur ein [mm]t[/mm] vor.
Nein, nach der obigen Notation kommt da sowohl t als auch y vor, aber klären wir das mal langsam. Du schriebst ja:
> Eine Differentialgleichung mit trennbaren (separierbaren)
> Variablen hat die Form [mm]y'(x) = f(x,y) = u(x)*v(y)[/mm]
Eigentlich ist die obere Form unsauber aufgeschrieben, korrekt müsste sie heißen:
[mm]y'(x) = f(x,y(x)) = u(x)*v(y(x))[/mm]
D.h. die Ableitung von y ist eine Funktion, die von x und y abhängt, wobei du beachten musst, dass y selbst ja eine Funktion abhängig von x ist.
Und genau das ist bei deiner DGL doch gegeben:
$ [mm] y'(t)=(1+\bruch{2}{t})y(t) [/mm] $
Hier kannst du sofort ablesen, was deine Funktion u(t) ist und was v(y(t)) ist, nämlich was?
> [mm]\bruch{dy}{y}=\left(1+\bruch{2}{t}\right)\cdot{}dt[/mm]
>
> Aber weiter im Text. Warum habe ich bei [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] im
> Nenner nur noch ein [mm]y[/mm] stehen, wenn die Funktion vorher doch
> [mm]y(t)[/mm] lautete?
Das ist das selbe Problem wie oben. Man lässt das Argument von Funktionen weg, wenn klar ist, welches Argument gemeint ist. Dir war das einfach nicht klar und du hast recht mit deiner Verwirrung, weil das eigentlich unsauber ist.
Viele Verfahren beim Lösen von DGLs und/oder Integralen sind eben "quick and dirty", führen aber schnell zum korrekten Ergebnis. Einem muss eben nur bewusst sein, was gemeint ist.
>
> [mm]\bruch{dy}{y}=\left(1+\bruch{2}{t}\right)\cdot{}dt \Rightarrow \int \bruch{dy}{y}[/mm] = [mm]\int \left(1+\bruch{2}{t}\right)\cdot{}dt \Rightarrow \ln(y)+C=t+2\ln(t)+C[/mm]
Hier könnte man jetzt bspw. sofort fragen, woher das dt denn plötzlich kommt auf der rechten Seite. Da ist Diophant meiner Meinung nach auch ein bisschen zu schnell vorgeprescht.
Im Skript habt ihr die Lösungsform für DGLs, die man mit "Trennung der Variablen" lösen kann, sicher direkt hingeschrieben in Abhängigkeit von u und v.
Das "schnelle Umformen" hat folgenden Hintergrund:
$ [mm] y'(t)=(1+\bruch{2}{t})y(t) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \bruch{y'(t)}{y(t)} [/mm] = [mm] (1+\bruch{2}{t})$
[/mm]
Und aus der Gleichheit beider Seiten folgt eben auch die Gleichheit beider Integrale:
[mm] $\integral \bruch{y'(t)}{y(t)} [/mm] dt = [mm] \integral (1+\bruch{2}{t}) [/mm] dt$
Substituiert man Links nun y(t) durch x, erhält man:
[mm] $\integral \bruch{1}{x} [/mm] dx = [mm] \integral (1+\bruch{2}{t}) [/mm] dt$
Und erhält beides Integrale, die man lösen kann.
Soviel zum kurzen "quick and dirty" - Abriss. Ihr sollt sicherlich aus eurem Skript in Lösungsformen einfach einsetzen.
> Bei der zweiten Aufgabe habe ich mich leider verschrieben,
> die lautet eigentlich:
>
> [mm]y'(t)+ty(t)=2t^2y(t)[/mm]
Ist doch prima. Forme diese so um, dass du wiederum die Trennung der Variablen verwenden kannst.
Gruß,
Gono.
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