DGL mit Separation d. V. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 So 20.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung
[mm] y+y'=e^{-y^{2}}
[/mm]
a) im allgemeinen Fall und bestimmen die den Definitionsbereich der Lösung.
b) mit der Bedingung y(1)=1
c) mit der Bedingung y(0)*y'(0)=0.5 |
Hallo zusammen.
Den Teil a) der Aufgabe habe ich versucht zu berechnen. Ich bin mir aber überhaupt nicht sicher, ob man das so machen darf und wäre froh, wenn mit jemand sagen kann, ob das, was ich gerechnet habe i.O. ist.
a) [mm] y'=\bruch{e^{-y^{2}}}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{e^{-y^{2}}}{y}
[/mm]
[mm] y*dy=e^{-y^{2}}*dx
[/mm]
[mm] \bruch{y}{e^{-y^{2}}}=dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{y*e^{y^{2}} dy}=\integral_{}^{}{1 dx}
[/mm]
[mm] \bruch{e^{y^{2}}}{2}+c=x+d
[/mm]
[mm] \bruch{e^{y^{2}}}{2}=x+(d-c) [/mm] (d-c)=a [mm] a\ge0
[/mm]
[mm] e^{y^{2}}=2x+2a
[/mm]
[mm] ln(e^{y^{2}})=ln(2x+2a)
[/mm]
[mm] y^{2}=ln(2(x+a))
[/mm]
[mm] y=\wurzel{ln(2(x+a))}
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruss
Aucuba
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 So 20.11.2011 | | Autor: | wauwau |
soll deine Umformung richtig sein, so muss die DGL aber
[mm] $y.y'=e^{-y^2}$ [/mm] lauten und nicht [mm] $y+y'=e^{-y^2}$
[/mm]
dann stimmen deine Berechnungen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 20.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
| Aufgabe | | b) mit der Bedingung y(1)=1 |
> soll deine Umformung richtig sein, so muss die DGL aber
>
> [mm]y.y'=e^{-y^2}[/mm] lauten und nicht [mm]y+y'=e^{-y^2}[/mm]
>
> dann stimmen deine Berechnungen!
Sorry, die DGL müsste [mm] y*y'=e^{-y^2} [/mm] lauten.
Danke Dir! =)
Zur Aufgabe b)mit der Bedingung y(1)=1
[mm] y(1)=\wurzel{ln(2*1+2a}=1
[/mm]
[mm] (\wurzel{ln(2+2a})^{2}=1^{2}
[/mm]
ln(2+2a)=1
[mm] e^{ln(2+2a)}=e
[/mm]
2+2a=e
[mm] a=\bruch{e}{2}+1
[/mm]
Stimmt das?
Und zur Aufgabe c) mit der Bedingung y(0)*y'(0)=0.5
[mm] y=\wurzel{ln(2x+2a} y(0)=\wurzel{ln(2a)} [/mm]
[mm] y'=\bruch{e^{-y^2}}{y} [/mm] y'(0)= ? Muss man hier fürs y Null einsetzten?
Danke für Eure Hilfe! =)
Gruss
Aucuba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.2+2a=e richtig
$ [mm] a=\bruch{e}{2}+1 [/mm] $
Vorzeichenfehler
2. y*y'=0.5 nicht aufteilen!
sondern [mm] y*y'=e^{y^2}=0.5
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 20.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
> 2. y*y'=0.5 nicht aufteilen!
> sondern [mm]y*y'=e^{y^2}=0.5[/mm]
> Gruss leduart
>
Hallo Leduart
Danke für die Korrektur.
Zu 2. habe ich noch eine Frage. Die Bedingung ist ja y(0)*y'(0)=0.5
Wenn ich jetzt in [mm] e^{-y^2} [/mm] für y=0 einsetzte, habe ich ja keine Variabel mehr nach der ich es auflösen könnte, oder versteh ich den Tipp falsch?
Gruss Aucuba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 20.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du soolst doch nicht y=0 sondern x=0 einsetzen. du hattest doch $ [mm] y^{2}=ln(2(x+a)) [/mm] $ also [mm] y^2(0)=ln(2a)
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
Sorry, hatte eine sehr lange Leitung. Aber jetzt hab ich es auch noch verstanden.
Danke für die Hilfe!
Gruss
Aucuba
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