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| Aufgabe | | Berechnen Sie alle Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume zu $D:\ [mm] C^{\infty} (\mathbb [/mm] R) [mm] \to C^{\infty}(\mathbb [/mm] R)$ definiert als $(Df)(t):= f'(t)$. [mm] ($C^{\infty}(\mathbb [/mm] R)$ bezeichnet der [mm] $\mathbb [/mm] R$-Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen von [mm] $\mathbb [/mm] R$ nach [mm] $\mathbb [/mm] R$). |
Hallo,
um die Eigenwerte zu berechnen, denke ich mir, daß ich die Darstellungsmatrix der Abbildung $D$ brauche. Allerdings weiß ich überhaupt nicht wie ich hier ansetzen soll. Zunächst habe ich nur an allgemeine Polynome gedacht, allerdings sind ja noch weitere Funktionen (z.B. exp(x)) unendlich oft diffbar. Wir kann ich jetzt dafür eine Darstellungsmatrix aufstellen, um anschließend die Eigenwerte zu berechnen?
Gruß
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Mi 26.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
schon der Raum der Polynome ist unendlich-dimensional, wie willst du hier eine Matrix angeben? (Geschweige denn sinnvolle Berechnungen darauf machen?)
Du musst vielmehr diejenigen Funktionen f suchen, so dass [mm] $\forall [/mm] x [mm] :\quad [/mm] f'(x)=k*f(x)$ für [mm] $k\in\IR$, [/mm] wenn ich mich recht an Ana erinnere war das doch eine ziemlich starke Einschränkung, oder?
(exp-fkten, Konstante Funktionen)
aber da ich das nicht mehr so aus dem Kopf weiß, stelle ich das mal auf "teilweise beantwortet"
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Mi 26.04.2006 | | Autor: | mushroom |
> Hi,
Hallo,
> schon der Raum der Polynome ist unendlich-dimensional, wie willst du hier eine Matrix angeben? (Geschweige denn sinnvolle Berechnungen darauf machen?)
>
> Du musst vielmehr diejenigen Funktionen f suchen, so dass $ [mm] \forall [/mm] x [mm] :\quad f'(x)=k\cdot{}f(x) [/mm] $ für $ [mm] k\in\IR [/mm] $, wenn ich mich recht an Ana erinnere war das doch eine ziemlich starke Einschränkung, oder?
> (exp-fkten, Konstante Funktionen)
Jetzt wo es wieder dasteht, kann ich mich erinnern, daß wir auch diesen Hinweis bekommen haben zu dieser Aufgabe, aber irgendwie hilft mir das nicht weiter. Wie kann ich denn von diesem Hinweis auf eine darstellende Matrix kommen?
>
> viele Grüße
> DaMenge
Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mi 26.04.2006 | | Autor: | choosy |
Es gibt eben in unendlichdimensionalen vektorräumen keine darstellende Matrix.....
du musst einfach die differentialgleichung $y'=ky$ lösen...
die lösungen ungleich 0 sind die eigenfunktionen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 28.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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