DGL mit Potenzreihe lösen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion tan(x) löst die DGL
y´= 1 + [mm] y^2 [/mm] auf dem Intervall [mm] (-\pi/2, \pi/2).
[/mm]
Zeigen Sie, dass
tan(x) = x + [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{2}{15}x^5 [/mm] + ......
ist mit Hilfe des Ansatzes, dass die Potenzreihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm] die DGL löst. |
Hallo alle zusammen,
ich habe die Aufgabe eigentlich so gut wie gelöst. Nur ich sehe einfach nicht wie ich die Koeffizienten bestimmen muss, da ich keine Anfangsbedingungen gegeben habe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Soweit bin ich:
[mm] a_{k+1}= \bruch{1}{k+1}*\summe_{n=0}^{k}a_{n}a_{k-n}
[/mm]
Der Koeffizientenvergleich bringt mich leider nicht weiter. Steh auf dem Schlauch
Mfg
Mbstudent
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> Die Funktion tan(x) löst die DGL
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> y´= 1 + [mm]y^2[/mm] auf dem Intervall [mm](-\pi/2, \pi/2).[/mm]
> Zeigen
> Sie, dass
>
> tan(x) = x + [mm]\bruch{1}{3}x^3[/mm] + [mm]\bruch{2}{15}x^5[/mm] + ......
>
> ist mit Hilfe des Ansatzes, dass die Potenzreihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{n}x^{n}[/mm] die DGL löst.
> Hallo alle zusammen,
>
> ich habe die Aufgabe eigentlich so gut wie gelöst. Nur ich
> sehe einfach nicht wie ich die Koeffizienten bestimmen
> muss, da ich keine Anfangsbedingungen gegeben habe. Ich
> hoffe ihr könnt mir helfen. Soweit bin ich:
>
> [mm]a_{k+1}= \bruch{1}{k+1}*\summe_{n=0}^{k}a_{n}a_{k-n}[/mm]
>
> Der Koeffizientenvergleich bringt mich leider nicht weiter.
> Steh auf dem Schlauch
>
> Mfg
> Mbstudent
Hallo,
die Lösung der DGL beinhaltet noch eine Integrations-
konstante, welche besagt, dass eine vorgegebene Lösungs-
kurve in x-Richtung beliebig verschiebbar ist. Wir brauchen
also z.B. noch die Information, dass tan(0)=0 ist. Damit
wird [mm] a_0=0 [/mm] .
Allerdings greift deine Rekursionsformel für k=0 gerade
(noch) nicht; sie würde ein falsches Ergebnis für a=1
liefern (nämlich 0 anstatt 1).
Überprüfe also die Herleitung der Rekursionsformel,
was ihren "Start" betrifft. Hast du den richtigen Wert für
[mm] a_1 [/mm] , sollte es meiner Ansicht nach dann klappen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Mbstudent |
Hii Al-Chwarizmi,
Danke dir schon mal für deine großzügige Hilfe....Also ich habe die Herleitung der Rekursionsformel überprüft und sie mit der Lösung des Dozenten verglichen. Sie stimmt über ein, was aber nicht heißen soll, dass Sie richtig ist.
Sowie du es sagst kriegt ich für [mm] a_{1} [/mm] keinen passenden Wert rauß. Aber ich weiss leider nicht wo der fehler liegen könnte.
Ich werde mich aber heute abend nochmal richtig ransetzen vielleicht übersehe ich einfach was und melde mich dann nochmal.
Mfg
Mbstudent
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> Die Funktion tan(x) löst die DGL
>
> y´= 1 + [mm]y^2[/mm] auf dem Intervall [mm](-\pi/2, \pi/2).[/mm]
> Zeigen
> Sie, dass
>
> tan(x) = x + [mm]\bruch{1}{3}x^3[/mm] + [mm]\bruch{2}{15}x^5[/mm] + ......
>
> ist mit Hilfe des Ansatzes, dass die Potenzreihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{n}x^{n}[/mm] die DGL löst.
Hallo,
ich empfehle dir, um Übersicht zu gewinnen, die ersten
paar Glieder der Reihen für $\ f(x)$ (=y) , $\ f'(x)$ , [mm] (f'(x))^2 [/mm] , [mm] 1+(f'(x))^2
[/mm]
ausführlich auszuschreiben.
Deine Rekursionsformel ist schon richtig (falls k genügend
groß ist). Nur ganz am Anfang brauchst du zwei kleine
extra-Überlegungen. Und dafür ist es hilfreich, die Reihen-
anfänge explizit vor Augen zu haben.
LG Al-Chw.
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