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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | y'' + y' + y = x cos (x) - sin(x)
y(0) = 1
y'(0) = 0
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So mein Lösungsansatz:
y'' + y' + y = x cos x - sinx
1. Schritt:
[mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] + 1 = 0
[mm] \lambda1;2 [/mm] = [mm] \bruch{-1 +,- \wurzel{1-4}}{2}
[/mm]
[mm] \lambda1;2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +,- [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}*j
[/mm]
real: [mm] -\bruch{1}{2} [/mm]
imaginär: +,- [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}*j
[/mm]
yh = [mm] e^{-\bruch{1}{2}*x} [/mm] * (c1 * [mm] cos(\bruch{\wurzel{3}}{2}*x) [/mm] + c2 * [mm] sin(\bruch{\wurzel{3}}{2}*j)
[/mm]
2. Schritt:
xcosx - sinx = 0
Nur was nehm ich da für einen Ansatz her?
Ich würde vom Formelbuch folgenden nehmen:
[mm] \lambda1;2 [/mm] = [mm] +-j*\beta
[/mm]
= yp = x *(a sin [mm] \beta [/mm] x + b cos [mm] \beta [/mm] x)
Aber was mach ich mit dem x bei der Angabe?
Mach ich hier 2 Teile?
Für das x = ax + b??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Wie kommstn auf das? 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Wie kommstn auf das?
ich habe schon ähnliche Aufgaben mit dem gleichen Ansatz geknackt - aber es klappte wie gesagt nicht immer.
Probier' es einfach aus.
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Do 21.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ja mit deinem Ansatz müsste es funktionieren:
yp = (Ax + b) * sin (x) + (Cx + D) * cos(x)
y'p = (Ax + B + C) * cos(x) - (Cx - A + D) * sin (x)
y''p = (- Cx + 2A - D) * cos(x) + (-Ax - B - 2C) * sin (x)
Das jetzt wieder eingesetzt und auch gleich ausmultipliziert mit sin und cos
- Cx * cos(x) + 2A * cos(x) - D * cos(x) - Ax * sin(x) - B * sin(x) - 2C * sin(x) + Ax * cos(x) + B * cos(x) + C * cos(x) - Cx * sin(x) + A * sin(x) - D * sin (x) + Ax * sin(x) + B * sin(x) + Cx * cos(x) + D * cos(x) = x * cos(x) - sin(x)
So jezt suche ich folgendes heraus:
- B * sin(x) - 2C * sin(x) + A * sin(x) - D * sin (x) + B * sin(x) = - sin(x)
x * cos (x): -C + A + C = 1
Lösung: A = 1
x * sin (x): -A - C + A = 0
Lösung: C = 0
cos(x): 2A - D + B + C + D = 0
Lösung: 2 + B = 0
B = -2
sin(x): -B - 2C + A - D + B = -1
2 - 0 + 1 - d -2 = -1
1 - d = -1
-d = -2
d = 2
yp = (1x - 2) * sin(x) + (2) * cos (x)
y = yh + yp
y = [mm] e^{-\bruch{1}{2}}*(c1 [/mm] * [mm] cos(\bruch{\wurzel{3}*x}{2}) [/mm] + (c2 * [mm] sin(\bruch{\wurzel{3}*x}{2}
[/mm]
Ich hoffe des passt??
Danke erstmals für deinen Ansatz!
Aber wie kommt man auf so was, bzw. wo steht das zB im Bartsch?
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Do 21.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
tut mir leid, aber ich kann das heute nicht mehr prüfen, da ich schon wieder weg bin ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]")
LG
Herby
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Hallo andi7987,
> Ja mit deinem Ansatz müsste es funktionieren:
>
> yp = (Ax + b) * sin (x) + (Cx + D) * cos(x)
>
> y'p = (Ax + B + C) * cos(x) - (Cx - A + D) * sin (x)
>
> y''p = (- Cx + 2A - D) * cos(x) + (-Ax - B - 2C) * sin (x)
>
> Das jetzt wieder eingesetzt und auch gleich
> ausmultipliziert mit sin und cos
>
> - Cx * cos(x) + 2A * cos(x) - D * cos(x) - Ax * sin(x) - B
> * sin(x) - 2C * sin(x) + Ax * cos(x) + B * cos(x) + C *
> cos(x) - Cx * sin(x) + A * sin(x) - D * sin (x) + Ax *
> sin(x) + B * sin(x) + Cx * cos(x) + D * cos(x) = x * cos(x)
> - sin(x)
>
> So jezt suche ich folgendes heraus:
>
> - B * sin(x) - 2C * sin(x) + A * sin(x) - D * sin (x) + B
> * sin(x) = - sin(x)
>
> x * cos (x): -C + A + C = 1
> Lösung: A = 1
>
> x * sin (x): -A - C + A = 0
> Lösung: C = 0
>
> cos(x): 2A - D + B + C + D = 0
> Lösung: 2 + B = 0
> B = -2
>
> sin(x): -B - 2C + A - D + B = -1
> 2 - 0 + 1 - d -2 = -1
> 1 - d = -1
> -d = -2
> d = 2
>
> yp = (1x - 2) * sin(x) + (2) * cos (x)
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> y = yh + yp
>
> y = [mm]e^{-\bruch{1}{2}}*(c1[/mm] * [mm]cos(\bruch{\wurzel{3}*x}{2})[/mm] +
> (c2 * [mm]sin(\bruch{\wurzel{3}*x}{2}[/mm]
>
> Ich hoffe des passt??
>
> Danke erstmals für deinen Ansatz!
>
> Aber wie kommt man auf so was, bzw. wo steht das zB im
> Bartsch?
Den Bartsch kenne ich nicht.
Nun, der Ansatz ist gemäß der Störfunktion zu wählen.
>
> Danke!!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Do 21.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Vielen lieben Dank!
Und gibt es da ein Verfahren bezüglich der Störfunktion?
Ich meine vor allem dann, wenn es vermischt ist?
zB
[mm] e^{x} [/mm] * x
oder
sin(x) * [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c
Gibt es für solche vermischten Ansätze irgendwelche Grundsätze oder feste Vorgehenssätze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo Andi,
> Vielen lieben Dank!
>
> Und gibt es da ein Verfahren bezüglich der Störfunktion?
es gibt Tabellen, in denen zu verschiedenen Störfunktionen Ansätze aufgeführt sind: ![[]](/images/popup.gif) http://sylviadoelz.de/tabelledgl1.pdf
Ich habe das inhaltlich jetzt nicht überprüft, sollte nur ein Beispiel sein
> Ich meine vor allem dann, wenn es vermischt ist?
>
> zB
>
> [mm]e^{x}[/mm] * x
Für [mm] e^x [/mm] nimmt man [mm] A*e^x [/mm] und für das x nimmt man Bx+C -- und weil es ein Produkt ist erhältst du [mm] A*e^x*(Bx+C)
[/mm]
> oder
>
> sin(x) * [mm]ax^{2}[/mm] + bx + c
Für die Sinunsfunktion nimmt man [mm] D*\sin(x)+E*\cos(x) [/mm] und für die Polynomfunktion [mm] Ax^2+Bx+C [/mm] - ergo als Produkt [mm] (D*\sin(x)+E*\cos(x))*(Ax^2+Bx+C)
[/mm]
Hier kann es dir passieren, dass du zu keiner Lösung kommst, weil sich Parameter aufheben oder so - dann multiplizier halt einfach noch ein x dazu oder gleich nochmal die Polynomfunktion mit neuen Faktoren [mm] F*x^2+G*x+H
[/mm]
Einfach ausprobieren - irgendwas wird schon mal klappen
In beiden Fällen gibt es ggf. noch Besonderheiten, falls einer der Faktoren vor den Parametern eine n-fache Lösung des charakteristischen Polynoms ist, dann muss man noch mit [mm] x^n [/mm] multiplizieren oder ... usw.
Jetzt aber noch mal: Es ist [mm] \text{\red{nicht}} [/mm] gesagt, dass man eine Lösung findet. In unendlich vielen Fällen gibt es keine geschlossene Lösungsfunktion und man muss sich mit Näherungen zufrieden geben. Bei den Übungen hier kannst du zwar davon ausgehen, dass du zu einem darstellbaren Ergebnis kommst, weil die Aufgaben extra so gemacht wurden - sei aber nicht enttäuscht, wenn es mal nicht so ist.
> Gibt es für solche vermischten Ansätze irgendwelche
> Grundsätze oder feste Vorgehenssätze?
nein
Liebe Grüße
Herby
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