DGL mit Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Mo 28.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
| Aufgabe | | Man bestimme sämtliche Lösungen der DGL y´= [mm] \bruch{x^2}{y^2} [/mm] mit der Anfangsbedingung y(0) = c, für c > 0 |
Hallo Leute,
irgendwie finde ich diese Aufgabe seltsam. Zuerst mal mein Lösungsweg:
[mm] \bruch{\partial y}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{y^2} \Rightarrow \integral_{}^{}{y^2 dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x^2 dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{y^3}{3} [/mm] = [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] + c [mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] \bruch{c^3}{3} \Rightarrow \bruch{y^3}{3} [/mm] = [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] + [mm] \bruch{c^3}{3} \Rightarrow y^3 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] c^3 \Rightarrow [/mm] y = [mm] \wurzel[3]{x^3 + c^3}
[/mm]
Irgendwie bin ich mir ziemlich unsicher was die Lösung betrifft, weil es für diese Aufgabe recht viele Punkte gab und ich mir nicht vorstellen kann das man sie auf meine angewandte Art lösen kann. Kann mir vllt. jemand weiterhelfen ?
MfG fisch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo.
Sieht für mich ziemlich ok aus.
Man müßte vielleicht bloß noch ein Wort zur Eindeutigkeit der Lösung sagen, sowas wie: [mm] $f(x,y):=\frac{y^2}{x^2}$ [/mm] ist stetig differenzierbar auf [mm] $(0,\infty)\times\IR$, [/mm] daher lokal Lipschitz-stetig auf [mm] $(0,\infty)\times\IR$, [/mm] ergo existiert auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] eine Lösung, diese ist nach Picard-Lindelöf dort eindeutig.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
Hi, fisch,
(Christian hat in seiner Antwort x und y vertauscht.)
Da in Deiner DGL y im Nenner steht, darf es natürlich niemals =0 sein.
Demnach musst Du in Deiner Lösung x = -c ausschließen!
Sollte nun aber die Definitionsmenge maximal, also x [mm] \in \IR\backslash \{-c\} [/mm] sein, ergäben sich wegen der Definitionslücke bei x=-c eben genau KEINE eindeutigen Lösungen, sondern:
y = [mm] \begin{cases} \wurzel[3]{x^{3}+c^{3}}, & \mbox{für } x > -c \\ \wurzel[3]{x^{3}+k}, & \mbox{für } x < -c \end{cases}
[/mm]
wohlgemerkt mit BELIEBIGEM reellen k!
(Zusatzerklärung: Wenn c > 0, ist -c < 0 und folglich liegt der P(0; c) auf dem rechten Ast des Funktionsgraphen. Da auf dem linken Ast keine Anfangsbedingung vorgegeben ist, kann hier beliebig in y-Richtung verschoben werden!)
Bitte genau drüber nachdenken!
Ich hoffe, mich nicht "verrannt" zu haben!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Di 29.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
Danke für eure Ratschläge, jetzt müsste alles Ok sein. Schönen Tag euch noch.
MfG fisch
|
|
|
|
