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| Aufgabe | Gegeben sind die Basen [mm] {\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}} [/mm] des [mm] \IR^{3} [/mm] und [mm] {\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}} [/mm] des [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2}, [/mm] definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basen. |
Hi,
meine Lösung:
f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm] \vektor{2 \\ 0} [/mm] = 2 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 0 * [mm] \vektor{0 \\ 2}
[/mm]
f(0,1,4) = (0+1,2*4) = [mm] \vektor{1 \\ 8} [/mm] = 1 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 4 * [mm] \vektor{0 \\ 2}
[/mm]
f(1,2,3) = (1+2,2*3) = [mm] \vektor{3 \\ 6} [/mm] = 3 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 3 * [mm] \vektor{0 \\ 2}
[/mm]
somit ist die Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}
[/mm]
Ist das so korrekt?
Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] mit A multipliziere bekomme ich als Ergebnis den Vektor [mm] \vektor{13 \\ 17}. [/mm] Aber f(1,2,3) = (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was falsch?
lg, nitro
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Hallo nitromath,
> Gegeben sind die Basen [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}}[/mm]
> des [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}}[/mm] des
> [mm]\IR^{2}.[/mm]
> Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2},[/mm]
> definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix
> bezüglich dieser Basen.
> Hi,
>
> meine Lösung:
>
> f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] = 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> + 0 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> f(0,1,4) = (0+1,2*4) = [mm]\vektor{1 \\ 8}[/mm]
> = 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 4 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> f(1,2,3) =
> (1+2,2*3) = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm] = 3 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 *
> [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
>
> somit ist die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Ja, das ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] mit A multipliziere bekomme ich als
> Ergebnis den Vektor [mm]\vektor{13 \\ 17}.[/mm] Aber f(1,2,3) =
Poste doch mal, wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
> (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was
> falsch?
>
> lg, nitro
Gruss
MathePower
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> Hallo nitromath,
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> > Gegeben sind die Basen [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}}[/mm]
> > des [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}}[/mm] des
> > [mm]\IR^{2}.[/mm]
> > Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2},[/mm]
> > definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix
> > bezüglich dieser Basen.
> > Hi,
> >
> > meine Lösung:
> >
> > f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] = 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> > + 0 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> > f(0,1,4) = (0+1,2*4) =
> [mm]\vektor{1 \\ 8}[/mm]
> > = 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 4 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> > f(1,2,3)
> =
> > (1+2,2*3) = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm] = 3 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 *
> > [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> >
> > somit ist die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}[/mm]
>
> >
> > Ist das so korrekt?
>
>
> Ja, das ist korrekt.
>
>
> >
> > Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor
> > [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] mit A multipliziere bekomme ich als
> > Ergebnis den Vektor [mm]\vektor{13 \\ 17}.[/mm] Aber f(1,2,3) =
>
>
> Poste doch mal, wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
>
Hi, so:
2 * 1 + 1 * 2 + 3 * 3 = 13
0 * 1 + 4 * 2 + 3 * 3 = 17
lg
>
> > (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was
> > falsch?
> >
> > lg, nitro
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo nitromath,
> > Hallo nitromath,
> >
> > > Gegeben sind die Basen [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}}[/mm]
> > > des [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}}[/mm] des
> > > [mm]\IR^{2}.[/mm]
> > > Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2},[/mm]
> > > definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix
> > > bezüglich dieser Basen.
> > > Hi,
> > >
> > > meine Lösung:
> > >
> > > f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] = 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> > > + 0 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> > > f(0,1,4) = (0+1,2*4) =
> > [mm]\vektor{1 \\ 8}[/mm]
> > > = 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 4 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> > >
> f(1,2,3)
> > =
> > > (1+2,2*3) = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm] = 3 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 *
> > > [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> > >
> > > somit ist die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ist das so korrekt?
> >
> >
> > Ja, das ist korrekt.
> >
> >
> > >
> > > Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor
> > > [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] mit A multipliziere bekomme ich als
> > > Ergebnis den Vektor [mm]\vektor{13 \\ 17}.[/mm] Aber f(1,2,3) =
> >
> >
> > Poste doch mal, wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
> >
>
> Hi, so:
>
> 2 * 1 + 1 * 2 + 3 * 3 = 13
> 0 * 1 + 4 * 2 + 3 * 3 = 17
Durch die Darstellungsmatrix werden die Koordinaten bzgl.
der Basis in [mm]\IR^{3}[/mm] durch die Abbildung f in
Koordinaten der Basis in [mm]\IR^{2}[/mm] überführt.
Der Vektor [mm]\pmat{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] hat bezüglich der Basis in [mm]\IR^{3}[/mm]
die Koordinaten [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Wendet man jetzt die Darstellungsmatrix auf diese Koordianten an,
so erhält man die Koordinaten bzgl. der Basis in [mm]\IR^{2}[/mm].
[mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}\pmat{0 \\ 0 \\ 1}=\pmat{3 \\ 3}[/mm]
Da hast Du also etwas verwechselt.
>
> lg
>
> >
> > > (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was
> > > falsch?
> > >
> > > lg, nitro
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Mo 13.12.2010 | | Autor: | nitromath |
> Hallo nitromath,
>
> > > Hallo nitromath,
> > >
> > > > Gegeben sind die Basen [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3}}[/mm]
> > > > des [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2}}[/mm] des
> > > > [mm]\IR^{2}.[/mm]
> > > > Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f:
> [mm]\IR^{3} \to \IR^{2},[/mm]
> > > > definiert durch f(x,y,z) = (x+y,2z), die Darstellungsmatrix
> > > > bezüglich dieser Basen.
> > > > Hi,
> > > >
> > > > meine Lösung:
> > > >
> > > > f(1,1,0) = (1+1,2*0) = [mm]\vektor{2 \\ 0}[/mm] = 2 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> > > > + 0 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> > > > f(0,1,4) = (0+1,2*4)
> =
> > > [mm]\vektor{1 \\ 8}[/mm]
> > > > = 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 4 * [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> > > >
> > f(1,2,3)
> > > =
> > > > (1+2,2*3) = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm] = 3 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 *
> > > > [mm]\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> > > >
> > > > somit ist die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ist das so korrekt?
> > >
> > >
> > > Ja, das ist korrekt.
> > >
> > >
> > > >
> > > > Allerdings verstehe ich nun nicht, wenn ich den Vektor
> > > > [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] mit A multipliziere bekomme ich als
> > > > Ergebnis den Vektor [mm]\vektor{13 \\ 17}.[/mm] Aber f(1,2,3) =
> > >
> > >
> > > Poste doch mal, wie Du auf dieses Ergebnis kommst.
> > >
> >
> > Hi, so:
> >
> > 2 * 1 + 1 * 2 + 3 * 3 = 13
> > 0 * 1 + 4 * 2 + 3 * 3 = 17
>
>
> Durch die Darstellungsmatrix werden die Koordinaten bzgl.
> der Basis in [mm]\IR^{3}[/mm] durch die Abbildung f in
> Koordinaten der Basis in [mm]\IR^{2}[/mm] überführt.
>
> Der Vektor [mm]\pmat{1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] hat bezüglich der Basis in
> [mm]\IR^{3}[/mm]
> die Koordinaten [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Wendet man jetzt die Darstellungsmatrix auf diese
> Koordianten an,
> so erhält man die Koordinaten bzgl. der Basis in
> [mm]\IR^{2}[/mm].
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 3}\pmat{0 \\ 0 \\ 1}=\pmat{3 \\ 3}[/mm]
>
> Da hast Du also etwas verwechselt.
>
>
> >
> > lg
> >
> > >
> > > > (3,6). Da stimmt doch etwas nicht, oder verstehe ich da was
> > > > falsch?
> > > >
> > > > lg, nitro
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Ah, ok, jetzt ists klar! Vielen Dank für deine Hilfe!!!
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