DGL m. Subst.m., Probe falsch? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]\textrm{Bestimmen Sie die Lsg. der DGL }y^{'}=\bruch{xy+y^2}{x^2} \textrm{auf einem Intervall I mit 0 nicht aus I zu einem allg. AWP.}[/mm] |
[mm](1) \frac{xy+y^2}{x^2}=\frac{xy}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}=\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2[/mm]
Substitution:
[mm]z:=\frac{y}{x}\Rightarrow zx=y \Rightarrow y^{'}=z+z^{'}x[/mm]
[mm]\textrm{aus (1):} y^{'}=z+z^2[/mm]
Gleichsetzen:
[mm]\Rightarrow z+z^{2}=z+z^{'}x[/mm]
[mm]\frac{dz}{dx}x=z^2[/mm]
Separieren:
[mm]\frac{1}{z^2}dz=\frac{1}{x}dx[/mm]
Linke und rechte Seite integrieren:
[mm]-\frac{1}{z}+c_{1}=lnx+c_{2}[/mm]
Resubsitution:
[mm]-\frac{1}{\frac{y}{x}}+c_{1}=lnx+c_{2}[/mm]
[mm]\Rightarrow y=-\frac{x}{lnx+c_{2}-c_{1}}[/mm]
Stimmt das?
Und wo bau ich jetzt die Anfangsbedingung ein?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hey,
du hast die Integrationskonstante vergessen...
lg
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Habe die Int.konstanten eingefügt.
Sonst noch Anmerkungen/Fehler?
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Hallo bbc,
2 Dinge fallen mir auf:
Die Integrationskonstanten kannst du zu einer zusammenfassen, sagen wir [mm]C[/mm]
Zum anderen ist [mm]\int{\frac{1}{x} \ dx}=\ln(\red|}x\red{|}) \ + \ c[/mm]
Du hast also [mm]y=-\frac{x}{\ln(|x|)+C}[/mm]
Zur vollst. Lösung gehört auch die Angabe des Definitionsbereiches.
Beachte, dass eine Lösung nur auf (zusammenh.) Intervallen definiert ist.
Hier bekommst du in Abh. von [mm]C[/mm] und für [mm]x>0[/mm] bzw. [mm]x<0[/mm] insgesamt 4 Lösungen [mm]y_1,..,y_4[/mm] - wenn ich das richtig sehe ...
Gruß
schachuzipus
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OK.
Jetzt ist noch die Frage, wie ich die Anf.bed. da reinpack...
(btw, wie kann ich hier eigentlich zitieren bzw. von mir geschriebene Beiträge bearbeiten?)
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Hallo nochmal,
>
> OK.
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> Jetzt ist noch die Frage, wie ich die Anf.bed. da
> reinpack...
Du hast doch gar keinen Anfangswert gegeben.
Du hast ganz allg. 4 Lösungen. Je nach gegebenem Anfangswert wird es eine davon sein ...
Schreibe doch mal die allg. Lösung(en) hin ...
>
> (btw, wie kann ich hier eigentlich zitieren bzw. von mir
> geschriebene Beiträge bearbeiten?)
Benutzt du unseren "neuen" Editor?
Da ist oben ein button " (ein Anführungszeichen) neben den beiden roten, das ist zum Zitieren
Wie du Beiträge bearbeitest, weißt du doch, du hast doch die Ausgangsfrage ergänzt ...
--> "Artikel bearbeiten" ...
Gruß
schachuzipus
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