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| Aufgabe | [mm] n\in \IN_0, V_n [/mm] ist Vektorraum der Polynome mit Grad [mm] \le [/mm] n
Standartbasis [mm] B_n={1,x,x²,...,x^n}
[/mm]
T: [mm] V_n \to V_{n+1}
[/mm]
[mm] T(\summe_{k=0}^{n}a_k^x^k) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{a_k}{k+1}x^{k+1}
[/mm]
gesucht: Darstellungsmatrix bezüglich der Standartbasen in [mm] V_n, N_{n+1} [/mm] |
ich habe keine ahnung wie man das macht..könnt ihr mir vielleicht helfen die aufgabe zu lösen?
Als erstes muss ich eine Basis finden aber selbst das kriege ic nicht hin :(
Gruß
mathegirl
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Hallo,
bitte bitte, es tut so weh!!
Das Ding heißt "Standardbasis" !!!
Danke!!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Do 12.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]n\in \IN_0, V_n[/mm] ist Vektorraum der Polynome mit Grad [mm]\le[/mm] n
> Standartbasis [mm]B_n={1,x,x²,...,x^n}[/mm]
> T: [mm]V_n \to V_{n+1}[/mm]
>
> [mm]T(\summe_{k=0}^{n}a_k^x^k)[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{a_k}{k+1}x^{k+1}[/mm]
>
> gesucht: Darstellungsmatrix bezüglich der Standartbasen in
> [mm]V_n, N_{n+1}[/mm]
> vielleicht helfen die aufgabe zu lösen?
>
> Als erstes muss ich eine Basis finden aber selbst das
> kriege ic nicht hin :(
Merkwürdig !!! Oben steht doch: [mm] V_n [/mm] mit der Standardbasis $ [mm] B_n=\{1,x,x^2,...,x^n\} [/mm] $
Dann hast Du für [mm] V_{n+1} [/mm] die Basis $ [mm] B_{n+1}=\{1,x,x^2,...,x^n, x^{n+1}\} [/mm] $
Für k [mm] \in [/mm] { 0,1,...,n } bestimmen wir die (k+1). Spalte der gesuchten Matrix wie folgt:
es ist [mm] T(x^k)= \summe_{i=0}^{n+1}b_ix^i
[/mm]
So, Du bestimmst nun [mm] b_0, b_1, [/mm] ..., [mm] b_{n+1}. [/mm] Dann schreibst Du diese Zahlen untereinander und schon hast die gesuchte Spalte.
FRED
>
> Gruß
> mathegirl
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sorry aber ich versteh das trotzdem nicht...kriegs nicht hin...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Do 12.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> sorry aber ich versteh das trotzdem nicht.
Was verstehst Du nicht ?
> ..kriegs nicht
> hin...
Ich hab Dir doch ein Kochrezept genannt. Das mußt Du nur umsetzen !!
Stell Dir vor, ich will einen Apfelstrudel backen und bekomme von Dir alle Zutaten und ein prima Rezept (für Backanfänger wie mich bestens geeignet) , eine Küche mit Backofen, etc. .. stellst Du mir auch zur Verfügung. Toll ! Dann sagst Du : "Fred, dann leg mal los".
Nach 5 Minuten fang ich an zu greinen: " ... ich kriegs nicht hin .. "
Was denkst Du ?
FRED
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n [mm] \in \IN_0, V_n [/mm] ist der vektorraum der Polynome [mm] \le [/mm] n
Standartbasis [mm] B_n={1,x,x^2,...,x^n}
[/mm]
lineare Abbildung T: [mm] V_n \to V_{n+1}
[/mm]
[mm] T(\summe_{k=0}^{n}a_kx^k) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{a_k}{k+1}x^{k+1}
[/mm]
Berechne die Darstellungsmatrix bezüglich der Standartbasen in [mm] V_n, V_{n+1}
[/mm]
Ich habe das Ergebnis, weiß bloß nicht wie ich die Matrix hier einfügen kann... aber ich habe keine Ahnung wie man auf eine Darstllungsmatrix der Standartbasen berechnet.
[mm] T(x)^k= \bruch{x^{k+1}}{k+1} [/mm] - ich weiß nicht mal wie man auf diesen Ausdruck kommt.
Man mir das jemand mal erklären?
MfG
Mathegirl
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> n [mm]\in \IN_0, V_n[/mm] ist der vektorraum der Polynome [mm]\le[/mm] n
>
> Standartbasis [mm]B_n={1,x,x^2,...,x^n}[/mm]
> lineare Abbildung T: [mm]V_n \to V_{n+1}[/mm]
>
> [mm]T(\summe_{k=0}^{n}a_kx^k)[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{a_k}{k+1}x^{k+1}[/mm]
>
>
> Berechne die Darstellungsmatrix bezüglich der
> Standartbasen in [mm]V_n, V_{n+1}[/mm]
>
> Ich habe das Ergebnis, weiß bloß nicht wie ich die Matrix
> hier einfügen kann...
Eine Matrix fügst du auf folgende Art ein:
| 1: | \pmat{
| | 2: | a & b & c \\
| | 3: | d & e & f \\
| | 4: | g & h & i
| | 5: | } |
Dies gibt dir zum Beispiel folgende Matrix:
[mm] $\pmat{
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
}$
[/mm]
Also innerhalb einer Zeile werden die einzelnen Einträge mit & getrennt, die einzelnen Zeilen selbst mit [mm] \backslash \backslash [/mm] .
Da dein $n [mm] \in \IN$ [/mm] ja beliebig ist kannst du natürlich nicht die ganze Matrix hier reinschreiben.
Da sind folgende Befehle hilfreich:
| 1: | \cdots - gibt dir eine Reihe von Pünktchen
| | 2: | \vdots - gibt dir eine Spalte von Pünktchen
| | 3: | \ddots - gibt dir diagonale Pünktchen
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Also auch das nochmal an einem Beispiel:
| 1: |
| | 2: | \pmat{ 1 & 2 & \cdots & 10 \\
| | 3: | 2 & 4 & \cdots & 20 \\
| | 4: | \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
| | 5: | 10 & 20 & \cdots & 100}
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gibt folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & \cdots & 10 \\
2 & 4 & \cdots & 20 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
10 & 20 & \cdots & 100}
[/mm]
Achte hierbei bitte darauf, dass die Pünktchen an der richtigen Stelle sitzen und alles hübsch aussieht (denn dann ist es auch leichter verständlich für den Leser); das kannst du mit dem Vorschau-Button unter dem Eingabefenster testen.
> aber ich habe keine Ahnung wie man
> auf eine Darstllungsmatrix der Standartbasen berechnet.
> [mm]T(x)^k= \bruch{x^{k+1}}{k+1}[/mm] - ich weiß nicht mal wie
> man auf diesen Ausdruck kommt.
>
>
> Man mir das jemand mal erklären?
Poste dafür am besten mal nach obiger Anleitung deine Matrix.
Und erzähl auch was genau du daran verstehst und was nicht, ob du selbst auf die Matrix gekommen bist oder ob du sie aus einer Musterlösung hast, usw.
> MfG
> Mathegirl
MfG
Schadowmaster
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:50 Do 15.09.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Okay, dann sieht meine Matrix aus dem Lösungsbuch folgendermaßen aus:
M(T)= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0 \\ \vdots & 0 & \bruch{1}{3} & \ddots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots \bruch{1}{n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \bruch{1}{n+1}}
[/mm]
Aber ich habe keine Ahnung, wie man allgemein eine Darstellungsmatrix berechnet!
Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Do 15.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay, dann sieht meine Matrix aus dem Lösungsbuch
> folgendermaßen aus:
>
>
> M(T)= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0 \\ \vdots & 0 & \bruch{1}{3} & \ddots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots \bruch{1}{n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \bruch{1}{n+1}}[/mm]
>
>
> Aber ich habe keine Ahnung, wie man allgemein eine
> Darstellungsmatrix berechnet!
Gibst den sowas ? Im Mai hattest Du diese Aufgabe hier:
https://matheraum.de/read?t=793127
Und ich hab Dir damals gesagt, wie es geht.
FRED
>
>
> Mathegirl
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Weil es nicht so erklärt wurde, dass ich es verstanden habe!!!! Und ich würde es sehr gerne verstehen!
mathegirl
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> Weil es nicht so erklärt wurde, dass ich es verstanden
> habe!!!!
Hallo,
eine angemessene Reaktion darauf wäre nicht das Eröffnen eines neuen Threads, sondern eine Rückfrage, in welcher Du ganz konkret benennst, was Du nicht verstehst, was Du bisher getan hast und an welcher Stelle Du weshalb scheiterst. Darauf könnte man sinnvoll reagieren.
Nun zu den Darstellungsmatrizen.
Sprüchlein zum Auswendiglernen und anschließendem im Hirn und Herzen Bewegen:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basen B im Urbild- und C im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl. der Basis C."
Ein Beispiel:
[mm] P_n [/mm] sei der VR der Polynome vom Höchstgrad n.
Wir betrachten die Abbildung
[mm] f:P_{3} \to P_2 [/mm] mit
[mm] f(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=a_1+2a_2x+3a_3x^2.
[/mm]
Gesucht ist die Darstellungmatrix bzgl der Standardbasen [mm] B:=(1,x,x^2, x^3) [/mm] und [mm] C:=(1,x,x^2).
[/mm]
Nun das Sprüchlein bedenken und die Bilder der Basisvektoren von B ausrechnen, als Koordinatenvektoren bzgl C schreiben und in die Matrix stecken:
[mm] f(1)=0=0+0x+0x^2=\vektor{0\\0\\0}_{(C)}
[/mm]
[mm] f(x)=1=1+0x+0x^2=\vektor{1\\0\\0}_{(C)}
[/mm]
[mm] f(x^2)= [/mm] ...
[mm] f(x^3)=3x^2= ...=\vektor{0\\0\\3}_{(C)}.
[/mm]
Also ist [mm] _CM(f)_B=\pmat{0&1&...&0\\0&0&...&0\\0&0&...&3}.
[/mm]
Jetzt zu Deiner Aufgabe.
Formuliere sie zunächst für n=2. (Wir wollen das sehen!)
Was ist [mm] T(a+bx+cx^2)? [/mm] (Abbildungsvorschrift hinschreiben.)
Welches sind die beiden Standardbasen, um welche es geht?
Berechne nun
T(1)
T(x)
[mm] T(x^2)
[/mm]
und schreibe die Ergebnisse als Koordinatenvektoren bzgl der Standardbasis des [mm] V_3.
[/mm]
Dann die Matrix hinschreiben.
Gruß v. Angela
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Mein Gott nochmal, bist du resistent!
> Standartbasis [mm]B_n={1,x,x^2,...,x^n}[/mm]
Was ist "Standart" ?
Die Kunst zu stehen oder die Kunst, diese Schreibweise auszuhalten (to stand)?
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