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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Sa 26.01.2008 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Berechne die Lösung x(t),y(t),z(t) des DGL-Systems
x´=-0,5xy x(0)=1
y´=-0,5xy y(0)=2
z´=0,5xy z(0)=0
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Nabend!
Verliere grade den Überblick beim lösen der Aufgabe, habe generell ncoh Probleme bei DGL´s.
Habe so gerechnet:
x=1-z und y=2-z
x+y=1 y+z=2
=> x´+z´=0
darum muss x+z=konstant sein => x+z=x(0)+z(0)=1 und y+z=y(0)+z(0)=2
Nun habe ich
z´=0,5xy mit x=1-z und y=2-z
=>z´=0,5*(1-z)*(2-z)
[mm] \bruch{dz}{dt}=0,5*(1-z)*(2-z)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dz}{0,5*(1-z)*(2-z)} }=dt
[/mm]
Partilabruchzerlegung:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{(1-z)}-\bruch{2}{(2-z)} dz}=dt
[/mm]
[mm] 2*ln(\bruch{|1-z|}{|2-z|}=t+\alpha \alpha [/mm] als Integrationsvariable
Bestimmung von [mm] \alpha=>t=0 [/mm] => z(0)=0
[mm] 2*ln(0,5)=\alpha
[/mm]
So nu hab ich hier wie ein wilder rumgerechnet und weiß nun nicht mehr wie es weitergeht.Kann da jemand weiterhelfen?
Danke!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 So 27.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
> Berechne die Lösung x(t),y(t),z(t) des DGL-Systems
> x´=-0,5xy x(0)=1
> y´=-0,5xy y(0)=2
> z´=0,5xy z(0)=0
>
> Nabend!
> Verliere grade den Überblick beim lösen der Aufgabe, habe
> generell ncoh Probleme bei DGL´s.
> Habe so gerechnet:
>
> x=1-z und y=2-z
> x+y=1 y+z=2
>
> => x´+z´=0
> darum muss x+z=konstant sein => x+z=x(0)+z(0)=1 und
> y+z=y(0)+z(0)=2
>
> Nun habe ich
> z´=0,5xy mit x=1-z und y=2-z
> =>z´=0,5*(1-z)*(2-z)
> [mm]\bruch{dz}{dt}=0,5*(1-z)*(2-z)[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dz}{0,5*(1-z)*(2-z)} }=dt[/mm]
>
> Partilabruchzerlegung:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{(1-z)}-\bruch{2}{(2-z)} dz}=dt[/mm]
>
> [mm]2*ln(\bruch{|1-z|}{|2-z|}=t+\alpha \alpha[/mm] als
> Integrationsvariable
> Bestimmung von [mm]\alpha=>t=0[/mm] => z(0)=0
> [mm]2*ln(0,5)=\alpha[/mm]
>
> So nu hab ich hier wie ein wilder rumgerechnet und weiß nun
> nicht mehr wie es weitergeht.Kann da jemand weiterhelfen?
Du hast die Lösung der DGL in impliziter Form. Um weiterzukommen, musst du sie in die explizite Form z(t) bringen. Dazu zunächst mal als Vorbemerkung: [mm] \alpha = 2*\ln\bruch{1}{2} = \ln \bruch{1}{4}[/mm]. Ebenso ist
[mm] 2*\ln(\bruch{|1-z|}{|2-z|}=t+\alpha \gdw \ln\left(\bruch{|1-z|}{|2-z|}\right)^2 = t+\alpha [/mm].
Jetzt wendest du auf beiden Seiten die Umkehrfunktion des Logarithmus, die Exponentialfunktion an:
[mm]\bruch{(1-z)^2}{(2-z)^2} = \mathrm{e}^{t+\alpha} = \mathrm{e}^t \cdot \mathrm{e}^\alpha = \mathrm{e}^t * \bruch{1}{4} [/mm].
Diese Gleichung löst du nach z auf und berechnest daraus x(t) und y(t).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 29.01.2008 | | Autor: | ONeill |
Hallo rainerS und schon mal ein großes Dankeschön für die Hilfe!
Habe also nun [mm] 2*ln\bruch{|1-z|}{|2-z|}=t+ln(0,25) [/mm] nach z umgestellt und komme auf:
[mm] z=\bruch{1-e^{0,5*t}}{1-0,5*e^{0,5*t}}
[/mm]
Aber wie berechne ich damit nun x(t) und y(t)?
Mein Ansatz wäre:
Hatte vorher schonmal geschrieben, dass gelten muss:
x=1-z
bzw
x(t)=1-z(t), also z einsetzen
[mm] x(t)=1-\bruch{1-e^{0,5*t}}{1-0,5*e^{0,5*t}}
[/mm]
analog dazu
[mm] y(t)=2-\bruch{1-e^{0,5*t}}{1-0,5*e^{0,5*t}}
[/mm]
Ist das also nun meine Lösung?
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Di 29.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
> Hallo rainerS und schon mal ein großes Dankeschön für die
> Hilfe!
> Habe also nun [mm]2*ln\bruch{|1-z|}{|2-z|}=t+ln(0,25)[/mm] nach z
> umgestellt und komme auf:
> [mm]z=\bruch{1-e^{0,5*t}}{1-0,5*e^{0,5*t}}[/mm]
> Aber wie berechne ich damit nun x(t) und y(t)?
> Mein Ansatz wäre:
> Hatte vorher schonmal geschrieben, dass gelten muss:
> x=1-z
> bzw
> x(t)=1-z(t), also z einsetzen
> [mm]x(t)=1-\bruch{1-e^{0,5*t}}{1-0,5*e^{0,5*t}}[/mm]
>
> analog dazu
> [mm]y(t)=2-\bruch{1-e^{0,5*t}}{1-0,5*e^{0,5*t}}[/mm]
>
> Ist das also nun meine Lösung?
Fast richtig. Wenn du diese Lösung einsetzt, siehst du, dass sie keine Lösung ist, denn die Ableitungen kommen mit dem falschen Vorzeichen heraus.
Wir haben nämlich beide einen Vorzeichenfehler bei der Integration gemacht: die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] ist [mm]\red{-}\ln(1-z)[/mm], das ergibt ein anderes Vorzeichen im Exponenten der e-Funktion.
Damit ist dann:
[mm] z= \bruch{1-e^{-0,5*t}}{1-0,5*e^{-0,5*t}} = \bruch{2e^{t/2}-2}{e^{t/2}-1}[/mm]
[mm] x = \bruch{1}{e^{t/2}-1} [/mm]
[mm] y= \bruch{2e^{t/2}}{e^{t/2}-1} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Di 29.01.2008 | | Autor: | ONeill |
Hallo Rainer!
Super, dass du den Fehler noch bemerkt hast.
Das hat allerdings auch zur Folge,dass sich nicht nur das Vorzeichen im Exponenten änder, sondern man auch den Kehrwert erhält, wenn man den lg zusammenfasst.
Am Ende komme ich daher auf
[mm] x=1-\bruch{2-0,5*e^{0,5t}}{1-0,5*e^{0,5t}}
[/mm]
[mm] y=2-\bruch{2-0,5*e^{0,5t}}{1-0,5*e^{0,5t}}
[/mm]
Danke!
Gruß ONeill
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