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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL trennen der Veränderlichen
DGL trennen der Veränderlichen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL trennen der Veränderlichen: Verständnissproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:25 Sa 09.02.2008
Autor: Agrippa

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

bin jetzt schon einige Zeit am stöbern, aber ich komm irgendwie nicht drauf wie bei z.B dieser DGL

[mm] x^{2}*y'+y=0 [/mm]    nach trennen der Veränderlichen auf

[mm] \bruch{1}{y}dy=-\bruch{1}{x^{2}}dx [/mm]    integriert wird.

Manchmal lese ich das so

[mm] ln|y|=ln|x^{2}|+C. [/mm]   Aber ich hab auch schon die Variante gesehen

[mm] -\bruch{1}{2*y^{-2}}=-\bruch{1}{2*x^{-2}}+C, [/mm] sprich statt

[mm] \bruch{1}{y} [/mm] wird  [mm] y^{-1} [/mm] integriert.

Kann mir jemand erklären warum das einmal so und dann wieder anders gemacht wird und was ist richtig?


Viele Grüsse,
Agrippa
        
Bezug
DGL trennen der Veränderlichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:42 Sa 09.02.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Agrippa und erst einmal ein herzliches [willkommenmr]


> Hallo,
>  
> bin jetzt schon einige Zeit am stöbern, aber ich komm
> irgendwie nicht drauf wie bei z.B dieser DGL
>  
> [mm]x^{2}*y'+y=0[/mm]    nach trennen der Veränderlichen auf
>  
> [mm]\bruch{1}{y}dy=-\bruch{1}{x^{2}}dx[/mm]    integriert wird. [ok]
>  
> Manchmal lese ich das so
>
> [mm]ln|y|=ln|x^{2}|+C.[/mm]   [notok]

Das ist doch Unsinn. Eine Stammfunktion von [mm] $-\frac{1}{x^2}$ [/mm] ist doch nicht [mm] $\ln|x^2|$ [/mm] ??!!

Von der letzten Gleichung ausgehend ergibt sich doch durch Integrieren auf beiden Seiten:

[mm] $\blue{\int}\bruch{1}{y}dy=\blue{\int}-\bruch{1}{x^{2}}dx$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \ln|y|=\frac{1}{x}+c$ [/mm] mit einer Konstanten [mm] $c\in\IR$ [/mm] (Integrationskonstante)

Eigentlich müsste bei der Integration auf der linken Seite auch eine Integrationskonstante [mm] $+\tilde{c}$ [/mm] auftauchen, aber die wird quasi direkt mit der anderen Inegrationskonstante "verrechnet" zu einer ;-)

Also [mm] $\ln|y|=\frac{1}{x}+c\qquad\mid e^{(...)}$ [/mm] auf beiden Seiten

[mm] $\Rightarrow |y|=e^{\frac{1}{x}+c}=e^{\frac{1}{x}}\cdot{}e^c$ [/mm]

Nun ist das [mm] $e^c$ [/mm] wieder eine Konstante, wir können sie also [mm] $c_1$ [/mm] nennen und erhalten (da [mm] c_1\in\IR [/mm] beliebig ist)

[mm] $y=c_1\cdot{}e^{\frac{1}{x}}$ [/mm] als Lösung der DGL

Aber ich hab auch schon die Variante
> gesehen
>  
> [mm]-\bruch{1}{2*y^{-2}}=-\bruch{1}{2*x^{-2}}+C,[/mm] sprich statt
>
> [mm]\bruch{1}{y}[/mm] wird  [mm]y^{-1}[/mm] integriert.

Das habe ich noch nie gesehen und kapiere es auch nicht ;-)

Die Umformung nach TdV oben hattest du goldrichtig, danach lautet das Rezept: Beide Seiten integrieren

>  
> Kann mir jemand erklären warum das einmal so und dann
> wieder anders gemacht wird und was ist richtig?
>
>
> Viele Grüsse,
>  Agrippa


LG

schachuzipus
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