Darstellungsmatrix < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V ist der Vektorraum der Polynome über den reellen zahlen vom Grad kleiner gleich 2.
[mm] A=(x+1,x^2+x,x^2-x+2)
[/mm]
[mm] B=(18x^2-7x+4, [/mm] 1, x-2)
sind 2 Basen von V.
Die Abbildung [mm] \delta: V\to [/mm] V lautet:
[mm] \delta(\summe_{}^{}a_nX^n)=\summe_{}^{}na_nX^{n-1}
[/mm]
Bestimme die Darstellungsmatrix [mm] M_B^A(\delta). [/mm] |
[mm] \delta(x+1)=1= 0*(18x^2-7x+4)+1*1+0*(x-2)
[/mm]
[mm] \delta(x^2+x)=2x+1 [/mm] = [mm] 0*(18x^2-7x+4)+5*1+2*(x-2)
[/mm]
[mm] \delta(x^2+x+2)= [/mm] 2x-1= [mm] 0*(18x^2-7x+4)+3*1+2*(x-2)
[/mm]
[mm] M_B^A(\delta)=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ 0 & 2 & 2 }
[/mm]
Könnt ihr mir vielleicht nochmal erklären, wie ich auf die Zahlen in der Darstellungsmatrix komme? beziehungsweise wie ich auf die Zahlen durch die Abbildung komme?
das ist mir nicht ganz klar.
MfG
Mathegirl
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> V ist der Vektorraum der Polynome über den reellen zahlen
> vom Grad kleiner gleich 2.
>
> [mm]A=(x+1,x^2+x,x^2-x+2)[/mm]
> [mm]B=(18x^2-7x+4,[/mm] 1, x-2)
>
> sind 2 Basen von V.
>
> Die Abbildung [mm]\delta: V\to[/mm] V lautet:
>
> [mm]\delta(\summe_{}^{}a_nX^n)=\summe_{}^{}na_nX^{n-1}[/mm]
>
> Bestimme die Darstellungsmatrix [mm]M_B^A(\delta).[/mm]
> [mm]\delta(x+1)=1= 0*(18x^2-7x+4)+1*1+0*(x-2)[/mm]
>
> [mm]\delta(x^2+x)=2x+1[/mm] = [mm]0*(18x^2-7x+4)+5*1+2*(x-2)[/mm]
> [mm]\delta(x^2-x+2)=[/mm] 2x-1= [mm]0*(18x^2-7x+4)+3*1+2*(x-2)[/mm]
>
>
> [mm]M_B^A(\delta)=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
1 & 5 & 3 \\
0 & 2 & 2 }[/mm]
>
> Könnt ihr mir vielleicht nochmal erklären, wie ich auf
> die Zahlen in der Darstellungsmatrix komme?
> beziehungsweise wie ich auf die Zahlen durch die Abbildung
> komme?
>
> das ist mir nicht ganz klar.
Hallo,
Du kennst ja das Sprüchlein.
Deshalb wurden die Funktionswerte der Basisvektoren von A ausgerechnet.
Ich mache exemplarisch vor, wie die dritte Spalte der Matrix entsteht:
[mm]\delta(x^2-x+2)=[/mm] [mm] \delta{x^2-x^1+2x^0}=2*x^{2-1}-1*x^{1-1}+0*2*x^{0-1}=2x-1
[/mm]
Damit haben wir den Funktionswert des 3.Basisvektors.
Lt. Sprüchlein muß man diesen jetzt als Linearkombination der Basisvektoren von B schreiben.
Wir suchen also a,b,c so, daß [mm] 2x-1=a*(18x^2-7x+4)+b*1+c*(x-2).
[/mm]
Sortiere nach Koeffizienten von x und löse per Koeffizientenvergleich die Gleichung.
Du erhältst so
[mm]\delta(x^2-x+2)=[/mm] 2x-1= [mm]\red{0}*(18x^2-7x+4)+\red{3}*1+\red{2}*(x-2)[/mm].
Die Koeffizienten ergeben gestapelt die dritte Spalte der Matrix.
LG Angela
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 13.03.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank fürs Erklären, jetzt ist es mir klar!! Habs verstanden!
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:02 Di 13.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Hey,
Auf die Darstellungsmatrix kommst du wie folgt:
Zuerst versuchst du dir die Abbildung mit Hilfe einer Matrix darzustellen. Hierfür genügt es, wie du sicher aus der Vorlesung weißt, dass du weißt, was auf den Basiselementen passiert. Das heißt Spalte 1 der Matrix ist das Bild des ersten Basisvektors unter der Abbildung [mm] \delta [/mm] die du betrachtest.
Zu deinem Beispiel:
Der erste Basisvektor von A ist x+1. Als Ausgangsbasis (von irgendwas musst du ja schließlich ausgehen) dient z.B. einfach die Standardbasis. Also überlegst du dir, wie x+1 mit Hilfe der Standardbasis dargestellt werden kann:
[mm] \vektor{1 \\ x \\ 0} [/mm] = 1 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + 1 * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + 0 * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Das ist nun die erste Spalte deiner Darstellungsmatrix!
Analog mit den anderen Vektoren deiner Basis A. Daraus ergibt sich dann die folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Das ist nun die Darstellungsmatrix von [mm] \delta(x) [/mm] in der Basis A bzgl. der Standardbasis, also [mm] M_E^A(\delta)
[/mm]
Wenn du nun die von dir gesuchte Matrix von A bzgl. B bestimmen willst, musst du dir ausrechnen, die die Vektoren aus der obrigen Matrix in der Basis B dargestellt werden würden.
Achtung: Ich habe bei der Antwort hier angenommen, dass [mm] M_B^A [/mm] heißt: "Darstellende Matrix von A zur Basis B".
Es kann auch sein, dass euer Prof. die Notation andersrum gewählt hat.
Gruß, Denis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Di 13.03.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank Denis! Auf die Idee bin ich noch nicht gekommen das so darzustellen. Danke! Das hab ich jetzt wohl gut verstanden! 
MfG
mathegirl
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:18 Di 13.03.2012 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wir hatten folgende
| Aufgabe | Aufgabe
V sei der Vektorraum der Polynome über den reellen zahlen vom Grad kleiner gleich 2.
$ [mm] A=(x+1,x^2+x,x^2-x+2) [/mm] $
$ [mm] B=(18x^2-7x+4, [/mm] $ 1, x-2)
sind 2 Basen von V.
Die Abbildung $ [mm] \delta: V\to [/mm] $ V laute:
$ [mm] \delta(\summe_{}^{}a_nX^n)=\summe_{}^{}na_nX^{n-1} [/mm] $
Man bestimme die Darstellungsmatrix $ [mm] M_B^A(\delta). [/mm] $ |
> Das heißt Spalte 1 der Matrix ist
> das Bild des ersten Basisvektors unter der Abbildung [mm]\delta[/mm]
> die du betrachtest.
Die 1. Spalte der gesuchten Matrix ist das Bild des 1. Basisvektors von A in Koordinaten bzgl. B.
>
> Zu deinem Beispiel:
>
> Der erste Basisvektor von A ist x+1. Als Ausgangsbasis (von
> irgendwas musst du ja schließlich ausgehen) dient z.B.
> einfach die Standardbasis
[mm] E:=(1,x,x^2)
[/mm]
> . Also überlegst du dir, wie x+1
> mit Hilfe der Standardbasis dargestellt werden kann:
Es ist [mm] x+1=1*1+1*x+0*x^2=\vektor{1\\1\\0}_{(E)} [/mm] (Koordinatenvektor von x+1 bzgl E)
>
> [mm]\vektor{1 \\
\red{x} \\
0}[/mm] = 1 * [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm] + 1 * [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] + 0 * [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
Bei dem roten x sollte sicher eine 1 stehen.
> Das ist
> nun die erste Spalte deiner Darstellungsmatrix!
Nein.
Das, was Du aufschreibst, ist die erste Spalte der Basistransformationsmatrix [mm] M_E^A(id), [/mm] welche Vektoren, die in Koordinaten bzgl A gegeben sind, in solche bzgl E umwandelt.
Die Abbildung [mm] \delta [/mm] war hier bislang überhaupt nicht im Spiel!
>
> Analog mit den anderen Vektoren deiner Basis A. Daraus
> ergibt sich dann die folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Das ist nun die Darstellungsmatrix von [mm]\delta(x)[/mm] in der
> Basis A bzgl. der Standardbasis, also [mm]M_E^A(\delta)[/mm]
Nein.
Die Matrix, die Du hier angibst, ist die Matrix [mm] M_E^A(id). [/mm]
Man kann auf ähnliche Weise die Matrix [mm] M_E^B(id) [/mm] aufstellen, welche Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, in solche bzgl E umwandelt.
Sehr einfach aufzustellen ist auch die Matrix [mm] M_E^A(\delta).
[/mm]
In ihren Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren von A bzgl der Standardbasis E.
(Also ist [mm] M_E^A(\delta)=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 })
[/mm]
Nun gilt [mm] M_B^A(\delta)= M_B^E(id)M_E^A(\delta)=(M_E^B)^{-1}(id)M_E^A(\delta).
[/mm]
Oder man stellt die Matrix [mm] M_E^E(\delta) [/mm] auf - das ist ebenfalls leicht.
Dann kann man rechnen [mm] M_B^A(\delta)= M_B^E(id)M_E^E(\delta)M_E^A(\delta)=(M_E^B)^{-1}(id)M_E^A(\delta)M_E^E(\delta).
[/mm]
LG Angela
>
> Wenn du nun die von dir gesuchte Matrix von A bzgl. B
> bestimmen willst, musst du dir ausrechnen, die die Vektoren
> aus der obrigen Matrix in der Basis B dargestellt werden
> würden.
>
> Achtung: Ich habe bei der Antwort hier angenommen, dass
> [mm]M_B^A[/mm] heißt: "Darstellende Matrix von A zur Basis B".
> Es kann auch sein, dass euer Prof. die Notation andersrum
> gewählt hat.
>
> Gruß, Denis
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