DGL u. Wronski-Det < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Fr 26.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sei die DGL
y '' + [mm] \omega^2*y [/mm] = 0
1. Zeigen Sie mithilfe der Wronski-Determinante , dass
[mm] y_1 [/mm] = [mm] C_1*sin(\omega*x) [/mm] und [mm] y_2 [/mm] = [mm] C_2*cos(\omega*x) [/mm]
linear unabhängige Basislösungen der DGL sind und bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL.
2. Zeigen Sie, dass auch y = [mm] e^{j*\omega*x} [/mm] die DGL erfüllt. |
Moin Moin,
die Wronski-Determinante würde man m.E. hier errechnen können durch
[mm] \vmat{ y_1 & y_2 \\ y_1 ' & y_2 ' }
[/mm]
[mm] \vmat{ C_1*sin(\omega*x) & C_2*cos(\omega*x) \\ C_1*\omega*cos(\omega*x) & -C_2*\omega*sin(\omega*x) }
[/mm]
= [mm] C_1*sin(\omega*x)*(-C_2*\omega*sin(\omega*x)) [/mm] - [mm] C_2*cos(\omega*x)* C_1*\omega*cos(\omega*x) [/mm]
= - [mm] C_1*C_2*\omega*[sin^2(\omega*x) [/mm] + [mm] cos^2(\omega*x) [/mm] ]
= - [mm] C_1*C_2*\omega*1 [/mm]
[mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] sind (vermutlich) in jedem Fall ungleich null.
[mm] \omega [/mm] steht hier für die Kreisfrequenz [mm] \omega [/mm] = [mm] 2*\pi*f [/mm] = [mm] \bruch{2*\pi}{T}
[/mm]
Und wenn diese wirklich null wäre, gäbe es keine Schwingung.
Daher wird [mm] \omega [/mm] ebenfalls [mm] \not= [/mm] 0 vorausgesetzt.
Dann ist die Wronski-Determinante ungleich null => und die Funktionen sind linear unabhängig.
richtig?
Wie komme ich jetzt aber auf die allgemeine Lösung der DGL?
[mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] ???
zu 2)
y = [mm] e^{j*\omega*x}
[/mm]
y ' = [mm] j*\omega*e^{j*\omega*x}
[/mm]
y '' = [mm] j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}
[/mm]
mit [mm] j^2 [/mm] = -1
[mm] j^2\omega^2*e^{j*\omega*x} [/mm] + [mm] \omega^2*e^{j*\omega*x} [/mm] = 0 | : [mm] e^{j*\omega*x}
[/mm]
[mm] -\omega^2 [/mm] + [mm] \omega^2 [/mm] = 0
0 = 0
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Fr 26.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die DGL
>
> y '' + [mm]\omega^2*y[/mm] = 0
>
> Zeigen Sie mithilfe der Wronski-Determinante , dass
>
> [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1*sin(\omega*x)[/mm] und [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*cos(\omega*x)[/mm]
Hier sollte man noch fordern, dass [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] beide nicht =0 sind.
>
> linear unabhängige Basislösungen der DGL sind und
> bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL.
> Moin Moin,
>
> die Wronski-Determinante würde man m.E. hier errechnen
> können durch
>
> [mm]\vmat{ y_1 & y_2 \\ y_1 ' & y_2 ' }[/mm]
>
>
> [mm]\vmat{ C_1*sin(\omega*x) & C_2*cos(\omega*x) \\ C_1*\omega*cos(\omega*x) & -C_2*\omega*sin(\omega*x) }[/mm]
>
> = [mm]C_1*sin(\omega*x)*(-C_2*\omega*sin(\omega*x))[/mm] -
> [mm]C_2*cos(\omega*x)* C_1*\omega*cos(\omega*x)[/mm]
>
> = - [mm]C_1*C_2*\omega*[sin^2(\omega*x)[/mm] + [mm]cos^2(\omega*x)[/mm] ]
>
> = - [mm]C_1*C_2*\omega*1[/mm]
>
> [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] sind (vermutlich) in jedem Fall ungleich null.
>
> [mm]\omega[/mm] steht hier für die Kreisfrequenz [mm]\omega[/mm] = [mm]2*\pi*f[/mm] =
> [mm]\bruch{2*\pi}{T}[/mm]
>
> Und wenn diese wirklich null wäre, gäbe es keine
> Schwingung.
>
> Daher wird [mm]\omega[/mm] ebenfalls [mm]\not=[/mm] 0 vorausgesetzt.
>
> Dann ist die Wronski-Determinante ungleich null => und die
> Funktionen sind linear unabhängig.
>
> richtig?
>
ja
>
> Wie komme ich jetzt aber auf die allgemeine Lösung der
> DGL?
>
Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler Vektorraum, wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?
> [mm]y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm] ???
>
>
>
>
> zu 2)
2) hast du nicht gepostet. ....
>
> y = [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
>
> y ' = [mm]j*\omega*e^{j*\omega*x}[/mm]
>
> y '' = [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm]
>
>
> mit [mm]j^2[/mm] = -1
>
>
> [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] + [mm]\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] = 0 |
> : [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
>
> [mm]-\omega^2[/mm] + [mm]\omega^2[/mm] = 0
>
> 0 = 0
>
>
> richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Sa 27.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler
Vektorraum, wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?
L = [mm] \vektor{C_1*sin(\omega*x) \\ C_2*cos(\omega*x)} [/mm]
so?
> >
> > zu 2)
>
> 2) hast du nicht gepostet. ....
Upps. Ich habe 2. in der Aufgabenstellung gerade ergänzt!
> > y = [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
> >
> > y ' = [mm]j*\omega*e^{j*\omega*x}[/mm]
> >
> > y '' = [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm]
> >
> >
> > mit [mm]j^2[/mm] = -1
> >
> >
> > [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] + [mm]\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] = 0 |
> > : [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
> >
> > [mm]-\omega^2[/mm] + [mm]\omega^2[/mm] = 0
> >
> > 0 = 0
> >
> >
> > richtig?
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Sa 27.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler
> Vektorraum, wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?
>
> L = [mm]\vektor{C_1*sin(\omega*x) \\ C_2*cos(\omega*x)}[/mm]
Unsinn! Jede Lösung der Dgl. ist eine Linearkombination der Funktionen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2
[/mm]
>
> so?
>
>
> > >
> > > zu 2)
> >
> > 2) hast du nicht gepostet. ....
>
> Upps. Ich habe 2. in der Aufgabenstellung gerade ergänzt!
>
>
> > > y = [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
> > >
> > > y ' = [mm]j*\omega*e^{j*\omega*x}[/mm]
> > >
> > > y '' = [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm]
> > >
> > >
> > > mit [mm]j^2[/mm] = -1
> > >
> > >
> > > [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] + [mm]\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] = 0 |
> > > : [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
> > >
> > > [mm]-\omega^2[/mm] + [mm]\omega^2[/mm] = 0
> > >
> > > 0 = 0
> > >
> > >
> > > richtig?
ja
> >
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 27.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
> > Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler
> > Vektorraum, wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?
> >
> > L = [mm]\vektor{C_1*sin(\omega*x) \\ C_2*cos(\omega*x)}[/mm]
>
> Unsinn! Jede Lösung der Dgl. ist eine Linearkombination
> der Funktionen [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm]
also so ?
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] r*C_1*sin(\omega*x) [/mm] + [mm] s*C_2*cos(\omega*x) [/mm]
mit r,s [mm] \in \IR. [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Mo 29.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> > > Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler
> > > Vektorraum, wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?
> > >
> > > L = [mm]\vektor{C_1*sin(\omega*x) \\ C_2*cos(\omega*x)}[/mm]
> >
> > Unsinn! Jede Lösung der Dgl. ist eine Linearkombination
> > der Funktionen [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm]
>
> also so ?
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]r*C_1*sin(\omega*x)[/mm] + [mm]s*C_2*cos(\omega*x)[/mm]
>
> mit r,s [mm]\in \IR.[/mm]
>
Na ja....
Ich hab nicht verstanden , warum der Aufgabensteller die Funktionen
$ [mm] y_1 =C_1\cdot{}sin(\omega\cdot{}x) [/mm] $ und $ [mm] y_2 [/mm] = [mm] C_2\cdot{}cos(\omega\cdot{}x) [/mm] $
mit den Konstanten [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] def. hat.
Machen wir es so: seien $ [mm] y_1 (x)=\sin(\omega\cdot{}x) [/mm] $ und $ [mm] y_2 [/mm] = [mm] \cos(\omega\cdot{}x) [/mm] $.
Die Wronskideterminante dieser beiden Funktionen ist $ [mm] \ne [/mm] 0$. Damit sind sie linear unabhängig.
Sei L die Menge aller Lösungen der DGL $y '' + [mm] \omega^2\cdot{}y [/mm] =0$.
Wir haben:
1. [mm] $y_1,y_2 \in [/mm] L$ und 2. L ist ein reeller Vektoraum mit $ [mm] \dim [/mm] L =2$.
Damit ist [mm] $\{y_1,y_2 \}$ [/mm] eine Basis von L.
Fazit: jede Lösung y [mm] \in [/mm] L hat die Form
[mm] $y=ry_1+sy_2$ [/mm] mit $r,s [mm] \in \IR$.
[/mm]
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