Darstellungsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mi 22.06.2011 | | Autor: | shadee |
Hallo,
es geht um die Darstellungsmatrix (keine konkrete Aufgabe). Sei F eine lineare Abbildung von V nach W. Sei weiterhin A eine Basis von V und B eine Basis von W. Die Matrix [mm] M_A^B(F) [/mm] ist die Darstellungsmatrix von F, da F(v) = M*v [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V.
Ich weiß wie man die Darstellungsmatrix berechnet. Was ich aber nicht so recht verstanden habe ist die Bezeichnung. Was hat das ganze mit der Basis von W zu tun und warum steht die dort oben? Wie ändert sich dann also die Darstellungsmatrix wenn ich eine andere Basis von W nehme? Ein kurzs Beispiel zur Erklärung wäre gut.
Bin für jeden Tipp dankbar. Grüße shadee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mi 22.06.2011 | | Autor: | mrkva |
es geht um die Darstellungsmatrix (keine konkrete Aufgabe). Sei F eine lineare Abbildung von V nach W. Sei weiterhin A eine Basis von V und B eine Basis von W. Die Matrix $ [mm] M_A^B(F) [/mm] $ ist die Darstellungsmatrix von F, da F(v) = M*v $ [mm] \forall [/mm] $ v $ [mm] \in [/mm] $ V.
soweit ich die Notation richtig kenne muss die basis von V oben stehen und die Basis von W unten (bin aber nicht ganz sicher)
Ich weiß wie man die Darstellungsmatrix berechnet. Was ich aber nicht so recht verstanden habe ist die Bezeichnung. Was hat das ganze mit der Basis von W zu tun und warum steht die dort oben?
Wenn du die darstellende Matrix berechnest verwendest du doch die Basis A und B, oder wie rechnest du die Matrix aus???
Die Basis muss man angeben, da für verschiedene Basen ja ganz verschiedene Matrizen rauskommen.
Wie ändert sich dann also die Darstellungsmatrix wenn ich eine andere Basis von W nehme? Ein kurzs Beispiel zur Erklärung wäre gut.
Dafür gibt es Transformationsmatrizen [mm] $T_{BB}^B$ [/mm] mit der du zwischen z.B. der Basis B und BB tauschen kannst
ich hoffe das hilft dir weiter sonst frag noch mal genauer nach
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Do 23.06.2011 | | Autor: | shadee |
Eben nicht. Meines Wissens nach berechnet sich [mm] M_A^B [/mm] durch [mm] \pmat{F(a_1)& F(a_2) &...& F(a_n)}. [/mm] Ich denke mal hier ist mein Fehler, da eben die Basis von W gar nicht auftaucht. Kann sein, dass A und B in der Matrix vertauscht werden, bin mir da auch nicht so sicher und verwechsel das mit Regelmäßigkeit. Sehe da eben noch keinen Sinn dahinter, vllt auch genau deswegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Sa 25.06.2011 | | Autor: | mrkva |
Hallo shadee,
sorry das ich erst so spät zurück schreibe, bin nicht jeden Tag im Forum.
Laut Gerd Fischer ist die Basis von V oben und die Basis von W unten (wenn F: V->W). kann natürlich sein das andere Autoren eine andere Notation haben. Sicher ist aber das [mm]M_B^A[/mm] nicht das selbe ist wie [mm]M_A^B[/mm].
Meines Wissens nach berechnet sich [mm] M_A^B [/mm] durch [mm] \pmat{F(a_1)& F(a_2) &...& F(a_n)}. [/mm] Ich denke mal hier ist mein Fehler, da eben die Basis von W gar nicht auftaucht.
Richtig da ist dein Problem, für [mm] $M_B^A$ [/mm] musst du noch $F(a1)$ durch W darstellen und dann die Koeffizienten in die erste Spalte der darstellenden Matrix schreiben. Für die zweite Spalte F(a2) durch W darstellen.... Für die n-te Spalte F(an) durch W darstellen und die Koeffizienten in die n-te Spalte schreiben.
Damit ist [mm] $M_B^A$ [/mm] abhängig von der gewählten Basis A und B (sogar die Reihenfolge der Basiselemente spielt eine Rolle).
Schönen Gruß
[/quote]
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