Darstellungsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es liegt ein 3-dimensionaler vektorraum vor.
[mm] V_2={f(X)\in\IR[X] | grad f(X)\le 2} [/mm] mit den Basen [mm] A=(1,X,X^2) [/mm] und B=(1,2+X, [mm] 1+2X+X^2).
[/mm]
a) [mm] F:V\to [/mm] V ist die Abbildung, die jedem [mm] f(X)=a+bX+cX^2 [/mm] aus [mm] V_2 [/mm] das Bild F(f(X))=b+cX zuordnet. zeige, dass F ein Element von [mm] End_\IR(V) [/mm] ist.
b) Berechne [mm] M_A^A(F), M_B^A(F), M_B^B(F)
[/mm]
c) Es seien [mm] \phi_A [/mm] und [mm] \phi_B [/mm] die Koordinatenabbildungen bezüglich A und B. Sei [mm] v=\vektor{1 \\ 2 \\ -1}\in \IR^3. [/mm] Berechne [mm] (F\circ \phi_A)(v) [/mm] und [mm] (\phi_B\circ M_B^A)*)(v). [/mm] |
Okay...Aufgabenteil a) habe ich gar keine Ahnung.
b) weiß ich auch nicht so recht...muss ich die Abbildungsvorschrift aus Aufgabenteil b) nehmen oder wie gehe ich hier vor?
c) Ich weiß hier nicht genau was meine Koordinatenabbildungen sind und was mein F beziehungsweise wie ich hier rechnen muss.
Könnt ihr mir Tipps geben?
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 Do 15.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Es liegt ein 3-dimensionaler vektorraum vor.
> [mm]V_2={f(X)\in\IR[X] | grad f(X)\le 2}[/mm] mit den Basen
> [mm]A=(1,X,X^2)[/mm] und B=(1,2+X, [mm]1+2X+X^2).[/mm]
>
>
> a) [mm]F:V\to[/mm] V ist die Abbildung, die jedem [mm]f(X)=a+bX+cX^2[/mm] aus
> [mm]V_2[/mm] das Bild F(f(X))=b+cX zuordnet. zeige, dass F ein
> Element von [mm]End_\IR(V)[/mm] ist.
>
> b) Berechne [mm]M_A^A(F), M_B^A(F), M_B^B(F)[/mm]
>
> c) Es seien [mm]\phi_A[/mm] und [mm]\phi_B[/mm] die Koordinatenabbildungen
> bezüglich A und B. Sei [mm]v=\vektor{1 \\ 2 \\ -1}\in \IR^3.[/mm]
> Berechne [mm](F\circ \phi_A)(v)[/mm] und [mm](\phi_B\circ M_B^A)*)(v).[/mm]
>
> Okay...Aufgabenteil a) habe ich gar keine Ahnung.
Du musst zeigen, dass die Abbildung $F$ linear ist. Das heißt du nimmst die zwei Elemente aus $V$, das heißt zwei Polynome [mm] $f(X)=a_1+b_1X+c_1X^2$ [/mm] und [mm] $g(X)=a_2+b_2X+c_2X^2$, [/mm] sowie zwei Skalare [mm] $\lambda, \mu$, [/mm] und zeigst [mm] $F(\lambda f(X)+\mu [/mm] g(X)) = [mm] \lambda [/mm] F(f(X)) + [mm] \mu [/mm] F(g(X))$.
Du musst einfach nachrechnen das das gilt.
> b) weiß ich auch nicht so recht...muss ich die
> Abbildungsvorschrift aus Aufgabenteil b) nehmen oder wie
> gehe ich hier vor?
Ja, du nimmst die Abbildungsvorschrift aus a). Schau worauf jeweils deine Basisvektoren aus der Basis, die bei $M$ oben steht (also bei der zweiten Matrix $A$), abgebildet werden und drücke die Bilder in der Basis die unten steht (bei der zweiten Matrix also $B$) aus. Dann schreibe die Vorfaktoren die du erhälst in die Spalten der Matrizen und du bist fertig.
> c) Ich weiß hier nicht genau was meine
> Koordinatenabbildungen sind und was mein F beziehungsweise
> wie ich hier rechnen muss.
Die Koordinatenabbildung ist der basisabhängige Isomorphismus [mm] $\IR^3 \to [/mm] V$. Wenn du sie auf einen Vektor anwendest "schreibt" sie die Einträge des Vektors vor die Basiselemente der jeweils betrachteten Basis und summiert diese, d.h. z.B. [mm] $\phi_A(\pmat{1\\2\\3}) [/mm] = [mm] 1\cdot 1+2X+3X^2$
[/mm]
LG Lippel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Do 15.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
zur b)
Beispielsweise nehme ich mal den Vektor aus der Basis A mit 1.
Heißt es dann mit der Abbildung F: F(1) oder F(f(1))? Ersteres würde mich verwirren, bei zweitem würde dann wohl F(f(1))=1 ergeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich probiers mal so: Sei [mm] A=(f_0,f_1,f_2) [/mm] , wobei [mm] f_j(X)=X^j [/mm] (j=0,1,2)
Es ist [mm] f_0(X)=a+bX+cX^2 [/mm] mit a=1, b=c=0.
Dann ist [mm] F(f_0)=bf_0+cf_1=0
[/mm]
Also F(1)=0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Do 15.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Würdest du als Korrekteur erwarten, dass man diese Ausführung wie du machst?
Ich habe nämlich alles schon aufgeschrieben, aber lediglich immer die Schritte:
Bilde den n. Basisvektor ab:
F(1)=0
Sollte man noch dazu schreiben, dass [mm] F(1+0*X+X^2) [/mm] gemeint ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Würdest du als Korrekteur erwarten, dass man diese
> Ausführung wie du machst?
> Ich habe nämlich alles schon aufgeschrieben, aber
> lediglich immer die Schritte:
> Bilde den n. Basisvektor ab:
> F(1)=0
>
> Sollte man noch dazu schreiben, dass [mm]F(1+0*X+X^2)[/mm] gemeint
> ist?
meine Ausführlichkeit oben sollte Dir helfen. Obs Eure Korrekteure und Spediteure so wollen, kann ich nicht wissen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Do 15.12.2011 | | Autor: | davux |
Hallo Lippel!
Ich bräuchte also für den Nachweis der Vektoraddition nicht [mm] $f(X)=a+bX+cX^2$ [/mm] und [mm] f(Y)=a+bY+cY^2 [/mm] als Ansatz, sondern vorwiegend unterschiedliche Koeffizienten a, b, c. Aber die Skalarmultiplikation brauch ich doch nicht, wie bei dir, über f(X) und g(X) mit zwei Skalare zu zeigen. Das wäre ja beide Bedingungen in einem, sondern lediglich für einen Skalar [mm] $\lambda$ [/mm] und ein Polynom $f(X)$?
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> Hallo Lippel!
>
> Ich bräuchte also für den Nachweis der Vektoraddition
> nicht [mm]f(X)=a+bX+cX^2[/mm] und [mm]f(Y)=a+bY+cY^2[/mm] als Ansatz, sondern
> vorwiegend unterschiedliche Koeffizienten a, b, c.
Hallo,
die Koeffizienten müssen komplett unterschiedlich sein, nicht vorwiegend.
> Aber die
> Skalarmultiplikation brauch ich doch nicht, wie bei dir,
> über f(X) und g(X) mit zwei Skalare zu zeigen. Das wäre
> ja beide Bedingungen in einem, sondern lediglich für einen
> Skalar [mm]\lambda[/mm] und ein Polynom [mm]f(X)[/mm]?
Schau in der wikipedia unter "Lineare Abbildungen":
Ddie beiden Bedingungen, die Du zeigen möchtest, kann man zu Lippels einer Bedingung zusammenfassen.
Falls dies noch nicht erwähnt wurde: für "Endomorpismus" muß man natürlich auch noch zeigen, daß das Bild der Abbildung eine Teilmenge von V ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
Zu dem Aufgabenteil a) habe ich noch eine Frage.
Ich habe die Linearität folgendermaßen gezeigt:
[mm] F(\lambda (f(x))+\mu(g(x)))=\lmbda*F(f(x))+\mu*F(g(x))
[/mm]
[mm] F(\lambda(a_1+b_1X+c_1X^2)+\mu(a_2+b_2X+c_2X^2)
[/mm]
[mm] =F((\lambda a_1+\lambda b_1X+\lambda c_1X^2)+(\mu a_2+\mu b_2X+\mu c_2X^2))
[/mm]
[mm] =F((\lambda a_1+\lambda b_1X+\lambda c_1X^2))+F(\mu a_2+\mu b_2X+\mu c_2X^2)
[/mm]
[mm] =\lambda*F(a_1+b_1X+c_1X^2)+\mu*F(a_2+b_2X+c_2X^2)
[/mm]
habe ich das hiermit korrekt gezeigt?
Nun muss ich noch zeigen, dass das Bild F(f(x))=b+cX ein Element des Endomorphismus von V ist.
Wie zeige ich das? Dazu fehlt mir der Ideensprung!
LG
heinze
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> Zu dem Aufgabenteil a) habe ich noch eine Frage.
> Ich habe die Linearität folgendermaßen gezeigt:
Hallo,
ob Du etwas korrekt gezeigt hast, erkennst Du meist ganz gut, wenn Du Dir angewöhnst, für jeden Schritt, für jede Umformung, eine Begründung anzugeben, z.B. "nach Satz XYZ", "Definition von Plimplam":
>
Zu zeigen: für alle f(X), [mm] g(X)\in [/mm] V, für alle [mm] \lambda, \mu\in \IR [/mm] gilt:
> [mm]F(\lambda (f(x))+\mu(g(x)))=\lambda*F(f(x))+\mu*F(g(x))[/mm].
Beweis: es seien [mm] f(X):=a_1+b_1X+c_1X^2, g(X):=a_2+b_2X+c_2X^2\in [/mm] V, [mm] \lambda, \mu \in \IR.
[/mm]
>
Es ist
[mm] F(\lambda (f(X))+\mu(g(X)))
[/mm]
> [mm]F(\lambda(a_1+b_1X+c_1X^2)+\mu(a_2+b_2X+c_2X^2)[/mm] [mm] \qquad [/mm] nach Def. von f(X),g(X)
> [mm]=F((\lambda a_1+\lambda b_1X+\lambda c_1X^2)+(\mu a_2+\mu b_2X+\mu c_2X^2))[/mm][mm] \qquad [/mm] Def. der Multiplikation von Polynomen mit reellen Zahlen
>
> [mm]=F((\lambda a_1+\lambda b_1X+\lambda c_1X^2))+F(\mu a_2+\mu b_2X+\mu c_2X^2)[/mm] [mm] \qquad [/mm] ???
An dieser Stelle wirst Du schwerlich eine Begründung finden...
Wir setzen mal frisch an:
[mm] F(\lambda (f(X))+\mu(g(X)))
[/mm]
> [mm]F(\lambda(a_1+b_1X+c_1X^2)+\mu(a_2+b_2X+c_2X^2))[/mm] [mm] \qquad [/mm] nach Def. von f(X),g(X)
> [mm]=F((\lambda a_1+\lambda b_1X+\lambda c_1X^2)+(\mu a_2+\mu b_2X+\mu c_2X^2))[/mm][mm] \qquad [/mm] Def. der Multiplikation von Polynomen mit reellen Zahlen
= [mm] F(...*1+...*X+...*X^2) \qquad [/mm] Addition v. Polynomen
= ... nun beechne hier den Funktionswert.
Am besten machst Du dasselbe Spielchen jetzt mit der anderen Seite der Gleichung und guckst, ob dasselbe herauskommst.
[mm] \lambda*F(f(X))+\mu*F(g(X))= [/mm] ... ... ... ... ... ...
> [mm]=\lambda*F(a_1+b_1X+c_1X^2)+\mu*F(a_2+b_2X+c_2X^2)[/mm]
>
> habe ich das hiermit korrekt gezeigt?
>
Nein.
> Nun muss ich noch zeigen, dass das Bild F(f(x))=b+cX ein
> Element des Endomorphismus von V ist.
So etwas Krauses!
Lies die Aufgabenstllung richtig: Du sollst zeigen, daß F eine Element der Menge der Endomorphismen von F ist, daß F also ein Endomorphismus auf V ist.
Was ist denn ein Endomorphismus?
Wenn Dir das klar wird, weißt Du auch, was noch zu zeigen ist.
Für die Beantwortung der Frage wird es später hilfreich sein, wenn du Dir klarmachst, daß [mm] b+cX=b+cX*0*X^2...
[/mm]
Gruß v. Angela
> Wie zeige ich das? Dazu fehlt mir der Ideensprung!
>
> LG
> heinze
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
> Wir setzen mal frisch an:
>
>
> [mm]F(\lambda (f(X))+\mu(g(X)))[/mm]
> >
> [mm]F(\lambda(a_1+b_1X+c_1X^2)+\mu(a_2+b_2X+c_2X^2))[/mm] [mm]\qquad[/mm]
> nach Def. von f(X),g(X)
> > [mm]=F((\lambda a_1+\lambda b_1)X+(\lambda c_1X^2)+(\mu a_2+\mu b_2X+\mu c_2X^2))[/mm][mm] \qquad[/mm]
> Def. der Multiplikation von Polynomen mit reellen Zahlen
>
= [mm] F(\lambda*a_1+\mu*a_2)*1+(\lambda*b_1+\mu*b_2)*X+(\lambda*c_1+\mu*c_2*)X^2) [/mm] Addition v. Polynomen
= ... nun beechne hier den Funktionswert.
Wenn ich wüsste wie, dann würde ich das machen. Meine Idee:
[mm] (\lambda*b_1+\mu*b_2)*X+(\lambda*c_1+\mu*c_2)*X^2 [/mm] als Funktionswert
LG
heinze
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
Ist meine Lösungsidee korrekt oder steckt dort noch ein Rechenfehler?
LG
heinze
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> > Wir setzen mal frisch an:
> >
> >
> > [mm]F(\lambda (f(X))+\mu(g(X)))[/mm]
> > >
> > [mm]F(\lambda(a_1+b_1X+c_1X^2)+\mu(a_2+b_2X+c_2X^2))[/mm] [mm]\qquad[/mm]
> > nach Def. von f(X),g(X)
> > > [mm]=F((\lambda a_1+\lambda b_1)X+\lambda c_1X^2)+(\mu a_2+\mu b_2X+\mu c_2X^2))[/mm][mm] \qquad[/mm]
> > Def. der Multiplikation von Polynomen mit reellen Zahlen
> >
> =
> [mm]F((\lambda*a_1+\mu*a_2)*1+(\lambda*b_1+\mu*b_2)*X+(\lambda*c_1+\mu*c_2*)X^2))[/mm]
> Addition v. Polynomen
>
> = ... nun beechne hier den Funktionswert.
>
> Wenn ich wüsste wie, dann würde ich das machen. Meine
> Idee:
>
> [mm](\lambda*b_1+\mu*b_2)*X+(\lambda*c_1+\mu*c_2)*X^2[/mm] als
> Funktionswert
Hallo,
mannomann.
Es war doch [mm] F(a+bX+cX^2):=b+cX.
[/mm]
Was ist nun in
> [mm] $F((\lambda*a_
[/mm]
[mm] 1+\mu*a_2)*1+(\lambda*b_1+\mu*b_2)*X+(\lambda*c_1+\mu*c_2*)X^2))$ [/mm] das a, was das b und was das c?
Also?
Gruß v. Angela
>
>
> LG
> heinze
>
>
>
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> [mm]F((\lambda*a_1+\mu*a_2)*1+(\lambda*b_1+\mu*b_2)*X+(\lambda*c_1+\mu*c_2*)X^2))[/mm]
Das b ist hier [mm] (\lambda*a_1+\mu*a_2)*1
[/mm]
c ist hier [mm] (\lambda*b_1+\mu*b_2)*X
[/mm]
und das a ist hier 0?
Mathegirl
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> >
> [mm]F((\lambda*a_1+\mu*a_2)*1+(\lambda*b_1+\mu*b_2)*X+(\lambda*c_1+\mu*c_2*)X^2))[/mm]
>
> Das b ist hier [mm](\lambda*a_1+\mu*a_2)*1[/mm]
> c ist hier [mm](\lambda*b_1+\mu*b_2)*X[/mm]
>
> und das a ist hier 0?
Leute!!!
Wollt Ihr mich umbringen?
Paßt auf, ich mache das jetzt für Euch in bunt:
die Funktionsvorschrift ist doch [mm] F(\red{a}*1+\blue{b}X+\green{c}X^2):=\blue{b}+\green{c}X.
[/mm]
Nun die Preisfrage: was ist
> [mm] $F(\red{(\lambda*a_1+\mu*a_2)}*1+\blue{(\lambda*b_1+\mu*b_2)}*X+\green{(\lambda*c_1+\mu*c_2*)}X^2))$ [/mm] ?
Wenn jetzt noch irgendwas Falsches kommt, dann spring ich von der Brücke!
Ich mein', das kann doch nicht so schwer sein, einen Funktionswert hinzuschreiben.
Mal anders: mich würde mal interessieren (und das meine ich wirklich ernst), warum Ihr das so schwer findet.
Habt Ihr nicht gecheckt, daß halt der Koeffizient, der zuvor im Argument vorm X stand, jetzt halt allein dastehet, und der, der vorm [mm] X^2 [/mm] stand, vors X gebappt wird?
Gruß v. Angela
>
>
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
Ich komme beim Aufgabenteil c) nicht so recht weiter. Ich brauche da wohl eure Unterstützung.
Laut meiner Erkenntnisse aus Aufgabenteil b) kann ich folgende Basisvektoren bilden: (falls das so "einfach" möglich ist)
[mm] \psi_A\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=1
[/mm]
[mm] \psi_A\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=X
[/mm]
[mm] \psi_A\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=X^2
[/mm]
[mm] \psi_B\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=1
[/mm]
[mm] \psi_B\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=2+X
[/mm]
[mm] \psi_B\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=1+2X+X
[/mm]
dann habe ich [mm] v=\vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] gegeben.
Das Problem nun:
[mm] (F\circ \psi_A)(v) [/mm] und [mm] (\psi_B\circM_B^A(F)*)(v) [/mm] berechnen.
Erklärt ihr mir das bitte nochmal?
LG
heinze
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> Ich komme beim Aufgabenteil c) nicht so recht weiter. Ich
> brauche da wohl eure Unterstützung.
Hallo,
nochmal für Späteinsteiger die Teile der Aufgabenstellung:
Basen [mm] A=(1,X,X^2) [/mm] und B=(1,2+X, [mm] 1+2X+X^2),[/mm]
[mm] F(a+bX+cX^2):=b+cX.
[/mm]
c) Es seien [mm] \phi_A [/mm] und [mm] \phi_B [/mm] die Koordinatenabbildungen bezüglich A und B. Sei [mm] v=\vektor{1 \\
2 \\
-1}\in \IR^3. [/mm] Berechne [mm] (F\circ \phi_A)(v) [/mm] und [mm] \green{(\phi_B\circ M_B^A)\cdot{})(v)}. [/mm]
Das Grüne sieht mir etwas verkrutzt aus, das sollte wohl [mm] \phi_B(M_B^A(F)v) [/mm] stehen oder so ähnlich - oder mir sind Eure Schreibweisen nicht ganz klar.
Ich weiß aber, was gemeint ist.
>
> Laut meiner Erkenntnisse aus Aufgabenteil b) kann ich
> folgende Basisvektoren bilden: (falls das so "einfach"
> möglich ist)
>
> [mm]\psi_A\vektor{1 \\
0 \\
0}=1[/mm]
> [mm]\psi_A\vektor{0 \\
1 \\
0}=X[/mm]
>
> [mm]\psi_A\vektor{0 \\
0 \\
1}=X^2[/mm]
>
>
> [mm]\psi_B\vektor{1 \\
0 \\
0}=1[/mm]
> [mm]\psi_B\vektor{0 \\
1 \\
0}=2+X[/mm]
>
> [mm]\psi_B\vektor{0 \\
0 \\
1}=1+2X+X^{\red{2}}[/mm]
Ja, so einfach ist das wirklich.
>
> dann habe ich [mm]v=\vektor{1 \\
2 \\
-1}[/mm] gegeben.
>
> Das Problem nun:
>$ [mm] (F\circ \phi_A)(v) [/mm] $ und $ [mm] \phi_B(M_B^A(F)v). [/mm] $
> berechnen.
> Erklärt ihr mir das bitte nochmal?
1.
[mm] (F\circ \phi_A)(v)=F(\phi_A(v))=F(1*1+2*X+(-1)*X^2)= [/mm] ???
2.
[mm] \phi_B(M_B^A(F)v)=\phi_B(multipliziere \quad M_B^A(F) \quad [/mm] mit [mm] \quad [/mm] v)=
[mm] \phi_B(Spaltenvektor)= ...*(1)+...*(2+X)+...*(1+2X+X^2)= [/mm] ...*1 + ...*X+ [mm] ...*X^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> LG
> heinze
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
ups, da hat sich wohl ein Schreibfehler in Grün eingeschlichen!
So "einfach" ist das also zu zeigen.
> 1.
> [mm](F\circ \phi_A)(v)=F(\phi_A(v))=F(1*1+2*X+(-1)*X^2)=[/mm] ???
= [mm] 2X-X^2
[/mm]
>
> 2.
> [mm]\phi_B(M_B^A(F)v)=\phi_B(multipliziere \quad M_B^A(F) \quad[/mm]
> mit [mm]\quad[/mm] v)=
[mm] M_B^A(F)*(v)=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }*\vektor{1 \\ 2 \\ -1}= \vektor{2 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \phi_B(2,-1,-1)= 2*(1)+(-1)(2+X)+(-1)(1+2X+X^2)=-1-(4)X-1X^2 [/mm]
ist das korrekt?
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 So 18.12.2011 | | Autor: | davux |
Na ja, also zwei Dinge. Erstmal solltest du genauer zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren unterscheiden. Es scheint, als wäre es dir ziemlich egal, einmal schreibst du als Spalte, dann als Zeile.
Dann komme ich beim Nachrechnen auf $-3X$ nicht $-4X$. Ansonsten ist es in Ordnung, denke ich.
#Edit: Ehrlich gesagt kommt mir beim zweiten Hinsehen deine Darstellungsmatrix [mm] M_B^A [/mm] (F) etwas komisch vor.
Ich habe auch eine andere raus, wie ich gerade mal vergleichen habe.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:50 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
Kannst du mir zeigen, wo ich die Spalten und Zeilen vertauscht habe? ich sehe meine Fehler nicht.
Und vielleicht kannst du mir erklären wie die richtige Darstellungsmatrix lauten muss von [mm] M_B^A(F) [/mm] und [mm] M_B^B(F)
[/mm]
Dann habe ich einen vergleich und kann vielleicht erkennen wo ich mich verrechnet habe.
LG
heinze
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> Kannst du mir zeigen, wo ich die Spalten und Zeilen
> vertauscht habe? ich sehe meine Fehler nicht.
Hallo, ich hab' gesehen ,daß Du bei [mm] M_B^A(F)*v [/mm] korrekterweise einen Spaltenvektor herausbekommen hast, in dem Moment, wo Du dann [mm] \phi_B [/mm] von diesem berechnen sollst, machst Du einen Zeilenvektor daraus.
>
> Und vielleicht kannst du mir erklären wie die richtige
> Darstellungsmatrix lauten muss von [mm]M_B^A(F)[/mm] und [mm]M_B^B(F)[/mm]
Erklärt worden ist das ja schon.
Kannst Du mal Deine Berechnung verlinken?
Ich mag jetzt nicht im ganzen Thread danach suchen.
Gruß v. Angela
>
> Dann habe ich einen vergleich und kann vielleicht erkennen
> wo ich mich verrechnet habe.
>
> LG
> heinze
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 So 18.12.2011 | | Autor: | davux |
Berechnung $M_B^A (F)$
Da die Frage weiter unten ebenfalls nochmal aufkam und ich mich da hab hinreißen lassen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
ups!!! Da hat sich ein Abschreibfehler bei mir eingeschlichen! Dann habe ich mich nicht verrechnet! Danke fürs aufzeigen, ich wollte meinen Lösungsweg gerade nochmal posten.
Bei [mm] M_B^B(F) [/mm] habe ich ebenfalls ein kleines Problem bei der Berechnung der s.
0=...
X=...
2+x=...
die 3.Zeile der Linearkombinationen lautet:
[mm] X+2=s_{31}*1+s_{32}(2+2X)+s_{33}(1+2X+X^2)
[/mm]
Dann muss [mm] M_B^B(F)=\pmat{ 0 & -2 & -4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 So 18.12.2011 | | Autor: | davux |
Nee, also da stimmt auch was nicht.
Was sollen mir deine Ausführungen eigentlich sagen? Dass alle Koeffizienten in der dritten Zeile Null sind, stimmt schonmal. Du hast dich da auch wieder verschrieben, denke ich.
$ [mm] X+2=s_{\blue{13}}\cdot{}1+s_{\blue{23}}(2+\red{2}X)+s_{\blue{33}}(1+2X+X^2) [/mm] $
Die rotmarkierte 2 hat da nichts verloren.
Wenn ich mir mal die Freiheit nehmen darf, die beiden Gliedern des Bildes links der Gleichung zu tauschen, dann sieht man doch sofort, dass
$ [mm] \green{2+X}=s_{13}\cdot{}1+s_{23}(\green{2+X})+s_{33}(1+2X+X^2) [/mm] $,
und wir nur [mm] s_{23}=1 [/mm] brauchen, [mm] s_{13}=s_{33}=0.
[/mm]
Blaumarkiert habe ich die Koeffizienten, ein weiterer Fehler bei dir. Die Matrix sollte nachher dieses Bild haben:
[mm] \pmat{s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}}
[/mm]
Die Linearkombinationen stellen kein lineares Gleichungssystem in dem Sinne dar, dass du einfach die Koeffizienten zeilen- und spaltenweise in eine Matrix schreiben darfst. Es ist in unserem Falle umgedreht. Das musst du dir erklären.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
Danke danke!!
Ich habe scheinbar die 2aus dem B aus der Aufgabenstllung übernommen.
Jetzt ist es mir auch klar.
Was mir aber nicht klar ist, warum ich die Zeilen nicht als Spalten darstellen darf. Ist das sonst nicht so bei einem "normalen" Gleichungssystem?
Woher weiß ich, dass ich das hier nicht so machen kann?
Und eine weitere Frage zu c) Ich soll ein Abbildungsdiagramm erstellen. Kann ich sowas hier auch posten? Die Funktionen dafür konnte ich noch nicht finden.
Ich weiß allerdings nicht genau wie ein Abbildungsdiagramm in diesem Fall aussehen muss. Kann mir das jemand erklären? Ich würde gerne wissen wie man solch eines erstellen kann und was man wo und wie anordnet!
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 So 18.12.2011 | | Autor: | davux |
Wie sah denn das Diagramm in der Vorlesung aus? Und wie sieht es dann hier aus? Daran lassen sich doch die "Wege" aus dem Aufgabenteil c) recht gut erläutern, wenn man es sich zurecht gemacht hat.
Was deine erste Frage angeht, hatte ich schon geschrieben, dass ich das von dir selbst erwarte. Vielleicht erbarmt sich noch einmal jemand. An und für sich steht die Antwort schon hier im Forum, teils von mir, teils von angela.
Schau dir nochmal die Basen an. Die sehen aus wie Zeilenvektoren. Aber da steckt schon mehr dahinter, wie du aus unseren Beiträgen ersehen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 15.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Würde mir evtl jemand eine der Matrizen als Beispiel vorrechnen. Oder mir nochmal erklären, wie ich anfange? Ich weiß grad nicht so recht was mit der Aufgabe anzufangen.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Do 15.12.2011 | | Autor: | davux |
Na ja, also du kannst dir kurz Gedanken machen, was es mit [mm] $f(X)=a+bX+cX^2$ [/mm] auf sich hat. Ich habe es die Darstellung der Polynome genannt, wo man mich bestimmt noch irgendwie verbessern kann. Aber auf jeden Fall sind die Polynome des gegebenen Vektorraums dieser Form und sie heißen $f(X)$. Also es handelt sich dabei nicht extra um eine Abbildung.
Du würdest jetzt ansetzen und die Bilder der Basispolynome berechnen, d.h. zum Beispiel zur Basis $A$:
[mm] $F(f(1))=F(1+0X+0X^2)=0+0X=0$
[/mm]
[mm] $F(f(X))=F(0+1X+0X^2)=1+0X=1$
[/mm]
[mm] $F(f(X^2))=F(0+0X+1X^2)=0+1X=X$
[/mm]
Dann stellst du diese als Linearkombination der Basis A dar:
[mm] $0=s_{11} [/mm] 1 + [mm] s_{21} [/mm] X + [mm] s_{31} X^2$
[/mm]
[mm] $1=s_{12} [/mm] 1 + [mm] s_{22} [/mm] X + [mm] s_{32} X^2$
[/mm]
[mm] $X=s_{13} [/mm] 1 + [mm] s_{23} [/mm] X + [mm] s_{33} X^2$
[/mm]
An dieser Stelle überlegst, was du für die Koeffizienten einsetzen müsstest, damit die Gleichung gilt. Aus diesen Überlegungen resultiert dann direkt die Abbildungsmatrix. In diesem Fall:
[mm] $M_A^A (F)=\pmat{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}$
[/mm]
Schau dir auch das Schema an, wie ich die Koeffizienten benannt habe, und überleg mal, warum das so ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Do 15.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
> [mm]F(f(1))=F(1+0X+0X^2)=0+0X=0[/mm]
> [mm]F(f(X))=F(0+1X+0X^2)=1+0X=1[/mm]
> [mm]F(f(X^2))=F(0+0X+1X^2)=0+1X=X[/mm]
Ich versteh nicht so recht, wie man darauf kommt. Warum ist bei F(f(1)) a=1, b=0 und c=0? Ich scheine da ja grad mit beiden Füßen auf dem Schlauch zu stehen :o
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Do 15.12.2011 | | Autor: | davux |
Ein Polynom in V wird doch dargestellt durch [mm] $f(X)=a+bX+cX^2$. [/mm] Wie müssen denn a, b und c aussehen, wenn 1, X, [mm] X^2 [/mm] hast? Wenn du nun F anwendest, bleibt doch nur b+cX übrig. Das ist alles, was hinter diesen sehr ausformulierten Zeilen steckt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Sa 17.12.2011 | | Autor: | heinze |
hallo!
Ich bin noch ganz neu hier im Forum, weil mein Matheverständnis so langsam den Geist aufgibt !
Ihr habt schon vorgerechnet, wie [mm] M_A^A(F) [/mm] lauten muss.
Ich versuche es mal mit [mm] M_B^A(F)
[/mm]
F(f(1))=0
F(f(X))=1
[mm] F(f(X^2)=X
[/mm]
Nun als Linearkombination darstellen für [mm] B=(1,2+X,1+2X+X^2)
[/mm]
Muss es dann wie folgt lauten:
[mm] 0=s_{11}1+s_{12}(1+2X)+s_{23}(1+2X+X^2)
[/mm]
[mm] 1=s_{11}1+s_{12}(1+2X)+s_{23}(1+2X+X^2)
[/mm]
[mm] X=s_{11}1+s_{12}(1+2X)+s_{23}(1+2X+X^2)
[/mm]
Ich bin mir hier nicht sicher, wie ich bei B einsetzen muss.
Und dann gleich die nächste Frage. ich will die Bilder von B bestimmen für die Darstellungsmatrix [mm] M_B^B(F)
[/mm]
F(f(1))= [mm] F(1+(2+0X)+(1+0X+X^2)=0
[/mm]
F(f(2+X))=
[mm] F(f(1+2X+X^2))=
[/mm]
Stimmt dieser Ansatz so? Mein Problem ist es,das Bild richtig zu ermitteln.
LG
heinze
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Hallo heinze,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hallo!
> Ich bin noch ganz neu hier im Forum, weil mein
> Matheverständnis so langsam den Geist aufgibt !
>
> Ihr habt schon vorgerechnet, wie [mm]M_A^A(F)[/mm] lauten muss.
>
> Ich versuche es mal mit [mm]M_B^A(F)[/mm]
>
> F(f(1))=0
> F(f(X))=1
> [mm]F(f(X^2)=X[/mm]
>
> Nun als Linearkombination darstellen für
> [mm]B=(1,2+X,1+2X+X^2)[/mm]
> Muss es dann wie folgt lauten:
>
> [mm]0=s_{11}1+s_{12}(1+2X)+s_{23}(1+2X+X^2)[/mm]
> [mm]1=s_{11}1+s_{12}(1+2X)+s_{23}(1+2X+X^2)[/mm]
> [mm]X=s_{11}1+s_{12}(1+2X)+s_{23}(1+2X+X^2)[/mm]
>
Ja.
> Ich bin mir hier nicht sicher, wie ich bei B einsetzen
> muss.
>
> Und dann gleich die nächste Frage. ich will die Bilder von
> B bestimmen für die Darstellungsmatrix [mm]M_B^B(F)[/mm]
>
> F(f(1))= [mm]F(1+(2+0X)+(1+0X+X^2)=0[/mm]
> F(f(2+X))=
> [mm]F(f(1+2X+X^2))=[/mm]
>
> Stimmt dieser Ansatz so? Mein Problem ist es,das Bild
> richtig zu ermitteln.
>
Es ist doch
[mm]F\left( \ f\left(1\right) \ \right)=F\left( \ f\left(1+0*X+0*X^{2}\right) \ \right)=0[/mm]
[mm]F\left( \ f\left(2+X\right) \ \right)=F\left( \ f\left(2+1*X+0*X^{2}\right) \ \right)=X[/mm]
[mm]F\left( \ f\left(1+2X+X^{2}\right) \ \right)=F\left( \ f\left(1+2*X+1*X^{2}\right) \ \right)=2+1*X[/mm]
> LG
> heinze
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
>
> [mm]F\left( \ f\left(1\right) \ \right)=F\left( \ f\left(1+0*X+0*X^{2}\right) \ \right)=0[/mm]
>
> [mm]F\left( \ f\left(2+X\right) \ \right)=F\left( \ f\left(2+1*X+0*X^{2}\right) \ \right)=X[/mm]
Muss es hier nicht heißen:
[mm]F\left( \ f\left(2+X\right) \ \right)=F\left( \ f\left(1+2*X+0*X^{2}\right) \ \right)=X[/mm]
Und wieso muss bei dem letzten als Ergebnis nicht [mm] 2+X^2 [/mm] stehen? Das ist mir nicht ganz klar.
LG
heinze
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> >
> > [mm]F\left( \ f\left(1\right) \ \right)=F\left( \ f\left(1+0*X+0*X^{2}\right) \ \right)=0[/mm]
>
> >
> > [mm]F\left( \ f\left(2+X\right) \ \right)=F\left( \ f\left(2+1*X+0*X^{2}\right) \ \right)=X[/mm]
Hallo,
beachte bitte diesen Hinweis zur Schreibweise.
>
> Muss es hier nicht heißen:
> [mm]F\left( \ f\left(2+X\right) \ \right)=F\left( \ f\left(1+2*X+0*X^{2}\right) \ \right)=X[/mm]
Es muß heißen
[mm] F(2+X)=F(2+1*X+0*X^2)=1+0*X=1.
[/mm]
>
> Und wieso muss bei dem letzten als Ergebnis nicht [mm]2+X^2[/mm]
> stehen? Das ist mir nicht ganz klar.
Bei welchem letzten jetzt?
Es ist doch [mm] F(a+bX+cX^2):=b+cX,
[/mm]
ein Ergebnis mit [mm] X^2 [/mm] kann also gar nicht herauskommen.
Gruß v. Angela
>
> LG
> heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 17.12.2011 | | Autor: | davux |
Kannst du auch die Koeffizientenmatrix angeben? Ich finde deine Indizierung ziemlich verwirrend und sie ist in meinen Augen auch falsch.
Ansonsten gilt halt für die Aufgabe:
[mm] F(f(X))=F(a+bX+cX^2)=b+cX
[/mm]
Das heißt, dass der Koeffizient a verschwindet, während X um eine Potenz verringert werden. Anderst, noch ausführlicher aufgeschrieben:
[mm] $F(f(X))=F(a+b\cdot X^1+c\cdot X^2)=a\cdot 0+b\cdot X^{1-1}+c\cdot X^{2-1}=0+b\cdot X^0+c\cdot X^1=b\cdot 1+c\cdot X=b+c\cdot [/mm] X$
Es ist dem Differenzieren sehr ähnlich, aber ich meine, es ist nicht genau dasselbe gemeint, sonst hätten wir einen Faktor 2 bei $cX$ schon in der Aufgabenstellung im Bild.
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Hallo,
es ist eine Schreibweise, welche ich zunächst für einen Flüchtigkeitsfehler hielt, welche hier aber munter von anderen imitiert wird, nicht in Ordnung:
> [mm]F(\red{f(1)})=F(1+0X+0X^2)=0+0X=0[/mm]
> [mm]F(\red{f(X)})=F(0+1X+0X^2)=1+0X=1[/mm]
> [mm]F(\red{f(X^2)})=F(0+0X+1X^2)=0+1X=X[/mm]
Ihr wollt doch hier die Bilder der drei Standardbasisvektoren 1,X und [mm] X^2 [/mm] unter der Abbildung F berechnen.
Also schreibt
[mm]F(1)=F(1+0X+0X^2)=0+0X=0[/mm]
[mm]F(X)=F(0+1X+0X^2)=1+0X=1[/mm]
[mm]F(X^2)=F(0+0X+1X^2)=0+1X=X[/mm],
oder Ihr sagt:
es sei [mm] f_{a,b,c}(X):=a+bX+cX^2 [/mm] und schreibt dann
[mm]F(f_{1,0,0}(X))=F(1+0X+0X^2)=0+0X=0[/mm]
[mm]F(f_{0,1,0}(X)})=F(0+1X+0X^2)=1+0X=1[/mm]
[mm]F(f_{0,0,1}(X))=F(0+0X+1X^2)=0+1X=X[/mm].
Bei den anderen Teilaufgaben mit der anderen Basis entsprechend.
Gruß v. Angela
B
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> Hi
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> Würde mir evtl jemand eine der Matrizen als Beispiel
> vorrechnen. Oder mir nochmal erklären, wie ich anfange?
> Ich weiß grad nicht so recht was mit der Aufgabe
> anzufangen.
Hallo,
lerne dieses Sprüchlein auswendig:
In den Spalten der Darstellungsmatrix $ [mm] M^R_S(h) [/mm] $ von h bzgl der Basen R im Urbildraum und S im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von R in Koordinaten bzgl. S.
Was bedeutet dies für die erste Matrix der Aufgabe b)?
Sag nun erstmal das Sprüchlein auf (und schreib dies auch hin) mit den Bezeichnungen aus b).
Und dann tu das, was das Sprüchlein sagt.
Gruß v. Angela
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Ya, das Sprüchlein steht hier schon zum auswendiglernen bereit ^^ Aber mir war der Teil nicht klar, wie ich vom Urbildraum zum Bildraum komme - obwohl beides ja eigentlich da steht ... Na ja, ich glaube ich hab es jetzt verstanden : )
LG
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Hallo,
ich bin auch neu hier im Forum und ich möchte nun auch mal mein Glück versuchen. Bitte nicht sauer sein falls Formatierungen nicht stimmen...
Also die Lösung für [mm] M^A_{B} [/mm] müsste also lauten:
[mm] F(1)=F(2+0x+0x^2)=0+0x
[/mm]
[mm] F(2+x)=F(2+1x+0x^2)=1+0x
[/mm]
[mm] F(1+2x+x^2)=F(1+2x+1x^2)=2+1x
[/mm]
Folglich die Matrix:
[mm] \pmat{0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Stimmts? Was muss ich bei der [mm] M^B_{B} [/mm] ändern?
Würde die Lösung lauten:
[mm] F(1)=F(1+0(2+x)+0(1+2x+x^2)=0+0
[/mm]
[mm] F(2+x)=F(0(1)+1(2+x)+0(1+2x+x^2)=1+0
[/mm]
[mm] F(1+2x+x^2)=F(0(1)+0(2+x)+1(1+2x+x^2)=0+1
[/mm]
Die Lösungsmatrix:
[mm] \pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 So 18.12.2011 | | Autor: | davux |
Kannst du die Schritte bitte begründen und erläutern? Ich verstehe nicht ganz, was du da machst, auch wenn das Endergebnis richtig ist, aber wo stellst du denn die Linearkombinationen dar, die dich zur Darstellungsmatrix bringen? Also die Matrizen sind aus meiner Sicht richtig, aber es ist für mich nicht nachvollziehbar, wie du darauf kommst. Dein Weg sieht eher fehlerhaft aus. Ich nehm mir mal ein Beispiel:
> $ [mm] F(1)=F(2+0x+0x^2)=0+0x [/mm] $
Woher kommt die 2 in [mm] F(2+0X+0X^2)?
[/mm]
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Ich behaupte jetzt es war ein Tippfehler, in den ersten beiden Rechnungen muss eine 1 stehen an der Stelle wo eine 2 steht. Weitere Anmerkungen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 So 18.12.2011 | | Autor: | davux |
Ja, also ich habe ja nicht nur den einen Fehler angesprochen, sondern auch, dass dir ein Schritt zwischen den Bildern und der Darstellungsmatrix fehlt. Ich kann nicht so recht erkennen, wie deine Matrizen zu Stande kommen.
Wie ich gerade noch nachgesehen habe, hast du doch in der [mm] M_B^A [/mm] (F) einen Fehler drinnen. Das deckt sich nicht mit meinem Ergebnis. Auch deshalb wäre der komplette Weg interessant.
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Ich habe folgendes gemacht:
ausgerechnet so wie es da steht.
Dann habe ich etwas gemacht was ich nicht verstehe sich aber so erklären lässt:
Ich habe die Matrixzeilen in etwa so betrachtet als wären sie die Spalten der Basen [mm] also:1,X,X^2, [/mm] also habe ich an ihnen mein Werte abgetragen.
Die Spalten habe ich als die jeweiligen Gleichungen gesehen, also 0+0x oder 1+0x oder 2 +1x.
Das wars
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 So 18.12.2011 | | Autor: | davux |
Na gut, pass auf. Ich (be-)schreibe mal, was ich gemacht habe.
Die Basis A abbilden (haben wir weiter oben schon einmal gemacht für [mm] $M_A^A(F)$):
[/mm]
[mm] $F(1)=F(1+0X+0X^2)=0+0X=0$
[/mm]
[mm] $F(X)=F(0+1X+0X^2)=1+0X=1$
[/mm]
[mm] $F(X^2)=F(0+0X+1X^2)=0+1X=X$
[/mm]
Jetzt kommt der Schritt, wo wir die Bilder als Linearkombination der Basis B schreiben sollen (, wie drücke ich die Bilder mit der Basis B aus):
[mm] $0=0(1)+0(2+X)+0(1+2X+X^2)$
[/mm]
[mm] $1=1(1)+0(2+X)+0(1+2X+X^2)$
[/mm]
[mm] $X=-2(1)+1(2+X)+0(1+2X+X^2)$
[/mm]
Dabei habe ich jetzt darauf verzichtet die Koeffizienten zu benennen, sondern direkt die Werte hingeschrieben. In den Klammern steht jeweils ein Basiselement von B. Die Koeffizienten kann ich jetzt in eine Matrix schreiben, so dass ich jeden beliebigen Vektor damit multiplizieren um im Diagramm auf die andere Seite zu kommen. Also die Abbildung [mm] M_B^A (F)\cdot [/mm] gebrauchen kann. Nach der Matrizenmultiplikation muss die Matrix so aussehen:
[mm] $M_B^A [/mm] (F) = [mm] \pmat{0&1&-2\\0&0&1\\0&0&0}$
[/mm]
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Oh, so hatte ich das aber nicht gedacht... na denn war meine Lösung eher zufällig. Man und dabei hatten wir das schon in der Übung und es ist meist viel einfacher als ich denke. Danke
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