Darstellende Matrix, Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Sa 26.11.2011 | | Autor: | nick55 |
| Aufgabe | Wir betrachten die lineare Abbildung
[mm] L:M(2\times2,\IC)\to\IC^4, \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } \mapsto \vektor{a_{11}+a_{22} \\ a_{11}-\overline{a_{11}}\\ a_{22}-\overline{a_{22}}\\ a_{12}-\overline{a_{21}}}
[/mm]
Geben Sie eine Basis des Bilds von L an (mit Beweis, dass es sich um eine Basis handelt). |
Hallo, ich habe eine Frage zu einer Mathe Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiterkomme. Beim eintippen hab ich mein bestes gegeben, falls es nicht ganz perfekt ist, verzeiht mir beim ersten Post.
Erster Gedanke ist natürlich das Bild von L zu bestimmen. Das geht soweit ich gelesen habe, indem man die darstellende Matrix bildet. Das Bild entspricht dann den linear unabhängigen Spalten. Die Frage ist, wie ich die darstellende Matrix (D) für
[mm] D*\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] = [mm] \vektor{a_{11}+a_{22} \\ a_{11}-\overline{a_{11}}\\ a_{22}-\overline{a_{22}}\\ a_{12}-\overline{a_{21}}}
[/mm]
bilde, denn das passt ja mit der Anzahl der Elemente pro Zeile und Spalte garnicht.
Idee ist jetzt die Matrix einfach untereinander zu schreiben. Ist das Erlaubt? Dann muss man die Basen auch abändern (die übrigens nicht gegeben sind!)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
kennst du eine Bassis von [mm] M(2,2,\IC)
[/mm]
dann betrachte einfach die Bilder der Basis!
araus kannst du alle Bilder konstruieren!
beachte: du bildest eine matrix auf einen Vektor ab.
also kannst du das nicht einfach so hinschreiben. Du sollst ja auch nicht eine Darstellung der Abbildung finden, sondern nur eine Basis des Bildes.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 26.11.2011 | | Autor: | nick55 |
naja als basis kommt zb in frage die menge von 8 matrizen, die jeweils an einer stelle entweder ein i oder eine 1 stehen haben. also die formvon zb dieser basismatrix [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ i & 0 }
[/mm]
auf diese wende ich dann einfach die funktion an und schaue, wieviele unterschiedliche vektoren rauskommen. meins du das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja denn damit hast du ja wegen der linearität alle Bildvektoren als linearkombination.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:19 So 27.11.2011 | | Autor: | nick55 |
ich habs jetzt ausformuliert und bin mir ziemlich sicher, dass alles richtig ist.
das ergebnis ist dann [mm] \{\vektor{1 \\ 0\\0\\0}\vektor{i \\ 2i\\0\\0}\vektor{0 \\ 0\\0\\1}\vektor{i \\ 0\\2i\\0}\vektor{0 \\ 0\\0\\i}\}
[/mm]
vielen dank für deine hilfe leduart!
|
|
|
|
