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| Aufgabe | Konstruieren Sie die Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung
[mm] \dot x_h(t) [/mm] = [mm] a(t)x_h(t)
[/mm]
Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Lösung und des Ansatzes
x(t) = [mm] A(t)x_h(t)
[/mm]
die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
[mm] \bruch{d}{dt} [/mm] x(t) = a(t)x(t) + b(t)
Lösen Sie damit das Anfangswertproblem
[mm] x(0)=x_0 [/mm] |
Hallo, haben die Aufgabe aufbekommen und jetzt bin ich ein wenig verwirrt.
Sie Sollte mit den Mitteln die wir gelernt haben lösbar sein, vorgestellt wurde uns
- Separation der Variablen
- Exponentialansatz
Und Lösungsverfahren wo man den Ansatz macht [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] x(t) = A * x(t)
Wobei A eine nxn Matrix ist.
Ich wüsste aber nicht wie ich die Gleichung mit diesen Ansätzen lösen könnte.
Vielen Dank im Voraus
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Hallo helicopter,
> Konstruieren Sie die Allgemeine Lösung der homogenen
> Differentialgleichung
> [mm]\dot x_h(t)[/mm] = [mm]a(t)x_h(t)[/mm]
> Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Lösung und des Ansatzes
> x(t) = [mm]A(t)x_h(t)[/mm]
> die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
> [mm]\bruch{d}{dt}[/mm] x(t) = a(t)x(t) + b(t)
> Lösen Sie damit das Anfangswertproblem
> [mm]x(0)=x_0[/mm]
> Hallo, haben die Aufgabe aufbekommen und jetzt bin ich ein
> wenig verwirrt.
> Sie Sollte mit den Mitteln die wir gelernt haben lösbar
> sein, vorgestellt wurde uns
>
> - Separation der Variablen
> - Exponentialansatz
>
> Und Lösungsverfahren wo man den Ansatz macht [mm]\bruch{d}{dt}[/mm]
> x(t) = A * x(t)
> Wobei A eine nxn Matrix ist.
>
> Ich wüsste aber nicht wie ich die Gleichung mit diesen
> Ansätzen lösen könnte.
>
Hier machst Du den Exponentialansatz:
[mm]x\left(t\right)=e^{B\left(t\right)}[/mm]
,wobei B wieder eine nxn-Matrix ist.
> Vielen Dank im Voraus
Gruss
MathePower
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e hoch eine Matrix?
Sowas hab ich leider noch nie gesehen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:07 Sa 19.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hllo
ich nehm mal an, x ist eindimensional, dann nimmst du fuer [mm] x_h [/mm] den Separationsansatz. wahrscheinlich ist dann mit A(t) eine Stammfunktion von a(t) gemeint.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Sa 19.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Wie leduart nehme ich an, dass x reellwertig ist und a eine stetige Funktion.
Mit dem Exponentialansatz sieht man, dass die allgemeine Lösung der homogenen Gl. so lautet:
[mm] x_h(t)=A*e^{F(t)} [/mm] (A [mm] \in \IR).
[/mm]
Den Ansatz $x(t) = [mm] A(t)x_h(t) [/mm] $ für eine spezielle Lösung der inhomogenen Gl. nennt man "Variation der Konstanten"
Gehe damit in die inhomogene Gl. ein und bestimme A(t) und dann eine spezielle Lösung x(t).
FRED
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