DGL mit tan < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | | [mm]y*+y*\tan x = \cos x[/mm] |
[mm] \cos [/mm] x ist die Störfunktion denk ich mir, darum erstmal:
[mm]\gdw y'=-\tan x y[/mm]
[mm]\gdw y'=-\tan x[/mm]
[mm]\gdw \bruch{y'}{y}=-\tan x[/mm]
[mm]\gdw \bruch{\bruch{dy}{dx}}{y}=-\tan x[/mm]
[mm]\gdw \bruch{\bruch{dy}{y}}=-\tan x dx[/mm]
[mm]\gdw \integral{\bruch{dy}{y}}=- \integral{\tan x dx}[/mm]
[mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\tan x}[/mm]
soweit so gut,oder? jezt ist die frage, was ist [mm]-\integral{\tan x}[/mm]
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Hallo frank85,
> [mm]y*+y*\tan x = \cos x[/mm]
Bitte nutze die Vorschaufunktion VOR dem Absenden, das ist Kraut und Rüben ...
> [mm]\cos[/mm] x ist die Störfunktion denk ich
> mir, darum erstmal:
> [mm]\gdw y'=-\tan x y[/mm]
Jo, zunächst die zugeh. homogene Dgl zu lösen, ist die richtige Idee!
> [mm]\gdw y'=-\tan x[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{y'}{y}=-\tan x[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\bruch{dy}{dx}}{y}=-\tan x[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{\bruch{dy}{y}}=-\tan x dx[/mm]
>
> [mm]\gdw \integral{\bruch{dy}{y}}=- \integral{\tan x dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\tan x}[/mm]
>
> soweit so gut,oder?
JA!
> jezt ist die frage, was ist
> [mm]-\integral{\tan x}[/mm]
Schreibe [mm]\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm] und substituiere [mm]u=u(x):=\cos(x)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
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> Schreibe [mm]\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm] und substituiere
> [mm]u=u(x):=\cos(x)[/mm]
Achja...okay:
[mm]\gdw \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm]
[mm]\gdw u=u(x):=\cos(x)[/mm]
[mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{\sin(x)}{u}\frac{1}{- \sin x du}[/mm]
[mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{1}{u}du[/mm]
[mm]\gdw ln(|y|)=ln(|\cos(x)|)[/mm]
[mm]\gdw y=\cos(x)[/mm]
[mm]\gdw y'=-\sin(x), y''=-\cos(x)[/mm]
[mm]\gdw y''+2y'+y=-\cos(x)-2\sin(x)+\cos(x)=-\sin(x)[/mm]
hm und nun?
Danke euch allen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Schreibe [mm]\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm] und substituiere
> > [mm]u=u(x):=\cos(x)[/mm]
> Achja...okay:
> [mm]\gdw \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm]
> [mm]\gdw u=u(x):=\cos(x)[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{\sin(x)}{u}\frac{1}{- \sin x du}[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{1}{u}du[/mm]
> [mm]\gdw ln(|y|)=ln(|\cos(x)|)[/mm]
Wo ist das "-" geblieben ??
FRED
>
> [mm]\gdw y=\cos(x)[/mm]
> [mm]\gdw y'=-\sin(x), y''=-\cos(x)[/mm]
> [mm]\gdw y''+2y'+y=-\cos(x)-2\sin(x)+\cos(x)=-\sin(x)[/mm]
>
> hm und nun?
> Danke euch allen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> > [mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{1}{u}du[/mm]
> > [mm]\gdw ln(|y|)=ln(|\cos(x)|)[/mm]
>
> Wo ist das "-" geblieben ??
> FRED
[mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{1}{u}du[/mm]
[mm]\gdw ln(|y|)=-ln(|\cos(x)|)[/mm]
[mm]\gdw y=-\cos(x)[/mm]
[mm]\gdw y'=\sin(x), y''=\cos(x)[/mm]
[mm]\gdw y''+2y'+y=\cos(x)+2\sin(x)+\cos(x)=2*\cos x +2*\sin x[/mm]
besser?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{1}{u}du[/mm]
> > > [mm]\gdw ln(|y|)=ln(|\cos(x)|)[/mm]
>
> >
> > Wo ist das "-" geblieben ??
> > FRED
> [mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{1}{u}du[/mm]
> [mm]\gdw ln(|y|)=-ln(|\cos(x)|)[/mm]
>
> [mm]\gdw y=-\cos(x)[/mm]
Au weia ! Zurück in Klasse 10 !!
-ln(a)= ln(1)-ln(a)= ln(1/a)
FRED
> [mm]\gdw y'=\sin(x), y''=\cos(x)[/mm]
> [mm]\gdw y''+2y'+y=\cos(x)+2\sin(x)+\cos(x)=2*\cos x +2*\sin x[/mm]
>
> besser?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> > [mm]\gdw y=-\cos(x)[/mm]
>
> Au weia ! Zurück in Klasse 10 !!
ja ich weiß das ich diese regeln nicht behersche, deshalb bin ich ja hier :)
> -ln(a)= ln(1)-ln(a)= ln(1/a)
>
> FRED
> > [mm]\gdw y'=\sin(x), y''=\cos(x)[/mm]
> > [mm]\gdw y''+2y'+y=\cos(x)+2\sin(x)+\cos(x)=2*\cos x +2*\sin x[/mm]
>
> >
> > besser?
>
also:
[mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{1}{u}du [/mm]
[mm]\gdw ln(|y|)=-ln(|\cos(x)|) [/mm]
[mm]\gdw ln(|y|)=ln(1)-ln(|\cos(x)|)=ln(\bruch{1}{|\cos(x)|})[/mm]
[mm]\gdw |y|=\bruch{1}{|\cos(x)|}[/mm]
wie ist das jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]\gdw y=-\cos(x)[/mm]
> >
> > Au weia ! Zurück in Klasse 10 !!
> ja ich weiß das ich diese regeln nicht behersche, deshalb
> bin ich ja hier :)
So ? Ich dachte es geht ums Lösen von DGLen und nicht um Stoff der Klasse 9/10 ?
> > -ln(a)= ln(1)-ln(a)= ln(1/a)
> >
> > FRED
> > > [mm]\gdw y'=\sin(x), y''=\cos(x)[/mm]
> > > [mm]\gdw y''+2y'+y=\cos(x)+2\sin(x)+\cos(x)=2*\cos x +2*\sin x[/mm]
>
> >
> > >
> > > besser?
> >
> also:
> [mm]\gdw ln(|y|)=-\integral{\frac{1}{u}du[/mm]
> [mm]\gdw ln(|y|)=-ln(|\cos(x)|)[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(|y|)=ln(1)-ln(|\cos(x)|)=ln(\bruch{1}{|\cos(x)|})[/mm]
>
> [mm]\gdw |y|=\bruch{1}{|\cos(x)|}[/mm]
> wie ist das jetzt?
Schon besser. Also lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
$y(x)= [mm] \bruch{c}{cos(x)}$ [/mm] (c [mm] \in \IR).
[/mm]
Ist Dir klar, warum man die Betragssriche weglassen kann ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> > [mm]\gdw |y|=\bruch{1}{|\cos(x)|}[/mm]
> > wie ist das jetzt?
>
> Schon besser. Also lautet die allgemeine Lösung der
> homogenen Gleichung:
>
> [mm]y(x)= \bruch{c}{cos(x)}[/mm] (c [mm]\in \IR).[/mm]
>
> Ist Dir klar, warum man die Betragssriche weglassen kann ?
>
> FRED
>
Hm, ich denke mal weil....Ne keine Ahnung :(
[mm] \cos [/mm] (x) wird 0 bei [mm] x=\bruch{pi}{2}. [/mm] Wieso kann x hier nicht [mm] \bruch{pi}{2} [/mm] sein? Ich weiß es nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Das ist Deine DGL:
$ [mm] y\cdot{}+y\cdot{}\tan [/mm] x = [mm] \cos [/mm] x $
Dann kann x nur aus dem Def.-bereich des Tangens stammen. Und der ist ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Das ist Deine DGL:
>
> [mm]y\cdot{}+y\cdot{}\tan x = \cos x[/mm]
>
> Dann kann x nur aus dem Def.-bereich des Tangens stammen.
> Und der ist ?
>
> FRED
Wenn du schon so fragst, dann von 0 bis 1 oder so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Das ist Deine DGL:
> >
> > [mm]y\cdot{}+y\cdot{}\tan x = \cos x[/mm]
> >
> > Dann kann x nur aus dem Def.-bereich des Tangens stammen.
> > Und der ist ?
> >
> > FRED
> Wenn du schon so fragst, dann von 0 bis 1 oder so?
Falsch ! Mach Dich schlau und veranstalte kein heiteres Intervalleraten.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> > > Das ist Deine DGL:
> > >
> > > [mm]y\cdot{}+y\cdot{}\tan x = \cos x[/mm]
> > >
> > > Dann kann x nur aus dem Def.-bereich des Tangens stammen.
> > > Und der ist ?
> > >
> > > FRED
> > Wenn du schon so fragst, dann von 0 bis 1 oder so?
>
> Falsch ! Mach Dich schlau und veranstalte kein heiteres
> Intervalleraten.
>
> FRED
>
ok habs, [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
danke danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Das ist Deine DGL:
> > > >
> > > > [mm]y\cdot{}+y\cdot{}\tan x = \cos x[/mm]
> > > >
> > > > Dann kann x nur aus dem Def.-bereich des Tangens stammen.
> > > > Und der ist ?
> > > >
> > > > FRED
> > > Wenn du schon so fragst, dann von 0 bis 1 oder so?
> >
> > Falsch ! Mach Dich schlau und veranstalte kein heiteres
> > Intervalleraten.
> >
> > FRED
> >
> ok habs, [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> danke danke
>
Bingo !
FRED
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