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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL mit Anfangsbedingung
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DGL mit Anfangsbedingung: y'=1+y/x+y²/x²
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 So 27.08.2006
Autor: felix85

Aufgabe
Man bestimme die Lösung der Differentialgleichung [mm]y'=1+\bruch{y}{x}+\bruch{y^2}{x^2}[/mm] mit der Anfangsbedingung [mm]y(x_0)=y_0[/mm] mit [mm]x_0 > 0[/mm].

Guten Abend!

An obiger Aufgabe beisse ich mir z.Z. leider die Zähne aus.
Von welchem Typ ist die DGL? Habe die DGL mal als Riccatti-DGL aufgefasst, doch leider muss man dazu ja eine Lösung raten und das ist mir bisher nicht gelungen. Gibt es dafür eine bestimmte Vorgehensweise?
Wie könnte man die DGL noch interpretieren? Oder gibt es eine einfache Umformung die nur noch nicht erkannt habe?

Einen schönen Abend noch und Gruß
Ingo

[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]

        
Bezug
DGL mit Anfangsbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 So 27.08.2006
Autor: Riley

Hi Felix!

bei der gleichung musst du nur substituieren:
z:= [mm] \frac{y}{x} [/mm]

dann folgt z' = [mm] \frac{y'x-y}{x²} [/mm] = [mm] \frac{1+z²}{x} [/mm]

(für y'= 1 + z + z² und für y=zx eingesetzt.)

nun  kann man die DGL nach der Methode der "getrennt Veränderlichen" lösen:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{1+z²} dz} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}\frac{1}{x} [/mm] dx

dann kommt man auf die lösungsfunktion: y(x)= x tan(ln|x|+c) und AWP nicht vergessen!


viele grüße, riley =)

ps: hast du die aufgabe aus einem buch?


Bezug
                
Bezug
DGL mit Anfangsbedingung: Anfangsbedingung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:44 Mo 28.08.2006
Autor: felix85

Hallo Riley!

Vielen Dank für deine Antwort. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht ...
Wenn ich jetzt nach C auflöse erhalte ich [mm]C=arctan \bruch{x_0}{y_0} -ln(x_0) [/mm]. Ist es das? Eingesetzt in y erhalte ich [mm]y=y_0[/mm].

Habe die Aufgabe von irgend'nem ÜB, weiß leider nicht mehr genau woher die kommt.

Viele Grüße
Felix

Bezug
                        
Bezug
DGL mit Anfangsbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Mo 28.08.2006
Autor: Riley

Hi Felix!

für die konstante bekomm ich:

[mm] x_0 tan(ln|x_0|+c [/mm] = [mm] y_0 [/mm] , d.h. c= [mm] arctan(\frac{y_0}{x_0}) [/mm] - [mm] ln(x_0) [/mm]

weiß nicht, vielleicht ist das bei dir nur ein tippfehler, du hast [mm] \frac{x_0}{y_0} [/mm] geschrieben, muss andersrum sein!

also y= x tan(ln|x| + [mm] arctan(\frac{y_0}{x_0}) [/mm] - [mm] ln(x_0) [/mm]

viele grüße
riley =)



Bezug
                                
Bezug
DGL mit Anfangsbedingung: Stimmt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 Mo 28.08.2006
Autor: felix85

Hi!

Hast recht, hab's nur verdreht.

Gruß
Felix

Bezug
                                        
Bezug
DGL mit Anfangsbedingung: kleine Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Do 31.08.2006
Autor: fisch000

Hi Riley,
du schreibst das z' = [mm] \bruch{y'x - y}{x^2} [/mm] ist. S wit so gut, aber wenn ich die Werte dann eintareg dann kommt doch [mm] \bruch{(1+z+z^2)*x - zx}{x^2} [/mm] raus. Damit müsste sich ja der Nenner komplett rauskürzen weil ja im Zähler 2 x da sind. Du hast aber ein x im Nenner stehen. Könntest du mir vllt. erklären wie du auf deine Gleichung kommst. Wäre echt nett von dir.

Mfg fisch

Bezug
                                                
Bezug
DGL mit Anfangsbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Do 31.08.2006
Autor: leduart

Hallo fisch
Nein [mm] x^{2} [/mm] kürzt sich NICHT (Aus summen kürzen nur die D.....) Wenn dus nicht anders siehst, klammer im Zähler erst x aus!
Gruss leduart

Bezug
                                                        
Bezug
DGL mit Anfangsbedingung: Hast Recht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 Do 31.08.2006
Autor: fisch000

Ja stimmt hab gar nicht daran gedacht. Vielen Dank für die schnelle Antwort.

MfG fisch

Bezug
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