DGL mit getrennten Veränderlic < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Do 16.01.2014 | | Autor: | Ellie123 |
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem:
[mm] y'=2*\wurzel{|y|}, [/mm] y(0)=0 |
Hallo,
eigentlich weiß ich wie man eine DGL mit getrennten Veränderlichen löst. Aber hier bereitet mir die Aufgabe Schwierigkeiten aufgrund des Betrages. Denn ich müsste doch eigentlich u.a. die folgende Gleichung lösen:
[mm] \integral_{0}^{y}{\bruch{1}{\wurzel{|s|}} ds}=\integral_{0}^{x}{2*dt}
[/mm]
Aber ich weiß leider nicht, wie ich das linke Integral lösen kann (aufgrund des Betrages)?!
Kann mir jemand weiterhelfen?
Viele Grüße,
Ellie
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> Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem:
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> [mm]y'=2*\wurzel{|y|},[/mm] y(0)=0
> Hallo,
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> eigentlich weiß ich wie man eine DGL mit getrennten
> Veränderlichen löst. Aber hier bereitet mir die Aufgabe
> Schwierigkeiten aufgrund des Betrages. Denn ich müsste
> doch eigentlich u.a. die folgende Gleichung lösen:
>
> [mm]\integral_{0}^{y}{\bruch{1}{\wurzel{|s|}} ds}=\integral_{0}^{x}{2*dt}[/mm]
>
> Aber ich weiß leider nicht, wie ich das linke Integral
> lösen kann (aufgrund des Betrages)?!
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Viele Grüße,
> Ellie
Hallo Ellie,
betrachte mal zunächst nur den Fall mit [mm] y\ge0
[/mm]
Durch eine einfache Symmetrieüberlegung lässt
sich dann der Rest ergänzen.
Hinweis: es muss [mm] y'\ge0 [/mm] gelten (für alle x)
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Do 16.01.2014 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo,
leider bin ich jetzt noch mehr verwirrt. Warum hat das Anfangswertproblem
[mm]y'=2*\wurzel{|y|},[/mm] y(0)=0
unendlich viele Lösungen? Ich habe eine Musterlösung vorliegen. Darin wird gesagt, dass das Anfangswertproblem zwei Lösungen hat. Und diese lauten:
1.) y(x)=0
2.) y(x)=x|x|
Wie die konstante Lösung zustande kommt ist mir klar. Aber auf die zweite Lösung komme ich nicht. Diese müsste sich ja eigentlich aus der Gleichung
[mm]\integral_{0}^{y}{\bruch{1}{\wurzel{|s|}} ds}=\integral_{0}^{x}{2*dt}[/mm]
ergeben? Aber wie? Wenn ich jetzt einfach mal die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{\wurzel(x)} [/mm] für [mm] x\ge [/mm] 0 bestimme komme ich auf [mm] 2*\wurzel(x). [/mm] Aber wie hilft mir das weiter?
Viele Grüße,
Ellie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Do 16.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo,
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> leider bin ich jetzt noch mehr verwirrt. Warum hat das
> Anfangswertproblem
> [mm]y'=2*\wurzel{|y|},[/mm] y(0)=0
> unendlich viele Lösungen? Ich habe eine Musterlösung
> vorliegen. Darin wird gesagt, dass das Anfangswertproblem
> zwei Lösungen hat. Und diese lauten:
> 1.) y(x)=0
> 2.) y(x)=x|x|
>
> Wie die konstante Lösung zustande kommt ist mir klar. Aber
> auf die zweite Lösung komme ich nicht. Diese müsste sich
> ja eigentlich aus der Gleichung
>
> [mm]\integral_{0}^{y}{\bruch{1}{\wurzel{|s|}} ds}=\integral_{0}^{x}{2*dt}[/mm]
>
> ergeben? Aber wie? Wenn ich jetzt einfach mal die
> Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{\wurzel(x)}[/mm] für [mm]x\ge[/mm] 0
> bestimme komme ich auf [mm]2*\wurzel(x).[/mm] Aber wie hilft mir das
> weiter?
Was ist denn mit der rechten Seite?
Dein Ziel: $y$.
>
> Viele Grüße,
> Ellie
>
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 16.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. halt deine Variablen besser auseinander für y> 0 hast du
[mm] 2\sqrt(y)=2x^2
[/mm]
für y<0 ..... |y|=-y daraus ?
[mm] x*|x|=x^2 [/mm] fur x>0
für x<0 ist |x|*x [mm] =-x^2
[/mm]
wenn du mit y=0 bis [mm] x_0) [/mm] gehst und dann mir [mm] y=(y-x_0)^2 [/mm] weiter hast du eine weiter Losung, da [mm] x_0 [/mm] beliebig, also unendlich viele Lösungen.
Gruß leduart
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Guten Tag Ellie,
zusammengefasst sieht es so aus:
1.) Für den Fall mit [mm] y\ge0 [/mm] gibt es einerseits die
Lösung y=0 (konstant, Graph auf x-Achse) und ferner die Lösungen
[mm] y=(x-x_0)^2 [/mm] (für [mm] x\gex_0 [/mm] mit einem beliebigen [mm] x_0\in\IR);
[/mm]
Graph = aufsteigende (rechte) Hälfte einer beliebig in
x-Richtung verschobenen Normalparabel.
2.) Die Lösungen im Fall [mm] y\le0 [/mm] sind dazu symmetrisch,
also wieder ein beliebig langes auf der x-Achse
liegendes Stück oder aber die linke (aufsteigende
Hälfte einer Parabel [mm] y=-(x-x_0)^2 [/mm] (für [mm] x\le x_0) [/mm] .
Insgesamt kann man nun in jedem beliebigen
Punkt [mm] (x_0 [/mm] | 0) der x-Achse von einer unteren (linken)
Halbparabel auf die konstante Lösung "umsteigen"
und dann allenfalls wieder in einem beliebigen
weiteren Punkt [mm] P_1(x_1 [/mm] | 0) mit [mm] x_1\ge{x_0} [/mm] auf eine von
der x-Achse aus nach rechts aufsteigende zweite
Halbparabel übergehen. Dabei kann das Intervall
I = [mm] (x_0 [/mm] , [mm] x_1) [/mm] ein ganz beliebiges reelles Intervall sein.
Es könnte beidseitig begrenzt sein, aber auch
I = [mm] (x_0 [/mm] , [mm] \infty) [/mm] , I = [mm] (-\infty [/mm] , [mm] x_1) [/mm] oder I = [mm] (-\infty [/mm] , [mm] \infty) [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
kommen in Frage.
Wegen der vorliegenden Bedingung y(0)=0 kommen
nur solche Paare [mm] (x_0 [/mm] , [mm] x_1) [/mm] mit [mm] x_0\le{0}\le{x_1} [/mm] in Frage.
LG , Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Al:
das Anfangswertproblem hat uendlich viele Lösungen.
FRED
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> Ergänzend zu Al:
>
> das Anfangswertproblem hat unendlich viele Lösungen.
>
> FRED
Hallo Fred,
zuerst dachte ich, ich müsse da mit einem ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") antworten.
Nach einigem Schütteln ist nun der Groschen auch
bei mir gefallen.
Ich habe mich allerdings gewundert, weshalb
Mathematica sich weigert, eine Antwort zu
liefern und stattdessen anscheinend ins
Rotieren kommt ... oder ist das Programm
wohl nur ausgeglitten ?
LG , Al
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