Darstellungen aff. Abbildungen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:41 Do 17.05.2012 | | Autor: | alpenmilch |
Hallo.
Wie zeigt man die Gleichwertig der drei folgenden verschiedenen Darstellungen von affinen Abbildungen?
1.Koordinatenschreibweise
x1' = a1*x1 + a2*x2 + c1
x2' = a2*x1 + a2*x2 + c2
2. Matrix-Vektor-Schreibweise
[mm] \vektor{x'1 \\ x'2}=\pmat{ a1 & b1 \\ a2 & b2 }*\vektor{x1 \\ x2}+\vektor{c1 \\ c2}
[/mm]
3. Vektordarstellung
[mm] \vektor{x'1 \\ x'2}=x1*\vektor{a1 \\ a2}+x2*\vektor{b1 \\ b2}+\vektor{c1 \\ c2}
[/mm]
Reicht es, wenn man beliebige Zahlen für die Variablen einsetzt und zeigt, dass bei allen drei Darstellungen dasselbe Ergebnis rauskommt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Do 17.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo.
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> Wie zeigt man die Gleichwertig der drei folgenden
> verschiedenen Darstellungen von affinen Abbildungen?
>
> 1.Koordinatenschreibweise
> x1' = a1*x1 + a2*x2 + c1
> x2' = a2*x1 + a2*x2 + c2
Ich denke, hier hast du dich ein wenig vertan. Wenn du das genauso meinst, sind die 3 Darstellungen nicht gleichwertig.
> 2. Matrix-Vektor-Schreibweise
> [mm]\vektor{x'1 \\
x'2}=\pmat{ a1 & b1 \\
a2 & b2 }*\vektor{x1 \\
x2}+\vektor{c1 \\
c2}[/mm]
>
> 3. Vektordarstellung
> [mm]\vektor{x'1 \\
x'2}=x1*\vektor{a1 \\
a2}+x2*\vektor{b1 \\
b2}+\vektor{c1 \\
c2}[/mm]
Das sind alles nur verschiedene Darstellungen für das gleiche Problem.
Wenn du z.B. die Matrix-Vektor-Schreibweise anschaust:
> [mm]\vektor{x'1 \\
x'2}=\pmat{ a1 & b1 \\
a2 & b2 }*\vektor{x1 \\
x2}+\vektor{c1 \\
c2}[/mm]
Das ist doch nichts anderes als
[mm]x_1'=a_1*x_1+b_1*x_2+c_1[/mm] bzw. [mm]x_2'=a_2*x_1+b_2*x_2+c_2[/mm]. Du musst nur die Regeln für Matrix-Vektor-Multiplikation und Vektoraddition anwenden.
> Reicht es, wenn man beliebige Zahlen für die Variablen
> einsetzt und zeigt, dass bei allen drei Darstellungen
> dasselbe Ergebnis rauskommt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
barsch
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Vielen Dank barsch, da habe ich mich wirklich vertan.
Dass die Darstellungen gleich sind, war mir klar, aber wie genau beweise ich ihre Gleichwertigkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Do 17.05.2012 | | Autor: | barsch |
> Vielen Dank barsch, da habe ich mich wirklich vertan.
> Dass die Darstellungen gleich sind, war mir klar, aber wie
> genau beweise ich ihre Gleichwertigkeit?
Überführe einfach - wie eben anhand der Matrix-Vektor-Darstellung gezeigt - Darstellungen 2 und 3 in Darstellung 1.
Du musst ja nur zeigen, dass alle 3 Darstellungen dieselbe Gleichung repräsentieren.
Aus Darstellung 2 folgt für [mm] $x_1'=...$ [/mm] bzw. [mm] $x_2'=...$
[/mm]
Aus Darstellung 3 folgt für [mm] $x_1'=...$ [/mm] bzw. [mm] $x_2'=...$ [/mm]
Stimmen nun [mm] $x_1'=...$ [/mm] bzw. [mm] $x_2'=...$ [/mm] aus Darstellung 2 und 3 mit [mm] $x_1'=...$ [/mm] bzw. [mm] $x_2'=...$ [/mm] aus Darstellung 1 überein, so hast du gezeigt, was zu zeigen war.
Gruß
barsch
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Vielen Dank!
Ich habe jetzt aber noch eine weitere Verständnisfrage! Ich komme ein wenig durcheinander mit den Variablen, könnte mir die jemand erklären?
Also "v" ist ja der Ortsvektor ? Und was ist jetzt a/b und x1/x2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 So 20.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
v kommt doch bei deiner Darstellung gar nicht vor?
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] ist ein Ortsvektor vor der Abbildung,
[mm] \vektor{x_1' \\ x_2} [/mm] ortsvektor nach der Abb.
a,b sind die Skalare die Drehung und dehnung beschreiben, [mm] \vektor{c_1 \\ c_2} [/mm] gibt die verschiebung.
gruss leduart
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Danke, ich meinte auch c :)
Ich hab nur das mit a1,a2,b1,b2 nicht ganz verstanden, was die angeben! Im Koordinatensystem kann man x1,x2 und ggf. c1,c2 ablesen, aber wie kann man a1,a2,b1,b2 rausfinden? Woher hat man die Werte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Mo 28.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Danke, ich meinte auch c :)
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> Ich hab nur das mit a1,a2,b1,b2 nicht ganz verstanden, was
> die angeben! Im Koordinatensystem kann man x1,x2 und ggf.
> c1,c2 ablesen, aber wie kann man a1,a2,b1,b2 rausfinden?
> Woher hat man die Werte?
Hier sind die Werte vorgegeben, sonst macht die Aufgabe keinen Sinn.
In einer Abbildung
[mm]\alpha:{x_{1}'\choose x_{2}'}=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\
a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}\cdot{x_{1}\choose x_{2}}[/mm]
ist [mm] {a_{1}\choose a_{2}} [/mm] der Ortsvektor des Bildpunktes des Punktes [mm] P_{1}(1/0), [/mm] dessen Ortsvektor der erste Einheitsvektor ist.
[mm] {b_{1}\choose b_{2}} [/mm] ist dementsprechend der Ortsvektor des Bildpunktes des Punktes [mm] P_{2}(0/2), [/mm] dessen Ortsvektor der zweite Einheitsvektor ist.
Spezielle Abbildungen haben spezielle Matritzen, dazu schau aber mal bei ![[]](/images/popup.gif) ina-de-brabandt.de.
Marius
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Mal angenommen man hat eine Abbildung vor sich liegen, z.B. die Verschiebung. Den x-vektor und v-vektor kann man ablesen, als Beispiel x1=2 , x2 =4, v1 = 4 und v2 = 1.
Für die affine Verschiebung sind die a1,a2,b1,b2 Werte vorgegeben, so betragen sie immer unabängig von den x und v-Werten a1 = 1, a2 = 0,b1=0, b2 = 1.
Warum ist das denn so und woher hat man diese Werte genauer? Hat man sie ausgedacht oder einfach so angenommen oder hat man die irgenwo abgelesen? Die müssen doch irgendwoher kommen.
Tut mir Leid, aber ich versteh das nicht so ganz :s
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Mi 30.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dir wurde gesagt, was die a und b tun, wenn man keine verschiebung hat. wenn man nur eine Verschiebung hat, laesst man die matrix ganz weg, da sie ja nur die vektoren auf sich selbst abbildet, natuerlich kannst du die mit der identitaet auf sich abbilden. Wenn du sehen willst was die matrix tut, musst du dir eben die bilder 9ohne Verschiebung der 2 Standardeinheitsvektoren ansehen. sind sie nur gedreht, oder gedreht und gedehnt? aber das wurde dir doch schon gesagt.
also versuch auf die bisherigen posts einzugehen und sag, was du daran nicht verstehst.
Gruss leduart
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