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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Sei $F: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^5$ [/mm] gegeben durch [mm] $f((x_1, x_2, x_3)) [/mm] = [mm] (x_1-x_2+x_3, x_2-x_3, x_1+x_3, x_1+x_2+x_3, x_1-x_2+2x_3)$.
[/mm]
Stellen Sie die darstellende Matrix von F bezüglich der Basen
[mm] $\vektor{1\\1\\1}, \vektor{1\\1\\0}, \vektor{1\\0\\1}$, [/mm] bzw. [mm] $\vektor{0\\1\\1\\1\\1}, \vektor{1\\0\\1\\1\\1}, \vektor{1\\1\\0\\1\\1}, \vektor{1\\1\\1\\0\\1}, \vektor{1\\1\\1\\1\\0}$
[/mm]
auf.
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Hallo,
aus der gegebenen Abbildung [mm] $f((x_1, x_2, x_3)) [/mm] = [mm] (x_1-x_2+x_3, x_2-x_3, x_1+x_3, x_1+x_2+x_3, x_1-x_2+2x_3)$ [/mm] kann ich die Matrix
[mm] \pmat{1&-1&1\\0&1&-1\\1&0&1\\1&1&1\\1&-1&2} [/mm] aufstellen.
Aber wie kann ich bezüglich der jeweils angegebenen Basen, die aus dem [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \IR^5 [/mm] stammen, die darstellende Maritx bestimmen?
Vielen Dank und einen guten Start in die Woche,
Palonina
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Hallo Palonina,
das machst du "wie üblich" 
Bilde zuerst den [mm] $\blue{ersten}$ [/mm] Basisvektor der gegebenen Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] ab, also [mm] $\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
Berechne also [mm] $F\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
Dieses Ergebnis (diesen Vektor) stelle als Linearkombination der gegebenen Basisvektoren des [mm] $\IR^5$ [/mm] dar.
Die Koeffizienten in dieser Linearkombination stopfst du in die [mm] \blue{erste} [/mm] Spalte der gesuchten Darstellungsmatrix
Dann machst du mit dem [mm] \red{zweiten} [/mm] Basisvektor [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] weiter, berechne sein Bild unter F und stelle es wieder als LK der Basisvektoren des [mm] $\IR^5$ [/mm] dar.
Die Koeffizienten bilden dann die [mm] \red{zweite} [/mm] Spalte der gesuchten Darstellungsmatrix
Und schließlich berechne genauso die dritte und letzte Spalte der gesuchten Darstellungsmatrix
Die [mm] $5\times [/mm] 3$-Matrix, die du so erhältst, ist die gesuchte Darstellungsmatrix von $F$ bzgl. der gegebenen Basen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Di 20.05.2008 | | Autor: | Palonina |
Hallo schachuzipus,
danke für den Tipp. Wenn mans weiß, ist es ja eigentlich ganz einfach, aber ich stehe manchmal einfach auf dem Schlauch.
Ich habe die gegebenen Basisvektoren abgebildet und dann als LK der Basisvektoren des [mm] \IR^5 [/mm] dargestellt und erhalte dann die Matrix
A= [mm] \pmat{1&1&-0,25\\2&0&2,75\\0&0&0,75\\-1&-1&-0,25\\0&1&-1,25}.
[/mm]
Stimmt die Matrix?
In der nächsten Aufgabe sollten wir für F zeigen, dass
dim ker (F) = 0, dim im (F) = 3
und ein Komplement von im (F) bestimmen, indem wir eine Basis aus passend gewählten Einheitsvektoren angeben.
Wenn ich für die obige Matrix den Kern berechne, erhalte ich den Nullvektor als einzige Lösung, damit habe ich dann bewiesen, dass die Dimension 0 ist und das Bild die Dimension 3 hat.
Wenn ich das richtig verstanden habe, bildet die Matrix A eine Basis des Bildes von F, da die Spalten l.u. sind. Also müsste ich für das Komplement eigentlich nur die beiden Einheitsvektoren finden, die dazu l.u. sind, um die gesuchte Basis zu finden. Diese kann ich aber nicht finden. Habe ich mich irgendwo verrechnet?
Viele Grüße,
Palonina
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> danke für den Tipp. Wenn mans weiß, ist es ja eigentlich
> ganz einfach, aber ich stehe manchmal einfach auf dem
> Schlauch.
>
> Ich habe die gegebenen Basisvektoren abgebildet und dann
> als LK der Basisvektoren des [mm]\IR^5[/mm] dargestellt und erhalte
> dann die Matrix
>
> A=
> [mm]\pmat{1&1&-0,25\\2&0&2,75\\0&0&0,75\\-1&-1&-0,25\\0&1&-1,25}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Stimmt die Matrix?
Nicht ganz, die 3.Spalte ist falsch.
Es ist [mm] $F\vektor{1\\0\\1}=\vektor{2\\-1\\2\\2\\3}=\red{0}\cdot{}\vektor{0\\1\\1\\1\\1}+\red{3}\cdot{}\vektor{1\\0\\1\\1\\1}+\red{0}\cdot{}\vektor{1\\1\\0\\1\\1}+\red{0}\cdot{}\vektor{1\\1\\1\\0\\1}+\red{(-1)}\cdot{}\vektor{1\\1\\1\\1\\0}$
[/mm]
Also ist die dritte Spalte der Darstellungsmatrix [mm] $\vektor{0\\3\\0\\0\\-1}$
[/mm]
>
> In der nächsten Aufgabe sollten wir für F zeigen, dass
>
> dim ker (F) = 0, dim im (F) = 3
>
> und ein Komplement von im (F) bestimmen, indem wir eine
> Basis aus passend gewählten Einheitsvektoren angeben.
>
> Wenn ich für die obige Matrix den Kern berechne, erhalte
> ich den Nullvektor als einzige Lösung, damit habe ich dann
> bewiesen, dass die Dimension 0 ist und das Bild die
> Dimension 3 hat. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das stimmt auch für die Matrix mit der "richtigen" dritten Spalte
Sage vllt. noch einen Satz dazu, wieso du damit bewiesen hast, dass $dim(Im(F))=3$ ist ...
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, bildet die Matrix A
> eine Basis des Bildes von F
Das ist Unsinn!!
Die Spalten(-vektoren) der Matrix spannen das Bild von F, $Im(F)$ , auf.
Du hast berechnet, dass die Dimension des Bildes 3 ist, also sind die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix schon die gesuchte Basis von $Im(F)$
> da die Spalten l.u. sind. Also
> müsste ich für das Komplement eigentlich nur die beiden
> Einheitsvektoren finden, die dazu l.u. sind, um die
> gesuchte Basis zu finden. Diese kann ich aber nicht finden.
> Habe ich mich irgendwo verrechnet?
>
> Viele Grüße,
> Palonina
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Di 20.05.2008 | | Autor: | Palonina |
Oh, danke, da habe ich mich wohl bei den [mm] x_i [/mm] verlesen. Jetzt klappt es auch.
Ich muss dringend darauf achten, mich präziser auszudrücken.
Gruß,
Palonina
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