www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenDGL trennen der Veränderlichen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL trennen der Veränderlichen
DGL trennen der Veränderlichen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

DGL trennen der Veränderlichen: Verständnissproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:25 Sa 09.02.2008
Autor: Agrippa

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

bin jetzt schon einige Zeit am stöbern, aber ich komm irgendwie nicht drauf wie bei z.B dieser DGL

[mm] x^{2}*y'+y=0 [/mm]    nach trennen der Veränderlichen auf

[mm] \bruch{1}{y}dy=-\bruch{1}{x^{2}}dx [/mm]    integriert wird.

Manchmal lese ich das so

[mm] ln|y|=ln|x^{2}|+C. [/mm]   Aber ich hab auch schon die Variante gesehen

[mm] -\bruch{1}{2*y^{-2}}=-\bruch{1}{2*x^{-2}}+C, [/mm] sprich statt

[mm] \bruch{1}{y} [/mm] wird  [mm] y^{-1} [/mm] integriert.

Kann mir jemand erklären warum das einmal so und dann wieder anders gemacht wird und was ist richtig?


Viele Grüsse,
Agrippa

        
Bezug
DGL trennen der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:42 Sa 09.02.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Agrippa und erst einmal ein herzliches [willkommenmr]


> Hallo,
>  
> bin jetzt schon einige Zeit am stöbern, aber ich komm
> irgendwie nicht drauf wie bei z.B dieser DGL
>  
> [mm]x^{2}*y'+y=0[/mm]    nach trennen der Veränderlichen auf
>  
> [mm]\bruch{1}{y}dy=-\bruch{1}{x^{2}}dx[/mm]    integriert wird. [ok]
>  
> Manchmal lese ich das so
>
> [mm]ln|y|=ln|x^{2}|+C.[/mm]   [notok]

Das ist doch Unsinn. Eine Stammfunktion von [mm] $-\frac{1}{x^2}$ [/mm] ist doch nicht [mm] $\ln|x^2|$ [/mm] ??!!

Von der letzten Gleichung ausgehend ergibt sich doch durch Integrieren auf beiden Seiten:

[mm] $\blue{\int}\bruch{1}{y}dy=\blue{\int}-\bruch{1}{x^{2}}dx$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \ln|y|=\frac{1}{x}+c$ [/mm] mit einer Konstanten [mm] $c\in\IR$ [/mm] (Integrationskonstante)

Eigentlich müsste bei der Integration auf der linken Seite auch eine Integrationskonstante [mm] $+\tilde{c}$ [/mm] auftauchen, aber die wird quasi direkt mit der anderen Inegrationskonstante "verrechnet" zu einer ;-)

Also [mm] $\ln|y|=\frac{1}{x}+c\qquad\mid e^{(...)}$ [/mm] auf beiden Seiten

[mm] $\Rightarrow |y|=e^{\frac{1}{x}+c}=e^{\frac{1}{x}}\cdot{}e^c$ [/mm]

Nun ist das [mm] $e^c$ [/mm] wieder eine Konstante, wir können sie also [mm] $c_1$ [/mm] nennen und erhalten (da [mm] c_1\in\IR [/mm] beliebig ist)

[mm] $y=c_1\cdot{}e^{\frac{1}{x}}$ [/mm] als Lösung der DGL

Aber ich hab auch schon die Variante

> gesehen
>  
> [mm]-\bruch{1}{2*y^{-2}}=-\bruch{1}{2*x^{-2}}+C,[/mm] sprich statt
>
> [mm]\bruch{1}{y}[/mm] wird  [mm]y^{-1}[/mm] integriert.

Das habe ich noch nie gesehen und kapiere es auch nicht ;-)

Die Umformung nach TdV oben hattest du goldrichtig, danach lautet das Rezept: Beide Seiten integrieren

>  
> Kann mir jemand erklären warum das einmal so und dann
> wieder anders gemacht wird und was ist richtig?
>
>
> Viele Grüsse,
>  Agrippa


LG

schachuzipus

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]