Darstellende Matrizen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 05.06.2013 | | Autor: | Berlin93 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Basis
B = {2x^ [minus] 2x + 1, 2x + 1, 1}
von [mm] R_{\le2}[x] [/mm] sowie die lineare Abbildung L : [mm] R_{\le2}[x] [/mm] → [mm] R_{\le2}[x] [/mm] gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B,
[mm] L_B [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & 2 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschriften von [mm] K^{-1}_B [/mm] und [mm] K_B.
[/mm]
b) Bestimmen Sie L(p) für ein allgemeines Polynom p = [mm] a_2x^2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] ∈ [mm] R_{\le2}[x].
[/mm]
c) Berechnen Sie [mm] L(x^2 [/mm] − [mm] \bruch{3}{4} [/mm] x + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] ).
d) Zeigen Sie, dass für alle Paare
C = { [mm] \vec c_1, \vec c_2 [/mm] } und D = { [mm] \vec d_1, \vec d_2 [/mm] }
verschiedener Basen des [mm] R^2 [/mm] auch die zugehörigen Koordinatenabbildungen [mm] K_C [/mm] und [mm] K_D [/mm] verschieden sind, d.h., dass es (mindestens) einen Vektor [mm] \vec [/mm] v ∈ [mm] R^2 [/mm] gibt, sodass [mm] K_C(\vec [/mm] v) [mm] \ne K_D(\vec [/mm] v). |
Ich habe die a) vollständig gelöst und komme nun bei der b) nicht weiter.
Mein Ansatz ist nun (mit Bezug auf das kommutative Diagramm) L = [mm] K_B^{-1} [/mm] ° [mm] L_B [/mm] ° [mm] K_B
[/mm]
Jedoch verstehe ich nicht wie ich [mm] L_B [/mm] auf die Koordinatenabbildung anwenden muss.
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mi 05.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib p als Linearkombination der Basisvektoren B und wende dann L an.
allerdings verstehe ich dein B nicht, da kann doch kein negativer Exponent vorkommen
Gruss, leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mi 05.06.2013 | | Autor: | Berlin93 |
Das erste Element der Basis soll eigentlich [mm] 2x^2 [/mm] − 2x + 1 heißen, da hat LaTex vorhin nicht so ganz mitgemacht.
Also ich habe ja [mm] K_B [/mm] und [mm] K_B^{-1} [/mm] in a) schon bestimmt. Ich dachte ich wende jetzt zuerst [mm] K_B [/mm] auf p an und habe dann einen Vektor des [mm] R^3. [/mm] Dann will ich [mm] L_B [/mm] anwenden, aber ich weiß nicht wie ich das machen soll? Das wäre auch von [mm] R^3 [/mm] nach [mm] R^3. [/mm] Wenn ich danach noch [mm] K_B^{-1} [/mm] anwende, müsste das dann die Lösung sein. Ich wäre dann über diesen Umweg den gleichen Weg gegangen wie durch L.
Vielleicht ist mein Ansatz auch viel zu kompliziert, aber ich weiß jetzt auch nicht genau wie und wieso ich p als Linearkombination schreibe und dann L anwende. Weil L habe ich ja nicht gegeben.
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| Aufgabe | Gegeben seien die Basis
B = [mm] {2x^2-2x + 1, 2x + 1, 1}
[/mm]
von [mm] R_{\le2}[x] [/mm] sowie die lineare Abbildung L : [mm] R_{\le2}[x] [/mm] → [mm] R_{\le2}[x] [/mm] gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B,
[mm] L_B [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & 2 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschriften von [mm] K^{-1}_B [/mm] und [mm] K_B.
[/mm]
b) Bestimmen Sie L(p) für ein allgemeines Polynom p = [mm] a_2x^2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] ∈ [mm] R_{\le2}[x].
[/mm]
c) Berechnen Sie [mm] L(x^2 [/mm] − [mm] \bruch{3}{4} [/mm] x + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] ).
d) Zeigen Sie, dass für alle Paare
C = { [mm] \vec c_1, \vec c_2 [/mm] } und D = { [mm] \vec d_1, \vec d_2 [/mm] }
verschiedener Basen des [mm] R^2 [/mm] auch die zugehörigen Koordinatenabbildungen [mm] K_C [/mm] und [mm] K_D [/mm] verschieden sind, d.h., dass es (mindestens) einen Vektor [mm] \vec [/mm] v ∈ [mm] R^2 [/mm] gibt, sodass [mm] K_C(\vec [/mm] v) [mm] \ne K_D(\vec [/mm] v). |
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Also ich habe ja [mm]K_B[/mm] und [mm]K_B^{-1}[/mm] in a) schon bestimmt.
Sind die geheim?
> Ich
> dachte ich wende jetzt zuerst [mm]K_B[/mm] auf p an und habe dann
> einen Vektor des [mm]R^3.[/mm]
Ja, Du hast dann den Koordinatenvektor von p bzgl der Basis B - genau das, was Du brauchst.
> Dann will ich [mm]L_B[/mm] anwenden, aber ich
> weiß nicht wie ich das machen soll?
Einfach multiplizieren.
> Das wäre auch von [mm]R^3[/mm]
> nach [mm]R^3.[/mm]
Ja.
Mach Dir klar, was [mm] L_B [/mm] für Dich tut: fütterst Du sie mit dem Koordinatenvektor bzgl. B eines Polynoms, so liefert Dir (per Multiplikation) die Matrix das Bild dieses Polynoms unter der Abbildung L - aber (natürlich) in Koordinaten bzgl B, also als Spaltenvektor.
> Wenn ich danach noch [mm]K_B^{-1}[/mm] anwende, müsste
> das dann die Lösung sein.
Genau. [mm] K_B^{-1} [/mm] verwandelt Dir den Koordinatenvektor bzgl B wieder in ein Polynom.
> Ich wäre dann über diesen
> Umweg den gleichen Weg gegangen wie durch L.
??? Was Du nur meinst...
>
> Vielleicht ist mein Ansatz auch viel zu kompliziert, aber
> ich weiß jetzt auch nicht genau wie und wieso ich p als
> Linearkombination schreibe
Moment - wenn Du in a) [mm] K_B [/mm] bestimmt hast, hast Du das ja schon dort getan.
> und dann L anwende. Weil L habe
> ich ja nicht gegeben.
Eben. Du hast die Darstellungsmatrix von L bzgl. B gegeben, welche Koordinatenvektoren bzgl B frißt und auch solche von sich gibt.
Ich fänd's jetzt besser, statt drüber zu reden, was Du getan hast, getan hättest und tun könntest, manl zeigen würdest, was Du so treibst.
Dann könnte man nämlich ganz konkret darauf eingehen.
LG Angela
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