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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Do 08.12.2011 | | Autor: | aco92 |
| Aufgabe | In [mm] \IR² [/mm] seien die Standardbasis E: [mm] e_1 [/mm] = (1,0), [mm] e_2 [/mm] = (0,1) und die Basis B: [mm] b_1 [/mm] =(1,-1), [mm] b_2 [/mm] = (3,1) gegeben. Sei [mm] \alpha: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] die durch
[mm] \alpha(b_1) [/mm] = (5,-10) und [mm] \alpha(b_2) [/mm] = (3,-6)
definierte lineare Abbildung.
Berechnen Sie die Matrixdarstellungen [mm] _E\alpha_B, _E\alpha_E, _B\alpha_E. [/mm] |
Hi,
Ich habe Probleme mit der obigen Aufgabe.
Erstens verstehe ich gar nicht richtig was zB. [mm] _E\alpha_B [/mm] ausdrückt. So wie ich das verstehe, ist [mm] _E\alpha_B [/mm] die Matrix, die die Abbildung [mm] \alpha [/mm] bezüglich B in Koordinaten bezüglich E ausdrückt?
[mm] _E\alpha_B [/mm] hab ich eher zufällig richtig als [mm] \pmat{ 5 & 3 \\ -10 & -6 } [/mm] herausbekommen können. Bei den anderen wird's aber schwierig.
Einer meiner Ansätze für [mm] _E\alpha_E [/mm] war [mm] _Eid_E [/mm] * [mm] _E\alpha_B [/mm] * [mm] _Bid_E
[/mm]
Warum funktioniert das nicht?
für [mm] _B\alpha_E [/mm] hab ich mir überlegt, dass dies einfach die Inverse von [mm] _E\alpha_B [/mm] ist. Aber auch das scheint nicht zu stimmen.
Würde mich um ein wenig Aufklärung freuen.
Ps. [mm] _Bid_B, _Bid_E [/mm] und [mm] _Eid_B [/mm] habe ich schon im ersten Aufgabenteil berechnet.
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In [mm]\IR²[/mm] seien die Standardbasis E: [mm]e_1[/mm] = (1,0), [mm]e_2[/mm] =
> (0,1) und die Basis B: [mm]b_1[/mm] =(1,-1), [mm]b_2[/mm] = (3,1) gegeben.
> Sei [mm]\alpha: \IR^2 \to \IR^2[/mm] die durch
> [mm]\alpha(b_1)[/mm] = (5,-10) und [mm]\alpha(b_2)[/mm] = (3,-6)
> definierte lineare Abbildung.
> Berechnen Sie die Matrixdarstellungen [mm]_E\alpha_B, _E\alpha_E, _B\alpha_E.[/mm]
>
> Hi,
>
> Ich habe Probleme mit der obigen Aufgabe.
> Erstens verstehe ich gar nicht richtig was zB. [mm]_E\alpha_B[/mm]
> ausdrückt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
[mm] $_E\alpha_B$ [/mm] ist die darstellende Matrix von [mm] \alpha [/mm] bzgl der Basen B im Urbildraum und E im Bildraum.
Was tut diese Matrix? Wenn Du sie mit einem Vektor, der in Koordinaten bzgl B ist, fütterst, liefert sie Dir das Bild dieses Vektors unter der Abbildung [mm] \alpha [/mm] in Koordinaten bzgl E, also bzgl der Standardbasis.
> [mm]_E\alpha_B[/mm] hab ich eher zufällig richtig als [mm]\pmat{ 5 & 3 \\
-10 & -6 }[/mm]
> herausbekommen können.
Es hilft, dieses Sprüchlein auswendig zu können:
"In der darstellenden Matrix [mm] _C\alpha_B [/mm] der Abbildung [mm] \alpha [/mm] bzgl. der Basen B im Urbildraum und C im Bildraum stehen in den spalten die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C."
Genau das hast Du getan:
Du hast [mm] \alpha(b_1) [/mm] und [mm] \alpha(b_2) [/mm] berechnet bzw. hingeschrieben, und da die Ergebnisse bereits in Koordinaten bzgl der Standardbasis waren, brauchtest Du nichts weiter zu tun, als sie in die spalten zu schreiben.
> Bei den anderen wird's aber
> schwierig.
> Einer meiner Ansätze für [mm]_E\alpha_E[/mm] war [mm]_Eid_E[/mm] *
> [mm]_E\alpha_B[/mm] * [mm]_Bid_E[/mm]
Also [mm] $_E\alpha_E$= $_Eid_E$ [/mm] * [mm] $_E\alpha_B$ [/mm] * [mm] $_Bid_E$
[/mm]
> Warum funktioniert das nicht?
Wenn Du die richtigen Matrizen hast, sollte es funktionieren.
Was funktioniert nicht? Woran merkst du, daß es nicht funktioniert?
> für [mm]_B\alpha_E[/mm] hab ich mir überlegt, dass dies einfach
> die Inverse von [mm]_E\alpha_B[/mm] ist.
Daß das nicht sein kann, geht Dir auf, wenn Du Dir klarmachst, daß die Abbildung [mm] \alpha [/mm] ja gar nicht bisjektiv sein muß. Wenn [mm] \alpha [/mm] nicht umkehrbar ist, dann ist auch die zugehörige Matrix nicht invertierbar.
Auch für [mm] $_B\alpha_E$ [/mm] kannst Du mit der Transformationsformel arbeiten:
[mm] $_B\alpha_E$=_Bid_E*$_E\alpha_E$.
[/mm]
Was passiert hier?
Man füttert [mm] _Bid_E*$_E\alpha_E [/mm] mit einem Vektor in Standardkoordinaten. [mm] _E\alpha_E [/mm] macht daraus sein Bild in Standardkoordinaten, und [mm] _Bid_E [/mm] wandelt die Standardkoordinaten in solche bzgl B um.
Du kannst [mm] _B\alpha_E [/mm] aber auch anders bekommen. Berechne die Bilder von [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] in Standardkoordinaten, wandle diese in Koordinatenbzgl b um und stelle sie als Spalten in die Matrix. (Gemäß dem Sprüchlein von oben.)
Gruß v. Angela
> Aber auch das scheint nicht
> zu stimmen.
>
> Würde mich um ein wenig Aufklärung freuen.
>
>
> Ps. [mm]_Bid_B, _Bid_E[/mm] und [mm]_Eid_B[/mm] habe ich schon im ersten
> Aufgabenteil berechnet.
>
> MfG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Fr 09.12.2011 | | Autor: | aco92 |
Danke für die schöne Erklärung! Habe es jetzt verstanden.
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