Darstellungsmatrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Abbildung [mm] F:\IC^2\to \IC^2 [/mm] ist definiert durch:
[mm] F(\vektor{x \\ y})=\vektor{-2x+(1+i)y \\ x-iy}
[/mm]
a) Die Familie [mm] A=(\vektor{1 \\ i}, \vektor{-1 \\ 1}) [/mm] ist eine basis des [mm] \IC^2.
[/mm]
Bestimme die Darstellungsmatrix [mm] M_A^A(F) [/mm] bezüglich der Basis A.
b) Zeige, dass [mm] \IC [/mm] ein vektorraum der Dimension 4 ist.
c) Wähle eine Basis B des [mm] \IC^2 [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Fasse F als Elemente von [mm] End_{\IR}(\IC^2) [/mm] auf und bestimme die Darstellungsmatrix [mm] M_B^B(F) [/mm] von F bezüglich der Basis B. |
Ich habe diese Aufgabe in eine Probeklausur gefunden, allerdings gibt es dazu keine Lösung. das erschwert mit das Lernen für die Klausur.
Vielleicht könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen?
a)
[mm] F(\vektor{1 \\ i})=\vektor{-2+i+i^2 \\ 1-i^2}
[/mm]
[mm] F(\vektor{-1 \\ 1})=\vektor{3+i \\ -1-i}
[/mm]
[mm] M_A^A(F)=\pmat{-2+i+i^2 & 3+i \\ 1-i^2 & -1-i }
[/mm]
Stimmt diese Darstellungsmatrix?
b) Ich muss zeigen, dass [mm] \IC^2 [/mm] die Dimension 4 hat.
ich weiß nur, die Anzahl der Elemente einer Basis ist die Dimension des Vektorraums. Aber wie zeige ich das??
c) Hier muss ich eine Basis B finden und dazu die Darstellungsmatrix zur Basis B berechnen. Ich muss also eine Basis finden, die zur Basis A linear unabhängig ist.
Ich habe kein Problem damit wenn 2 Basen gegeben sind diese auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen, aber es fällt mir sehr schwer eine Basis die das erfült anzugeben. Könnt ihr mir Tipps geben?
MfG
mathegirl
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> Die Abbildung [mm]F:\IC^2\to \IC^2[/mm] ist definiert durch:
>
> [mm]F(\vektor{x \\
y})=\vektor{-2x+(1+i)y \\
x-iy}[/mm]
>
> a) Die Familie [mm]A=(\vektor{1 \\
i}, \vektor{-1 \\
1})[/mm] ist
> eine basis des [mm]\IC^2.[/mm]
> Bestimme die Darstellungsmatrix [mm]M_A^A(F)[/mm] bezüglich der
> Basis A.
>
> b) Zeige, dass [mm]\IC[/mm] ein vektorraum der Dimension 4 ist.
>
> c) Wähle eine Basis B des [mm]\IC^2[/mm] als [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Fasse
> F als Elemente von [mm]End_{\IR}(\IC^2)[/mm] auf und bestimme die
> Darstellungsmatrix [mm]M_B^B(F)[/mm] von F bezüglich der Basis B.
>
Hallo,
mal eine kleine Bemerkung vorweg: es geht hier um die Menge [mm] \IC^2, [/mm] also die Zweitupel, die Einträge aus [mm] \IC [/mm] haben.
Diese Menge kann man mit den einschlägigen Verknüpfungen als VR über [mm] \IC [/mm] auffassen.
Dies ist in Aufgabe a) der Fall.
Als [mm] \IC-Vektorraum [/mm] hat der [mm] \IC^2 [/mm] die Dimension 2, eine Basis wird in der Aufgabe angegeben. Die Standardbasis dieses Räumes wäre [mm] E:=(\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}).
[/mm]
Aufgabe b) hast Du nicht im Originaltext wiedergegeben, oder, wenn der O-Ton so war, wie gepostet, hättest Du eigentlich stuztig werden müssen.
Worum geht es? Man kann den [mm] \IC^2 [/mm] auch als VR über [mm] \IR [/mm] auffassen, und in diesem Fall ist seine Dimension =4.
Zeigen tust Du dies am besten, indem Du eine Basis angibst, also 4 linear unabhängige vektoren, mit welchen Du jedes Element vom [mm] \IC^2 [/mm] erzeugen kannst als [mm] \IR-Linearkombination.
[/mm]
Dementsprechend kann man F einmal als Abbildung zwischen zwei zweidimensionalen Räumen auffassen, aber auch als Abbildung zwischen zwei vierdimensionalen Räumen, was natürlich Auswirkungen auf das Format der zugehörigen Abbildungsmatrix hat.
> Vielleicht könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen?
>
> a)
> [mm]F(\vektor{1 \\
i})=\vektor{-2+i+i^2 \\
1-i^2}[/mm]
= ???
Hier kannst Du doch noch ein bißchen weiterrechnen.
Daß mit i die komplexe Zahl i gemeint ist, wird Dir doch klar sein, oder?
>
> [mm]F(\vektor{-1 \\
1})=\vektor{3+i \\
-1-i}[/mm]
Du hast jetzt die Bilder der Basisvektoren von A in "ganz normalen" Koordinaten ausgerechnet, also in Koordinaten bzgl der Standardbasis E.
Das ist als Anfang schonmal ganz nett und brauchbar.
>
> [mm]M_A^A(F)=\pmat{-2+i+i^2 & 3+i \\
1-i^2 & -1-i }[/mm]
>
>
> Stimmt diese Darstellungsmatrix?
Nein.
Ich hab' Dir doch so ein schönes Sprüchlein beigebracht zur Darstellungsmatrix bzgl zweier Basen.
Dies solltest Du mal aufsagen, aufschreiben und dann analysieren, was Du vergessen hast und nun noch tun mußt.
>
> b) Ich muss zeigen, dass [mm]\IC^2[/mm] die Dimension 4 hat.
> ich weiß nur, die Anzahl der Elemente einer Basis ist die
> Dimension des Vektorraums. Aber wie zeige ich das??
(zur Aufgabenstllung: s.o.)
Indem Du Dir eine Basis überlegst bzw. ein Erzeugendensystem.
Suche also 4 Vektoren, mit denen Du den [mm] \IC^2 [/mm] erzeugen (als [mm] \IR-Linearkombination) [/mm] kannst.
Von denen zeigst Du dann, daß sie linear unabhängig sind, damit hast Du eine Basis und folglich auch die Dimension.
>
> c) Hier muss ich eine Basis B finden und dazu die
> Darstellungsmatrix zur Basis B berechnen.
Genau. Nimm zu gegebener Zeit die aus b)
> Ich muss also
> eine Basis finden, die zur Basis A linear unabhängig ist.
???
Was meinst Du damit? (Oder vergiß es gleich.)
LG Angela
> Ich habe diese Aufgabe in eine Probeklausur gefunden,
> allerdings gibt es dazu keine Lösung. das erschwert mit
> das Lernen für die Klausur.
>
> Ich habe kein Problem damit wenn 2 Basen gegeben sind diese
> auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen, aber es fällt mir
> sehr schwer eine Basis die das erfült anzugeben. Könnt
> ihr mir Tipps geben?
>
>
> MfG
> mathegirl
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ich bleibe erstmal bei der Aufgabe a)
..ich weiß was ich bei a) vergesseb habe...aber dazu müsste ich erstmal die Bilder richtig haben.
Was kann ich denn da noch ausrechnen? das sehe ich grad irgendwie nicht..
[mm] F(\vektor{1 \\ i})=\vektor{-2+i+i^2 \\ 1-i^2}
[/mm]
[mm] i^2=-1 [/mm] stimmt das? also:
[mm] F(\vektor{1 \\ i})=\vektor{-3+i \\ 2} [/mm] So richtig?
[mm] \vektor{-3+i \\ 2}=a_1*\vektor{1 \\ i}+b_1*\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{-3+i \\ 2}=a_2*\vektor{1 \\ i}+b_2*\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
da kann ich jeweils die a und b berechnen und die a und b in Spalten sind dann meine Darstellungsmatrix.
Aber irgenwie tue ich mich schwer beim ausrechnen der a und b wegen dem i.
zu b) Die genaue Aufgabenstellung lautet:
zeige, dass [mm] \IC^2 [/mm] ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der Dimension 4 ist.
Mein Problem ist hierbei 4 linear unabhängige anzugeben. 2 habe ich ja schon, die Einheitsvektoren. Kann ich dann nicht entweder die Vektoren von A dazunehmen oder einfach [mm] \vektor{1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1}?
[/mm]
Ich muss ja zeigen, dass diese 4 vektoren Linear unabhängig sind.
zu c)
Kann ich als Basis B nicht die Einheitsvektoren nehmen oder eben [mm] \vektor{1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1}?
[/mm]
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 12.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> ich bleibe erstmal bei der Aufgabe a)
>
> ..ich weiß was ich bei a) vergesseb habe...aber dazu
> müsste ich erstmal die Bilder richtig haben.
>
> Was kann ich denn da noch ausrechnen? das sehe ich grad
> irgendwie nicht..
>
> [mm]F(\vektor{1 \\ i})=\vektor{-2+i+i^2 \\ 1-i^2}[/mm]
>
>
> [mm]i^2=-1[/mm] stimmt das?
Ja, natürlich. Rechnest Du heute zum ersten mal in [mm] \IC [/mm] ?
> also:
> [mm]F(\vektor{1 \\ i})=\vektor{-3+i \\ 2}[/mm] So richtig?
Ja
>
> [mm]\vektor{-3+i \\ 2}=a_1*\vektor{1 \\ i}+b_1*\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
Ja
>
> [mm]\vektor{-3+i \\ 2}=a_2*\vektor{1 \\ i}+b_2*\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
??????
Hier meinst Du wohl
[mm]F(\vektor{-1 \\ 1}=a_2*\vektor{1 \\ i}+b_2*\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>
> da kann ich jeweils die a und b berechnen und die a und b
> in Spalten sind dann meine Darstellungsmatrix.
> Aber irgenwie tue ich mich schwer beim ausrechnen der a
> und b wegen dem i.
Aus
[mm]\vektor{-3+i \\ 2}=a_1*\vektor{1 \\ i}+b_1*\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
folgt
[mm] $-3+i=a_1-b_1$
[/mm]
und
[mm] $2=ia_1+b_1$
[/mm]
Addiere mal diese beiden Gleichungen.
>
>
> zu b) Die genaue Aufgabenstellung lautet:
> zeige, dass [mm]\IC^2[/mm] ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der Dimension 4 ist.
>
> Mein Problem ist hierbei 4 linear unabhängige anzugeben. 2
> habe ich ja schon, die Einheitsvektoren. Kann ich dann
> nicht entweder die Vektoren von A dazunehmen
Nein das wird nicht funktionieren. Warum ? Na, überleg mal: gibt es reelle Zahlen a,b,c, d mit
[mm] \vektor{i \\ 0}=a*\vektor{1\\ 0}+b*\vektor{0 \\ 1}+c*\vektor{1 \\ i}+d*\vektor{-1 \\ 1} [/mm] ??
> oder einfach
> [mm]\vektor{1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1}?[/mm]
Warum nimmst Du nicht 2 Tüten Gummibärchen ? Nein, Spaß beiseite: Deine 2. Wahl funktioniert aus dem gleichen Grund nicht wie Deine erste.
>
Probiers mal mit Hinzunahmen von [mm]\vektor{i \\ 0}, \vektor{0 \\ i}[/mm]
> Ich muss ja zeigen, dass diese 4 vektoren Linear
> unabhängig sind.
>
>
>
> zu c)
> Kann ich als Basis B nicht die Einheitsvektoren nehmen
> oder eben [mm]\vektor{1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1}?[/mm]
Oh Gott, natürlich nicht ! In c) wird doch eine Basis aus 4 Vektoren benötigt !
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
>
>
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Nein, bei c) meinte ich die Einheitsvektoren UND meine 2 angegebenen vektoren. Da habe ich mich falsch ausgedrückt, tut mir leid.
Kann ich also bei b) und c) die Vektoren von A nehmen und dazu noch [mm] \vektor{i \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ i}?
[/mm]
Ich muss leider nochmal weg, aber nachher rechne ich das nochmal vor, vielleicht kannst du ja dann nochmal drüber schauen?
Danke fürs erklären, das hat mir schon gut geholfen! (Wenn ich auch oft begriffsstutzig bin 
MfG
Mathegirl
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> Nein, bei c) meinte ich die Einheitsvektoren UND meine 2
> angegebenen vektoren. Da habe ich mich falsch ausgedrückt,
> tut mir leid.
>
> Kann ich also bei b) und c) die Vektoren von A nehmen und
> dazu noch [mm]\vektor{i \\
0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\
i}?[/mm]
Hallo,
diese Frage solltest Du Dir wirklich selbst beantworten können:
prüfe die lineare Unabhängigkeit und ob es ein Erzeugendensystem ist.
Die von Dir vorgeschlagene Basis - falls es denn eine ist - ist auf jeden Fall nicht die bequemste.
Bedenke: die Elemente von [mm] \IC^2 [/mm] haben doch die Gestalt [mm] \vektor{a+ib\\c+id} [/mm] mit [mm] a,b,c,d\in \IR.
[/mm]
Drängt sich nicht ein Erzeugendensystem sofort auf?
LG Angela
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Was meinst du damit, "ob sich ein Erzeugendensystem nicht direkt aufdrängt"?
Das sehe ich leider nicht :(
Mir würde nur [mm] \vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0} [/mm] noch einfallen...
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Di 13.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Was meinst du damit, "ob sich ein Erzeugendensystem nicht
> direkt aufdrängt"?
>
> Das sehe ich leider nicht :(
Du siehst es nicht, Du riechst es nicht, Du schmeckst es nicht, Du hörst es nicht, selbst wenn man Dich mit der Nase drauf stößt ! Gibts das ? Ich habs Dir doch gestern verraten:
[mm]\vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0}, \vektor{i \\ 0}, \vektor{0 \\ i}[/mm]
FRED
>
> Mir würde nur [mm]\vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0}[/mm] noch
> einfallen...
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 17.03.2012 | | Autor: | heinze |
In Aufgabenteil a) soll eine darstellungsmatrix ermittelt werden. Es gilt hierbei:
[mm] F\vektor{x \\ y}=\vektor{-2x+(1+i)y\\ x-iy}
[/mm]
[mm] F\vektor{1 \\ i}=\vektor{-3+i\\ 2}
[/mm]
[mm] F\vektor{-1 \\ 1}=\vektor{1+i\\ -1-i}
[/mm]
[mm] \vektor{-3+i\\ 2}=a*\vektor{1 \\ i}+b*\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{1+i\\ -1-i}=a*\vektor{1 \\ i}+b*\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Man erhält aus der ersten Abbildung das Gleichungssystem:
-3+i=a-b
1+i=ia+b
Wenn man das addiert: -1+i=a+ia
Hier hänge ich etwas beim Berechnen von a und b.
Das zweite Gleichungssystem:
1+i=a-b
-1-i=ia+b
Addiert: 0=a+ia
demnach muss a=0 gelten aber b=-1-i?
b) Ich soll für [mm] \IC^2 [/mm] Dimension 4 nachweisen:
Dafür habe ich 4 Vektoren deren lineare Unabhängigkeit ich zeigen muss
[mm] a*\vektor{1 \\ 0}+b*\vektor{0 \\ 1}+c*\vektor{i \\ 0}+d*\vektor{0 \\ i}=0
[/mm]
Daraus erhalte ich:
1*a+i*c=0 und
1*b+i*d=0
a=b=c=d=0 dann sind die Vektoren linear unabhängig.
[mm] \IC^2=(\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1},\vektor{i \\ 0},\vektor{0 \\ i})
[/mm]
[mm] dim\IC^2=4
[/mm]
d) Kann ich als Basis von B diese 4 Vektoren nehmen?
(Wählen sie eine Basis des [mm] \IC^2 [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Fassen sie F als Element von [mm] End_{\IR}(\IC^2) [/mm] auf und bestimmen sie die Darstellungsmatrix [mm] M_B^B(F) [/mm] von F bezüglich der Basis B.
LG
heinze
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> In Aufgabenteil a) soll eine darstellungsmatrix ermittelt
> werden. Es gilt hierbei:
>
> [mm]F\vektor{x \\
y}=\vektor{-2x+(1+i)y\\
x-iy}[/mm]
>
> [mm]F\vektor{1 \\
i}=\vektor{-3+i\\
2}[/mm]
>
> [mm]F\vektor{-1 \\
1}=\vektor{1+i\\
-1-i}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-3+i\\
2}=a*\vektor{1 \\
i}+b*\vektor{-1 \\
1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1+i\\
-1-i}=a*\vektor{1 \\
i}+b*\vektor{-1 \\
1}[/mm]
>
> Man erhält aus der ersten Abbildung das Gleichungssystem:
>
> -3+i=a-b
> 1+i=ia+b
>
> Wenn man das addiert: -1+i=a+ia
> Hier hänge ich etwas beim Berechnen von a und b.
Hallo,
es ist -1+i=a+ia
<==>
-1+i=(1+i)a.
Jetzt kannst Du gewiß nach a auflösen.
(Mach dann den Nenner rational.)
Nun berechne mit einer der Geleichungen b.
>
> Das zweite Gleichungssystem:
> 1+i=a-b
> -1-i=ia+b
>
> Addiert: 0=a+ia
> demnach muss a=0 gelten aber b=-1-i?
Ja, natürlich. Warum hast Du Zweifel?
Achtung: wir sind im Moment im [mm] \IC-VR \IC^2, [/mm] daher dürfen die Koeffizienten komplex sein.
Wenn es später um den [mm] \IR-VR \IC^2 [/mm] geht, dann nicht.
>
>
> b) Ich soll für [mm]\IC^2[/mm] Dimension 4 nachweisen:
> Dafür habe ich 4 Vektoren deren lineare Unabhängigkeit
> ich zeigen muss
>
> [mm]a*\vektor{1 \\
0}+b*\vektor{0 \\
1}+c*\vektor{i \\
0}+d*\vektor{0 \\
i}=0[/mm]
>
> Daraus erhalte ich:
> 1*a+i*c=0 und
> 1*b+i*d=0
> a=b=c=d=0 dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Du MUSST noch erwähnen, daß die 4 Vektoren "offensichtlich" den [mm] \IC^2 [/mm] erzeugen. (Ich hoffe, Dir ist klar, weshalb.)
>
> [mm]\IC^2=(\vektor{1 \\
0},\vektor{0 \\
1},\vektor{i \\
0},\vektor{0 \\
i})[/mm]
Nein. Der [mm] \IC^2 [/mm] besteht nicht nur aus vier Vektoren.
Du meinst ja auch was anderes: daß die vier nämlich eine basis des [mm] \IC^2 [/mm] sind. Dann schreib' das auch. Sonst gibt's Punktabzug.
>
> [mm]dim\IC^2=4[/mm]
Genau.
>
>
> d) Kann ich als Basis von B diese 4 Vektoren nehmen?
Natürlich!
LG Angela
>
> (Wählen sie eine Basis des [mm]\IC^2[/mm] als [mm]\IR-Vektorraum.[/mm]
> Fassen sie F als Element von [mm]End_{\IR}(\IC^2)[/mm] auf und
> bestimmen sie die Darstellungsmatrix [mm]M_B^B(F)[/mm] von F
> bezüglich der Basis B.
>
>
> LG
> heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 So 18.03.2012 | | Autor: | heinze |
> > -3+i=a-b
> > 1+i=ia+b
> >
> > Wenn man das addiert: -1+i=a+ia
> > Hier hänge ich etwas beim Berechnen von a und b.
Hie hänge ich nun noch immer:
[mm] a=\bruch{-1+i}{1+i}
[/mm]
b=-3i-1=b
> > 1+i=a-b
> > -1-i=ia+b
> > demnach muss a=0 gelten aber b=-1-i?
[mm] M_A^A(F)=\pmat{ \bruch{-1+i}{1+i} & 0 \\ -3i-1 & -1-i }
[/mm]
> > b) Ich soll für [mm]\IC^2[/mm] Dimension 4 nachweisen:
> Du MUSST noch erwähnen, daß die 4 Vektoren
> "offensichtlich" den [mm]\IC^2[/mm] erzeugen. (Ich hoffe, Dir ist
> klar, weshalb.)
Das ist mir noch nicht klar, beziehungsweise mir ist nicht klar wie man das anstellt.
Wie zeige ich, dass [mm] \IC^2 [/mm] ein [mm] \IR_Vektorraum [/mm] der Dimension 4 ist!!
> Nein. Der [mm]\IC^2[/mm] besteht nicht nur aus vier Vektoren.
> Du meinst ja auch was anderes: daß die vier nämlich eine
> basis des [mm]\IC^2[/mm] sind. Dann schreib' das auch. Sonst gibt's
> Punktabzug.
Jap, das meinte ich damit.
> > d) Kann ich als Basis von B diese 4 Vektoren nehmen?
> Natürlich!
[mm] f(\vektor{1 \\ 0})=\vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 1})=\vektor{1+i \\ -i}
[/mm]
[mm] f(\vektor{i \\ 0})=\vektor{-2i \\ i}
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ i})=\vektor{i-1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{-2 \\ 1}=a*\vektor{1 \\ 0}+b*\vektor{0 \\ 1}+c*\vektor{i \\ 0}+d*\vektor{0 \\ i}
[/mm]
[mm] \vektor{1+i \\ -i}=a*\vektor{1 \\ 0}+b*\vektor{0 \\ 1}+c*\vektor{i \\ 0}+d*\vektor{0 \\ i}
[/mm]
[mm] \vektor{-2i \\ i}=a*\vektor{1 \\ 0}+b*\vektor{0 \\ 1}+c*\vektor{i \\ 0}+d*\vektor{0 \\ i}
[/mm]
[mm] \vektor{i-1 \\ 1}=a*\vektor{1 \\ 0}+b*\vektor{0 \\ 1}+c*\vektor{i \\ 0}+d*\vektor{0 \\ i}
[/mm]
nun a,b,c und d berechnen:
Beim ersten Bildvektor:
-2=a+ic
1=b+id
Nun kommt hier das Problem auf, wie man geschickt die Parameter berechnet. Gibts dafür einen Trick?
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:36 So 18.03.2012 | | Autor: | davux |
Hallo heinze,
ich verstehe nicht genau, was du machst. Aufgabe ist doch eine Abbildungsmatrix bezüglich einer gewählten Basis B zu bilden. Du vermischt das anscheinend mit vorangegangen Aufgabenteilen. Das ist nicht mehr notwendig.
[mm] $F\in End_\IR(\IC^2)$, [/mm] d.h. [mm] $F:\IC^2\to\IC^2$.
[/mm]
Die Aufgabe habe ich selber noch nicht gemacht, aber ich nehme an, dass sich jedes Element bei deiner gewählten Basis [mm] $B=\{\pmat{1\\0},\pmat{i\\0},\pmat{0\\1},\pmat{0\\i}\}$ [/mm] derart darstellen lässt:
[mm] $\pmat{a+bi\\c+di}=a \pmat{1\\0}+b \pmat{i\\0}+c \pmat{0\\1}+d \pmat{0\\i}$.
[/mm]
Wie lassen sich die Bilder der Basiselemente von B darstellen?
Das der Bildraum dieselbe Basis hat, genauso:
[mm] $F(\pmat{a+bi\\c+di})=a \pmat{1\\0}+b \pmat{i\\0}+c \pmat{0\\1}+d \pmat{0\\i}$
[/mm]
Da haben wir doch ein Problem. Was sollen a, b, c und d bei dir eigentlich im Endeffekt sein? Wenn du meinst, das wären die Koeffizienten in der Matrix, dann kann das nicht hinhauen. Wie willst du nachher einen Vektor aus [mm] \IC^2, [/mm] also ein zwei-Tupel wie die Basiselemente, mit einer [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix multiplizieren?
An der Stelle habe ich nochmal von hinten angefangen zu überlegen und meine das, was reingesteckt wird, auch rauskommen sollte. Die Matrix sollte reelle Koeffizienten haben (?). Also böte sich die identische lineare Abbildung sich hier an. Demnach wäre folgende Abbildungsmatrixmatrix anstrebsam:
[mm] M_B^B (F)=\pmat{1&0\\0&1},
[/mm]
denn [mm] F(\pmat{a+bi\\c+di})=\pmat{1&0\\0&1}\pmat{a+bi\\c+di}=\pmat{a+bi\\c+di}.
[/mm]
Die Frage ist also, ob man vom gewählten Ansatz einen Weg zu dieser Abbildungsmatrix findet oder ob man den Ansatz in diesem Fall ebenfalls noch einmal überdenken sollte.
Es ist vielleicht nicht die Antwort, die du dir erhofft hast, aber immerhin sollten noch Denk- und Korrekturansätze enthalten sein.
Gruss,
Dave
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:39 So 18.03.2012 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
wir sind ja jetzt bei Aufg. b)/c).
> Aufgabe ist doch
> eine Abbildungsmatrix bezüglich einer gewählten Basis B
> zu bilden.
Ja. In Aufg. b) hat die Fragende inzwischen eine richtige Basis B des [mm] \IR-VRes \quad \IC^2 [/mm] gefunden.
>
> [mm]F\in End_\IR(\IC^2)[/mm], d.h. [mm]F:\IC^2\to\IC^2[/mm].
Ja. Und weil F eine Abbildung zwischen zwei vierdimensionalen VRen ist, ist die darstellende Matrix eine [mm] 4\times [/mm] 4-Matrix, auf welche sie doch recht zielstrebig hinsteuert durch das Bestimmen der Bilder der vier Basisvektoren und den Versuch, diese als Linearkombination ebendieser Vektoren zu schreiben.
>
> Die Aufgabe habe ich selber noch nicht gemacht, aber ich
> nehme an, dass sich jedes Element bei deiner gewählten
> Basis [mm]B=\{\pmat{1\\
0},\pmat{i\\
0},\pmat{0\\
1},\pmat{0\\
i}\}[/mm]
> derart darstellen lässt:
>
> [mm]\pmat{a+bi\\
c+di}=a \pmat{1\\
0}+b \pmat{i\\
0}+c \pmat{0\\
1}+d \pmat{0\\
i}[/mm].
Du bist bei b)?
Ja, so hat man "Erzeugendensystem" sofort gezeigt.
>
> Wie lassen sich die Bilder der Basiselemente von B
> darstellen?
> Das der Bildraum dieselbe Basis hat, genauso:
>
> [mm]F(\pmat{a+bi\\
c+di})=a \pmat{1\\
0}+b \pmat{i\\
0}+c \pmat{0\\
1}+d \pmat{0\\
i}[/mm]
Na, Moment! Die Koeffizienten werden hier nicht dieselben sein wie im Vektor [mm] \vektor{a+ib\\c+id}.
[/mm]
Aber natürlich gilt aufgrund der Linearität
[mm] $F(\pmat{a+bi\\c+di})=a F\pmat{1\\0}+b F\pmat{i\\0}+c F\pmat{0\\1}+d F\pmat{0\\i}$.
[/mm]
Vielleicht meintest Du das.
>
> Da haben wir doch ein Problem. Was sollen a, b, c und d bei
> dir eigentlich im Endeffekt sein? Wenn du meinst, das
> wären die Koeffizienten in der Matrix, dann kann das nicht
> hinhauen. Wie willst du nachher einen Vektor aus [mm]\IC^2,[/mm]
> also ein zwei-Tupel wie die Basiselemente, mit einer
> [mm]4\times 4[/mm]-Matrix multiplizieren?
Hier unterläuft Dir ein riesengroßer, wenn auch verständlicher, Denkfehler:
es wird die Darstellungsmatrix bzgl. B nicht mit einem Vektor des [mm] $\IC^2$ [/mm] multipliziert, sondern mit dem Koordinatenvektor bzgl. B des betreffenden Vektors, also mit einem Vektor des [mm] $\IR^4.$ [/mm]
> An der Stelle habe ich nochmal von hinten angefangen zu
> überlegen und meine das, was reingesteckt wird, auch
> rauskommen sollte. Die Matrix sollte reelle Koeffizienten
> haben (?).
Ja. Eine [mm] 4\times [/mm] 4-Matrix mit reellen Einträgen.
> Also böte sich die identische lineare Abbildung
> sich hier an. Demnach wäre folgende Abbildungsmatrixmatrix
> anstrebsam:
>
> [mm]M_B^B (F)=\pmat{1&0\\
0&1},[/mm]
Ich denke, daß das nun folgende Unfug ist, ist Dir inzwischen selbst aufgegangen.
LG Angela
>
> denn
> [mm]F(\pmat{a+bi\\
c+di})=\pmat{1&0\\
0&1}\pmat{a+bi\\
c+di}=\pmat{a+bi\\
c+di}.[/mm]
>
> Die Frage ist also, ob man vom gewählten Ansatz einen Weg
> zu dieser Abbildungsmatrix findet oder ob man den Ansatz in
> diesem Fall ebenfalls noch einmal überdenken sollte.
>
> Es ist vielleicht nicht die Antwort, die du dir erhofft
> hast, aber immerhin sollten noch Denk- und
> Korrekturansätze enthalten sein.
>
> Gruss,
> Dave
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 22:14 So 18.03.2012 | | Autor: | davux |
Hallo,
es ging mir in der Tat nur um den Aufgabenteil c). Nach deinen Ausführungen stimmen dann wohl doch meine anfänglichen Überlegungen, aber ich habe mich dadurch irritieren lassen, was im Endeffekt mit der Abbildungsmatrix anzufangen ist.
Aus den Überlegungen habe ich hier noch die Abbildungsmatrizen [mm] M^A_B [/mm] (F), worauf es beim Fragesteller fälschlicherweise hinaus lief, und [mm] M^B_B [/mm] (F) auf dem Papier stehen. Letztere wäre dann bei der günstigen Wahl der Basiselemente meiner Ansicht nach die Einheitsmatrix.
Das mit den Koordinatenvektoren fiel mir gedanklich nicht so greifbar auf, ist aber vollkommen einleuchtend. Darum geht es ja bei dem Zwischenschritt, dass man ebendiese bzgl. der Basis ermittelt.
Nun überlege ich, ob ich noch an anderen Stellen ins Stocken gekommen bin, was mich dahingeführt hat. Mich hat wohl nur irritiert, dass ich ein 2-Tupel aus [mm] \IC^2 [/mm] mit 4 Parametern a, b, c und d in ein 4-Tupel schreiben sollte.
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Hallo,
noch ein paar kleine Anmerkungen:
> Aus den Überlegungen habe ich hier noch die
> Abbildungsmatrizen [mm]M^A_B[/mm] (F), worauf es beim Fragesteller
> fälschlicherweise hinaus lief,
Ich kann mich zwar nicht erinnern, daß das Mathegirl so etwas angestrebt hatte, aber trotzdem kann man sich ja mal damit beschäftigen.
[mm] $M^A_B$ [/mm] (F) wäre dann die darstellende Matrix bzgl. A und B, wenn man F als Abbildung aus dem [mm] \IC-VR\quad \IC^2 [/mm] in den [mm] \IR-VR \quad \IC^2 [/mm] betrachtet, also als Abbildung aus einem zweidimensionlaen in einen vierdimensionalen Raum. Damit wäre [mm] $M^A_B$ [/mm] (F) eine [mm] 4\times [/mm] 2-Matrix.
> und [mm]M^B_B[/mm] (F) auf dem
> Papier stehen. Letztere wäre dann bei der günstigen Wahl
> der Basiselemente meiner Ansicht nach die Einheitsmatrix.
Wie kommst Du bloß darauf?
Die Abbildung F ist doch definiert wie in der Aufgabenstellung, und daß F nicht die Identität ist, sieht man ja nun sofort, oder?
Hm. Vielleicht hast Du gerade irgendwelche Basistransformationsmatrizen im Hinterkopf? [mm] M_B^B(id), [/mm] die Matrix für den wenig aufregenden Basisübergang von B nach B, wäre natürlich die Einheitsmatrix.
LG Angela
> Das mit den Koordinatenvektoren fiel mir gedanklich nicht
> so greifbar auf, ist aber vollkommen einleuchtend. Darum
> geht es ja bei dem Zwischenschritt, dass man ebendiese
> bzgl. der Basis ermittelt.
> Nun überlege ich, ob ich noch an anderen Stellen ins
> Stocken gekommen bin, was mich dahingeführt hat. Mich hat
> wohl nur irritiert, dass ich ein 2-Tupel aus [mm]\IC^2[/mm] mit 4
> Parametern a, b, c und d in ein 4-Tupel schreiben sollte.
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> > > -3+i=a-b
> > > 1+i=ia+b
> > >
> > > Wenn man das addiert: -1+i=a+ia
> > > Hier hänge ich etwas beim Berechnen von a und b.
>
> Hie hänge ich nun noch immer:
>
> [mm]a=\bruch{-1+i}{1+i}[/mm]
Hallo,
Ziel ist es ja, den Bruch [mm] $a=\bruch{-1+i}{1+i}$ [/mm] in der Form x+iy mit [mm] x,y\in \IR [/mm] zu schreiben.
(Tip: erweitern mit dem konjugiert-komplexen des Nenners.
Wie wär's eigentlich, wenn Du Dir mal den wikipedia-Artikel über komplexe Zahlen durchlesen oder alternativ die Nase in ein passendes Buch stecken würdest?)
> b=-3i-1=b
Wo kommt das jetzt her?
Ich kann nicht so schnell folgen.
Und ich bekomme etwas anders.
>
> > > 1+i=a-b
> > > -1-i=ia+b
> > > demnach muss a=0
> gelten aber b=-1-i?
Wieso nicht? Siehst Du ein Problem?
>
> [mm]M_A^A(F)=\pmat{ \bruch{-1+i}{1+i} & 0 \\
-3i-1 & -1-i }[/mm]
>
>
> > > b) Ich soll für [mm]\IC^2[/mm] Dimension 4 nachweisen:
>
>
> > Du MUSST noch erwähnen, daß die 4 Vektoren
> > "offensichtlich" den [mm]\IC^2[/mm] erzeugen. (Ich hoffe, Dir ist
> > klar, weshalb.)
> Das ist mir noch nicht klar, beziehungsweise mir ist nicht
> klar wie man das anstellt.
>
Nun, Du weißt doch, daß die Elemente des [mm] $\IC^2$ [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{a+ib\\c+id} [/mm] haben. Wie kannst Du das denn als Linearkombination der vier Vektoren schreiben?
Daß der [mm] $\IC^2$ [/mm] ein [mm] \IR-VR [/mm] der Dimension 4 ist, zeigst Du, indem Du eine Basis angibst - Du mußt bloß auch beweisen, daß es wirklich eine Basis ist, also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
(Alternativ: minimales Erzeugendensystem)
> [mm]f(\vektor{1 \\
0})=\vektor{-2 \\
1}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\
1})=\vektor{1+i \\
-i}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{i \\
0})=\vektor{-2i \\
i}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\
i})=\vektor{i-1 \\
1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-2 \\
1}=a*\vektor{1 \\
0}+b*\vektor{0 \\
1}+c*\vektor{i \\
0}+d*\vektor{0 \\
i}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1+i \\
-i}=a*\vektor{1 \\
0}+b*\vektor{0 \\
1}+c*\vektor{i \\
0}+d*\vektor{0 \\
i}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-2i \\
i}=a*\vektor{1 \\
0}+b*\vektor{0 \\
1}+c*\vektor{i \\
0}+d*\vektor{0 \\
i}[/mm]
>
> [mm]\vektor{i-1 \\
1}=a*\vektor{1 \\
0}+b*\vektor{0 \\
1}+c*\vektor{i \\
0}+d*\vektor{0 \\
i}[/mm]
>
> nun a,b,c und d berechnen:
>
> Beim ersten Bildvektor:
> -2=a+ic
> 1=b+id
>
> Nun kommt hier das Problem auf, wie man geschickt die
> Parameter berechnet. Gibts dafür einen Trick?
"Trick" will ich das wirklich nicht nennen:
es ist doch -2=-2+0*i und 1=1+0*i...
Bedenke, daß a,b,c,d reell sind.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 21.03.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Zu Aufgabenteil a) habe ich noch eine Frage:
Gleichung 1 lautet: -3+i=a-b
Gleichung 2 lautet: 1+i=ia+b
Addition von 1 zu 2 liefert:
-2+2i=ia+a
Umgestellt nach a:
(1+i)a=-2+2i
a= [mm] \bruch{-2+2i}{1+i}
[/mm]
Somit ergibt sich für a = 2i und für b = 3+2i
Nach der Lösung von heinze ist a = i.
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> Zu Aufgabenteil a) habe ich noch eine Frage:
>
> Gleichung 1 lautet: -3+i=a-b
> Gleichung 2 lautet: 1+i=ia+b
>
> Addition von 1 zu 2 liefert:
> -2+2i=ia+a
Hallo,
oh ja, da hast Du recht! Ob richtig addiert wurde, hatte ich mir echt nicht angeguckt.
> Umgestellt nach a:
> (1+i)a=-2+2i
> a= [mm]\bruch{-2+2i}{1+i}[/mm]
>
> Somit ergibt sich für a = 2i und für b = 3+2i
b=3+i, oder?
LG Angela
EDIT: Die Gleichungen stimmen ja gar nicht!
Mn hatte ja
$ [mm] F\vektor{1 \\ i}=\vektor{-3+i\\ 2} [/mm] $
$ [mm] F\vektor{-1 \\ 1}=\vektor{1+i\\ -1-i} [/mm] $,
will also [mm] a_i, b_i [/mm] bestimmen mit
$ [mm] \vektor{-3+i\\ 2}=a_1\cdot{}\vektor{1 \\ i}+b_1\cdot{}\vektor{-1 \\ 1} [/mm] $
$ [mm] \vektor{1+i\\ -1-i}=a_2\cdot{}\vektor{1 \\ i}+b_2\cdot{}\vektor{-1 \\ 1} [/mm] $
Aber das wirst Du schon hinkriegen!
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Ich habe mich nochmal an Aufgabenteil a) gesetzt um die Darstellungsmatrix mit den komplexen zahlen zu berechnen.
Es war ja:
[mm] F(\vektor{1 \\ i}=\vektor{-2x+(1+i)y \\ x-iy}=\vektor{-3+i \\ -2}
[/mm]
[mm] F(\vektor{-1 \\ 1}=\vektor{-2x+(1+i)y \\ x-iy}=\vektor{3+i \\ -1-i}
[/mm]
[mm] \vektor{-3+i \\ -2}=a*\vektor{1 \\ i}+b*\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
-3+i=a-b
-2=ai+b
a=-2+3i
b=-1+2i
[mm] \vektor{3+i \\ -1-i}=a*\vektor{1 \\ i}+b*\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
3+i=a-b
-1-i=ai+b
a=1-i
b=-2-2i
[mm] M_A^A(F)=\pmat{ -2-3i & -1+2i \\ 1-i & -2-2i } [/mm] ist dann die Darstellungsmatrix.
Habe ich hier richtig gerechnet ode rist mir irgend ein Fehler unterlaufen??
zu b) gezeigt werden soll, dass [mm] \IC^2 [/mm] ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist mit der Dimension 4.
Ich muss also zeigen (wie davux das schon getan hat), dass es sich um ein Erzeugendessystem handelt, wenn ich 4 Basen gefunden habe.
Basen sind also [mm] B={\vektor{1 \\ 0},\vektor{i \\ 0},\vektor{0 \\ 1},\vektor{0 \\ i}}
[/mm]
Da die kompelexen zahlen in der Form a+ib dargestellt werden kann ich nun zeigen, dass diese 4 Vektoren tatsächlich eine Basis bilden, also dass es sich tatsächlich um ein Erzeugendessystem handelt.
[mm] \vektor{a+bi \\ c+di}=a*\vektor{1 \\ 0}+b*\vektor{i \\ 0}+c*\vektor{0 \\ 1}+d*\vektor{0 \\ i}
[/mm]
Reicht das für den Aufgabenteil b) aus? oder muss ich noch irgend etwas machen, damit ich gezeigt habe, dass [mm] \IC^2 [/mm] ein [mm] \IR-vektorraum [/mm] der Dimension 4 ist?
c)
Meine Basis B ist ja [mm] B={\vektor{1 \\ 0},\vektor{i \\ 0},\vektor{0 \\ 1},\vektor{0 \\ i}}
[/mm]
Hier kann ich doch "ganz normal" wie bei A schon die Darstellungsmatrix ermitteln indem ich die definierte Abbildung nutze und dann die Bilder als Linearkombination darstelle oder?
MfG
Mathegirl
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> Ich habe mich nochmal an Aufgabenteil a) gesetzt um die
> Darstellungsmatrix mit den komplexen zahlen zu berechnen.
Hallo,
die Basis war [mm] A=(\vektor{1\\i}, \vektor{-1\\1}? [/mm] (Die Reihenfolge spielt eine Rolle.)
Ich hab' das nicht mehr im Kopf, gehe jetzt einfach mal davon aus.
>
> Es war ja:
> [mm]F(\vektor{1 \\
i}=\vektor{-2x+(1+i)y \\
x-iy}=\vektor{-3+i \\
-2}[/mm]
>
> [mm]F(\vektor{-1 \\
1}=\vektor{-2x+(1+i)y \\
x-iy}=\vektor{3+i \\
-1-i}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-3+i \\
-2}=a*\vektor{1 \\
i}+b*\vektor{-1 \\
1}[/mm]
>
> -3+i=a-b
> -2=ai+b
>
> a=-2+3i
> b=-1+2i
Beim Lösen des LGS hast Du Dich vertan. Rechne nochmal nach.
>
> [mm]\vektor{3+i \\
-1-i}=a*\vektor{1 \\
i}+b*\vektor{-1 \\
1}[/mm]
>
> 3+i=a-b
> -1-i=ai+b
>
> a=1-i
> b=-2-2i
Ja.
>
> [mm]M_A^A(F)=\pmat{ -2-3i & -1+2i \\
1-i & -2-2i }[/mm] ist dann die
> Darstellungsmatrix.
Ich kapiere jetzt nicht, wo die herkommt.
In den Spalten müssen doch die jeweils errechneten Koeffizienten stehen.
>
> Habe ich hier richtig gerechnet ode rist mir irgend ein
> Fehler unterlaufen??
>
>
> zu b) gezeigt werden soll, dass [mm]\IC^2[/mm] ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm]
> ist mit der Dimension 4.
>
> Ich muss also zeigen (wie davux das schon getan hat), dass
> es sich um ein Erzeugendessystem handelt, wenn ich 4 Basen
> gefunden habe.
Du mußt nicht 4 Basen finden, sondern vier Basisvektoren, die zusammen eine Basis bilden.
Du mußt unbedingt die Fachausdrücke richtig lernen und verwenden!
>
> [sB]asen sind[/s] Eine Basis ist
> also [mm]B={\vektor{1 \\
0},\vektor{i \\
0},\vektor{0 \\
1},\vektor{0 \\
i}}[/mm]
>
> Da die kompelexen zahlen in der Form a+ib dargestellt
> werden kann ich nun zeigen, dass diese 4 Vektoren
> tatsächlich eine Basis bilden, also dass es sich
> tatsächlich um ein Erzeugendessystem handelt.
>
> [mm]\vektor{a+bi \\
c+di}=a*\vektor{1 \\
0}+b*\vektor{i \\
0}+c*\vektor{0 \\
1}+d*\vektor{0 \\
i}[/mm]
>
> Reicht das für den Aufgabenteil b) aus?
Zusammen mit der linearen Unabhängigkeit, die Du einer dunklen Erinnerung nach zuvor schon irgendwo gezeigt hattest, ist nun "Basis" bewiesen.
> oder muss ich noch
> irgend etwas machen, damit ich gezeigt habe, dass [mm]\IC^2[/mm] ein
> [mm]\IR-vektorraum[/mm] der Dimension 4 ist?
Nein.
>
> c)
> Meine Basis B ist ja [mm]B={\vektor{1 \\
0},\vektor{i \\
0},\vektor{0 \\
1},\vektor{0 \\
i}}[/mm]
Schau an: hier drückst Du Dich richtig aus.
>
> Hier kann ich doch "ganz normal" wie bei A schon die
> Darstellungsmatrix ermitteln indem ich die definierte
> Abbildung nutze und dann die Bilder als Linearkombination
> darstelle oder?
Ja.
LG Angela
>
> MfG
> Mathegirl
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> > [mm]\vektor{-3+i \\
-2}=a*\vektor{1 \\
i}+b*\vektor{-1 \\
1}[/mm]
>
> >
> > -3+i=a-b
> > -2=ai+b
> >
> > a=-2+3i
> > b=-1+2i
>
> Beim Lösen des LGS hast Du Dich vertan. Rechne nochmal
> nach.
-3+i=a-b
-2=ai+b
-5+i=a(1+i)
[mm] a=\bruch{-5+i}{1+i}
[/mm]
und dann hab ich [mm] \bruch{-5+i}{1+i}=\bruch{-5+i}{1+i}*\bruch{1-i}{1-i}=\bruch{(-5+1)+(i+5i)}{(1+1)+(i-i)}=\bruch{-4+6i}{2}=-2+3i
[/mm]
Wo liegt hier mein Fehler?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Do 22.03.2012 | | Autor: | davux |
Ohne deine vorangegangen Berechnungen zu überprüfen.
[mm] a=\bruch{-5+i}{1+i}=\bruch{(-5+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\bruch{-5+5i+i-i^2}{1^2-i+i-i^2}=\bruch{6i-4}{2}=3i-2
[/mm]
Da habe ich also nichts einzuwenden. Berechne ich nun b:
i-3=a-b
i-3=3i-2-b
b=2i+1
Das sieht anders aus, als bei dir. Tippfehler? ;)
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$ [mm] F(\vektor{1 \\ i}=\vektor{-2x+(1+i)y \\ x-iy}=\vektor{-3+i \\ -2} [/mm] $ Dies ist falsch. Nach meiner Rechnung kommt hier:
[mm] \vektor{-3+i \\ 2} [/mm] heraus.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:31 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Dann müsste die Darstellungsmatrix lauten:
[mm] M_B^B(F)=\pmat{ -2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 }
[/mm]
So richtig??
MfG
Mathegirl
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> Dann müsste die Darstellungsmatrix lauten:
>
> [mm]M_B^B(F)=\pmat{ -2 & 0 & 1 & -1 \\
0 & -2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 }[/mm]
>
> So richtig??
Hallo,
bedenke, daß Deine Helfer Deine Aufgabeni.a. nicht so aufregend finden, daß sie sie über Tage hinweg im Kopf haben und daß das Hin- und Herklicken und Suchen, wo nun was steht, zeitraubend und sehr unlustig ist.
Schreib nochmal auf, was Du letztendlich als Basis B nimmst für diesen Aufgabenteil (die Reihenfolge der Vektoren ist nämlich sehr wichtig!), und welches die Funktionswerte der Basisvektoren waren, so daß man auf einen Blick vergleichen kann.
LG Angela
LG Angela
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 22.03.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Kann man Aufgabe b) eigentlich auch mit der Dimensionsformel für lineare Abbildungen lösen?
Wenn ich mich nicht vertan habe, dann handelt es sich nämlich um eine lineare Abbildung.
Mit der Abbildungsmatrix kann man doch dann einen beliebigen Vektor
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] gleich null setzen, und erhält somit den Kern von F.
Würde man so auch weiterkommen?
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> Kann man Aufgabe b) eigentlich auch mit der
> Dimensionsformel für lineare Abbildungen lösen?
> Wenn ich mich nicht vertan habe, dann handelt es sich
> nämlich um eine lineare Abbildung.
Hallo,
ja, um eine lineare Abbildung handelt es sich.
Aber wenn ich richtig verstehe, was Du planst, dann funktioniert es nicht:
In a) haben wir die lineare Abbildung F zwischen zwei zweidimensionalen Räumen.
Wenn Du Deine Idee umsetzen möchtest, mußt Du sie in b) dann aber als Abbildung zwischen zwei ?-dimensionalen Räumen betrachten.
Auch wenn der [mm] \IC-VR \quad\IC^2 [/mm] und der [mm] \IR-VR \quad\IC^2 [/mm] auf den ersten Blick sehr ähnlich aussehen, sind es grundverschiedene Räume, so daß es doch sehr schwer ist, die Dimensionen von Kern und Bild zu bestimmen, solange die des zugrundeliegenden VRes nicht klar ist.
> Mit der Abbildungsmatrix kann man doch dann einen
> beliebigen Vektor
> [mm]\vektor{x \\
y}[/mm] gleich null setzen, und erhält somit den
> Kern von F.
Ja, schon.
Aber davon kennst Du noch nicht dessen Dimension - als Unterraum des [mm] \IR-Vektorraumes \IC^2.
[/mm]
Auch wenn der von Dir ersonnene Weg in meinen Augen nicht geradewegs zum Ziel führt, kannst Du aber Deine Idee doch mal für Dich umsetzen.
Beim Selbstmachen und auch beim Feststellen, warum man an welcher Stelle weshalb scheitert, lernt man echt viel mehr, als wenn man - wie manch einer im Forum - vor jedem kleinem Schrittchen nachfragt, damit man ja keinen Fehler macht.
LG Angela
> Würde man so auch weiterkommen?
>
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