Darstellende Matrix bestimmen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Abbildung F: V -> W
[mm] V=W=\IR^3
[/mm]
[mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] \mathcal{B} [/mm] = [mm] \mathcal{K}
[/mm]
[mm] F\vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \pmat{ x + y \\ y + z \\ x + z }
[/mm]
v = [mm] \vektor{2\\1\\0}
[/mm]
Man ermittle die darstellende Matrix A=M [mm] \mathcal{A} \mathcal{B} [/mm] (F) mit den angegebenen Basen [mm] \mathcal{A} [/mm] und [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
[mm] \mathcal{K} [/mm] ist die kanonische Basis von [mm] \IR^3.
[/mm]
Weiters ermitteln sie Kern und Bild durch die Angabe einer Basis dieser Vektorräume. |
Meine Fragen:
1) Wie ermittle ich die darstellende Matrix?
Die Lösung sollte angeblich lauten:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
2) Wie bestimme ich Kern und Bild?
Vielen Dank!
lg
christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Chris,
um die Abbildungsmatrix von $F$ zu berechnen, bestimme die Bilder der Basisvektoren von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] unter $F$ und stelle sie als Linearkombination der Basisvektoren dar.
Die entstehenden Koordinaten steckst du als Spalten in die Abbildungsmatix.
Diese Prozedur angewandt auf den i-ten Basisvektor liefert dir die i-te Spalte der Abbildungmatrix
Dh. du hast [mm] $\mathcal{A}=\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}\right\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $F\left(\vektor{1\\0\\0}\right)=\vektor{1\\0\\1}=\red{1}\cdot{}\vektor{1\\0\\0}+\red{0}\cdot{}\vektor{0\\1\\0}+\red{1}\cdot{}\vektor{0\\0\\1}$
[/mm]
Dh. die 1. Spalte der Abbildungsmatrix ist [mm] $\vektor{\red{1}\\\red{0}\\\red{1}}$
[/mm]
Analog erhältst du die 2. und 3. Spalte der Abbildungsmatrix ...
Hier ist das besonders einfach, da du sowohl im Urbild- als auch im Bildraum jeweils die kanonische Basis hast. Da kannst du auch direkt die Bilder der Basisvektoren in die entsprechenden Spalten der Abbildungsmatrix stecken.
Zum Bild:
Es gilt ja, dass die Spalten der Abbildungsmatrix das Bild von $F$ aufspannen.
Wenn du die Abbildungsmatrix [mm] $M_{\mathcal{A}}(F)$ [/mm] ermittelt hast, kannst du also das Bild bzw. dessen Dimension bestimmen, indem du den Rang von [mm] $M_{\mathcal{A}}(F)$, [/mm] also [mm] $rg(M_{\mathcal{A}}(F))$ [/mm] ermittelst.
Ihr hattet bestimmt in der VL den Satz: [mm] $rg(M_{\mathcal{A}}(F))=dim(Bild(F))$
[/mm]
Wenn du diese Dimension ermittelt hast, wählst du halt entsprechend viele linear unabhängige Spaltenvektoren von [mm] $M_{\mathcal{A}}(F)$ [/mm] als Basis des Bildes aus.
Den Kern bzw. erst einmal dessen Dimension kannst du dann über den "Kern-Bild-Satz" berechnen:
[mm] $dim(\IR^3)=dim(Bild(F))+dim(Kern(F))$
[/mm]
Explizit berechnen kannst du den Kern durch Lösen der Gleichung [mm] $M_{\mathcal{A}}(F)\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm]
Im Kern sind ja genau all die Vektoren, die unter $F$ auf [mm] $\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] abgebildet werden.
Reicht das erstmal ? 
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Sa 24.11.2007 | | Autor: | chris2312 |
hey! vielen dank - das ist perfekt erklärt.
die prüfung ist gut gelaufen.
nochmals danke
lg
christoph
|
|
|
|
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]"){kind=small}
