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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Do 28.01.2010 | | Autor: | KCT1987 |
Hi, ich hab ein Problem mit einer DGL.
Sie lautet:
y'(x) [mm] =(2y(x)+1)*\bruch{x}{x ^2+1}
[/mm]
Also ich habs wie folgt gemacht:
zuerst ausmultiplizert und umgeformt:
[mm] y'(x)-\bruch{2x}{x^2+1}*y(x) =\bruch{x}{x^2+1}
[/mm]
so jetzt zuerst die homogene gleichung:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{2x}{x^2+1}*y
[/mm]
jetzt die trennung der variablen:
[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = [mm] \bruch{2x}{x^2+1} [/mm] dx
[mm] ln(y)=ln(x^2+1)+ln(K)
[/mm]
[mm] y=(x^2+1)*K
[/mm]
jetzt komm ich zur inhomogenen:
[mm] y'=2x*K+x^2*K'+K'
[/mm]
einsetzen:
[mm] 2xK+x^2K'+K'-\bruch{2x(x^2+1)*K}{x^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{x}{x^2+1}
[/mm]
nach Umformung:
[mm] K'(x^2+1) [/mm] = [mm] \bruch{x}{x^2+1}
[/mm]
K' = [mm] \bruch{x}{(x^2+1)^2}
[/mm]
jetzt integrieren:
K = [mm] -\bruch{1}{2(x^2+1)}
[/mm]
so und wenn ich jetzt K in y = [mm] (x^2+1)*K [/mm] einsetze kommt:
y(x) = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
und da kann ja was nicht stimmen.
Also was habe ich falsch gemacht?
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo KCT1987,
> Hi, ich hab ein Problem mit einer DGL.
> Sie lautet:
>
> y'(x) [mm]=(2y(x)+1)*\bruch{x}{x ^2+1}[/mm]
>
> Also ich habs wie folgt gemacht:
>
> zuerst ausmultiplizert und umgeformt:
>
> [mm]y'(x)-\bruch{2x}{x^2+1}*y(x) =\bruch{x}{x^2+1}[/mm]
>
> so jetzt zuerst die homogene gleichung:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{2x}{x^2+1}*y[/mm]
>
> jetzt die trennung der variablen:
>
> [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] = [mm]\bruch{2x}{x^2+1}[/mm] dx
> [mm]ln(y)=ln(x^2+1)+ln(K)[/mm]
> [mm]y=(x^2+1)*K[/mm]
>
> jetzt komm ich zur inhomogenen:
>
> [mm]y'=2x*K+x^2*K'+K'[/mm]
>
> einsetzen:
>
> [mm]2xK+x^2K'+K'-\bruch{2x(x^2+1)*K}{x^2+1}[/mm] = [mm]\bruch{x}{x^2+1}[/mm]
>
> nach Umformung:
>
> [mm]K'(x^2+1)[/mm] = [mm]\bruch{x}{x^2+1}[/mm]
> K' = [mm]\bruch{x}{(x^2+1)^2}[/mm]
>
> jetzt integrieren:
>
> K = [mm]-\bruch{1}{2(x^2+1)}[/mm] [mm] \red{+T}
[/mm]
>
>
> so und wenn ich jetzt K in y = [mm](x^2+1)*K[/mm] einsetze kommt:
>
> y(x) = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\red{+T(x^2+1)}
>
> und da kann ja was nicht stimmen.
>
> Also was habe ich falsch gemacht?
Die Integrationskonstante bei der inh. Lösung unterschlagen
Dieses Ergebnis bestätigt MAPLE und auch meine Rechnung.
Ich habe aber direkt getrennt:
$y'=(2y+1)\cdot{}\frac{x}{x^2+1}$
$\Rightarrow \frac{1}{2y+1} \ dy} \ = \ \frac{x}{x^2+1} \ dx}$
$\Rightarrow \frac{1}{2}\ln|2y+1| \ = \ \frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$
Also $y=-\frac{1}{2}+\hat{C}\cdot{}(x^2+1)$
Gruß
schachuzipus
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> Danke schonmal
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Do 28.01.2010 | | Autor: | KCT1987 |
Ach ja stimmt!
Danke!!!
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