Darstellung Geraden/Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Sa 22.04.2006 | | Autor: | engele |
| Aufgabe | | Darstellung von Geraden und Ebenen in der Parameterform, Koordinatengleichung, Normalenform |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
wir sollen für das mündliche trainieren und nun muss ich aus dieser Aufgabenstellung ein Referat zaubern, aber leider fehlen mir jegliche Ansätze.
Die Formen weiß ich
Parameterform: OP+s*PQ+t*PR
Normalenform: n*(x-p)=0
KO-Form: 3x+6y+3z=7
weiß nun aber echt nicht, wie ich das darstelle und für ein Referat deutlich mache.
Wär echt super wenn mir jemand helfen könnte und mir sagen könnte,
wie man Ebenen mit den verschiedenen Formen darstellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Andrey |
Falls du dein mathebuch über die analytische geometrie am ende des zwölften schuljahres nicht feierlich verbrannt haben solltest, würde ich empfehlen, als erstes mal da reinzuschauen :D
Meiner meinung nach wäre es sinnvoll, etwa folgendes zu erzählen:
1. wie die parametergleichung einer geraden zustande kommt:
jeder vektor [mm] \vec{x} [/mm] der auf der geraden [mm] g:\vec{x} =\vec{s}+t*\vec{r} [/mm] liegt, kann als linearkombination der vektoren [mm] \vec{s}+t*\vec{r} [/mm] dargestellt werden, wobei [mm] \vec{s} [/mm] der sogenannte stützvektor der geraden ist, und [mm] \vec{r} [/mm] der sogenannte richtungsvektor der geraden ist. Richtungvektor gibt die richtung der geraden an und [mm] |\vec{r}|\not=0, [/mm] stützvektor legt die position der geraden im raum fest, t ist ein skalar [mm] t\in\IR [/mm] Dazu noch eine extrem simple skizze und des wärs schon, was soll man denn über geraden groß erzählen...
2. Parametergleichung einer Ebene:
Genau dieselbe geschichte wie mit der geraden, nur hier gibt es eben nicht nur einen richtungsvektor, sondern zwei spannvektoren [mm] \vec{r_1} [/mm] und [mm] \vec{r_2}, [/mm] die natürlich nicht kollinear sein dürfen [mm] \vec{r_1}\not=j*\vec{r_2} [/mm] j-skalar [mm] j\in\IR, [/mm] da es ansonsten wieder keine ebene, sondern eine gerade oder gar ein punkt wäre. stützvektor [mm] \vec{s} [/mm] legt nach wie vor die position der ebene im raum fest=> [mm] E:\vec{x}=\vec{s}+j*\vec{r_1}+k*\vec{r_2} [/mm] mit skalaren [mm] j,k\in\IR
[/mm]
3. Dann kommt man ja irgenwann auf die idee, dass 2 spannvektoren zu viel sind und irgendwie zu wenig aussagen, und ersetzt die zwei spannvektoren durch einen normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der orthogonal auf der ebene E steht=> [mm] \vec{n}=j*(\vec{r_1}\times\vec{r_2}) [/mm] wobei [mm] j\in\IR [/mm] und [mm] j\not=0. [/mm] Dann sagt man einfach, dass die jede verbindungsstrecke zwischen zwei punkten auf der ebene immer orthogonal zu dem normalenvektor ist, dh dass das skalarprodukt von dem verbindungsvektor zwischen zwei beliebigen punkten der ebene und dem normalenvektor immer 0 ist:
[mm] (\vec{x_1}-\vec{x_2})*\vec{n}=0
[/mm]
sinnvollerweise wählt man [mm] \vec{s} [/mm] (stützvektor) als [mm] \vec{x_2}, [/mm] da der ja so definiert ist, dass er den ursprung und einen punkt auf der ebene verbindet. so kann man also für jeden punkt X mit [mm] \overrightarrow{0X}=\vec{x} [/mm] die gleichung aufstellen:
E: [mm] [\vec{x}-\vec{s}]*\vec{n}=0 [/mm] und wenn [mm] |\vec{n}|=1 [/mm] ist, dann nennt sich das ganze die hesse'sche normalenform
4. um die koordinatengleichung daraus zu erhalten, muss man nur die klammer ausmultiplizieren:
E: [mm] [\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}-\vektor{s_1 \\ s_2 \\ s_3}]*\vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3}=0
[/mm]
E: [mm] x_1*n_1+x_2*n_2+x_3*n_3-(s_1*n_1+s_2*n_2+s_3*n_3)=0
[/mm]
ausdruck [mm] (s_1*n_1+s_2*n_2+s_3*n_3)=d [/mm] ist eine konstante, wird berechnet, und auf die andere seite gebracht:
E: [mm] x_1*n_1+x_2*n_2+x_3*n_3=d [/mm] das ist die koordinatengleichung
So, wenn man das alles mit entsprechenden skizzen verdeutlicht, und die ganzen umrechnungen vorführt, sollte es doch wohl für ein referat über ebenengleichungen schon reichen, meine ich...
gl hf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Sa 22.04.2006 | | Autor: | engele |
Oh Mann... ich dank dir mal ganz herzlich.
Hab in Mathe, vor allem in der Geometrie nämlich nicht so
den Durchblick. Bin dir echt dankbar.
Schau mir des jetzt alles mal an, und wenn ich weitere
Fragen habe, hoffe ich doch, dass du mir vielleicht nochmal
zur Verfügung stehen würdest?!
Hab das im Mathebuch schon angeschaut, wusste aber halt
nicht wie ich denn daraus nun ein Referat machen soll.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 So 23.04.2006 | | Autor: | Andrey |
joah, bitte bitte
falls weitere fragen auftretn, dann am besten heute noch stellen, moin gehts bei mir widda mit der schule *horror* los=> kann deswegen länger dauern bis ich antworte
Andrey
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