DGL mit Betrag < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | N'Abend,
ich möchte folgende DGL lösen:
y' = |y|
und ich muss sagen, ob es zu jedem Anfangswertproblem eine Lösung gibt.
Dann muss ich konkret das Anfangwertproblem y(5) = -10 lösen, falls existent und entscheiden, ob es eine globale oder lokale Lösung ist. |
Na dann, los gehts mit dem Spaß:
Ich habe hier mit der Methode "Trennung der Variablen" gerarbeitet, weil die DGL separierbar ist.
y' = |y| <=> [mm] \bruch{y'}{|y|} [/mm] = 1
Eine partikuläre Lösung sieht man sofort: y(x) = 0.
Nun Falluntersccheidung:
Fall 1:
y>1 => [mm] \bruch{y'}{y} [/mm] = 1
Fall 2:
y < 1 => [mm] \bruch{y'}{-y} [/mm] = 1
Nun habe ich integriert und nach y aufgelöst. Ich spare mir die Schritte aufzuschreiben.
Es ergibt sich für:
Fall 1: (y>1)
[mm] y_1(x) [/mm] = [mm] e^{x+c}
[/mm]
Fall 2: (y<1)
[mm] y_2(x) [/mm] = [mm] -e^{-x-c}
[/mm]
So wie geht es nun weiter?
Ich denke ich kann jetzt bestimmen, wo [mm] y_i(x) [/mm] < 1 oder > 1? D.h.:
[mm] y_1(x) [/mm] > 1 <=> [mm] e^{x+c} [/mm] > 1 <=> x > -c
[mm] y_2(x) [/mm] < 1 <=> [mm] e^{-x-c} [/mm] < 1 <=< x < -c
So, jetzt belasse ich es zunächst dabei und würde gerne lesen, was ihr davon haltet. Bin ich richtig vorgegangen, stimmen die Dinge so? Insbesondere wie geht es nun weiter? Außerdem bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich nicht ">=" hätte verwenden müssen anstatt nur ">" in der Fallunterscheidung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Fr 12.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast bei der Fallunterscheidung y>0 bzw y<0 nicht 1!
dann hast du die 2 Lösungen unter und oberhalb der x-Achs, wobei die C so gewählt werden müssen dass die [mm] e^{-x} [/mm] Lösungen ein negatives Vorzeichen haben müssen Besser also [mm] y=-|C|*e^{-x}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hmm, natürlich muss es >0, <0 sein. Da habe ich wohl geschlafen.
Stimmt ich bekomme also 2 verschobene, gespiegelte Exponentialfunktionen. Die Ungleichungen (>0, <0) werden auf ganz [mm] \IR [/mm] erfüllt. Das finde ich schon mal komisch. Welche Funktion ist denn jetzt Lösung der DGL? Und warum muss das Vorzeichen denn negativ sein? Ich kann dir leider nicht folgen.
Danke schon mal!
|
|
|
| |
|
Hallo paulpanter,
> Hmm, natürlich muss es >0, <0 sein. Da habe ich wohl
> geschlafen.
>
> Stimmt ich bekomme also 2 verschobene, gespiegelte
> Exponentialfunktionen. Die Ungleichungen (>0, <0) werden
> auf ganz [mm]\IR[/mm] erfüllt. Das finde ich schon mal komisch.
> Welche Funktion ist denn jetzt Lösung der DGL? Und warum
> muss das Vorzeichen denn negativ sein? Ich kann dir leider
> nicht folgen.
>
Da Du 2 Fälle hast ( y > 0 und y <0) hast,
und laut Anfangsbedingung y < 0 sein muß, ist die
für den Fall y < 0 angegebene Lösung, die gesuchte.
> Danke schon mal!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Fr 12.08.2011 | | Autor: | paulpanter |
Achso!!! Jetzt hat es klick gemacht^^
Ja dann sind die Fragen, leicht zu beantworten. Es gibt zu jedem Anfangswertproblem eine Lösung. Insbesondere ist diese sogar eindeutig.
Gut das Anfangswertproblem zu lösen sollte jetzt keine Schwierigkeit sein. Darüber hinaus ist die Lösung immer global. =)
Dankeschön!
|
|
|
|
