Darstellungsmatrix v. Bil.Form < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $ V:= [mm] \{p \in \mathbb{R}[x] | deg(p) \le 2\}$ [/mm] der R-Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in R und Grad [mm] $\le [/mm] 2$. Sei $s: V [mm] \times [/mm] V [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] die symmetrische Bilinearform definiert über die Vorschrift
$s(p,q) := p(-2) * q(-2).$
Finden Sie die Darstellungsmatrix von $s$ bezüglich der Basis [mm] $(1,x,x^2)$ [/mm] und führen Sie eine Hauptachsentransformation durch.
Geben Sie den Rang und den Ausartungsraum von $s$ an. |
Hi
also als Darstellungsmatrix habe ich:
$A:= [mm] \begin{pmatrix} 4 & 4x & 4x^2 \\ 4x & 4x^2 & 4x^3 \\ 4x^2 & 4x^3 & 4x^4 \end{pmatrix}$
[/mm]
Wenn ich nun Eigenwerte berrechnen will, dann muss ich ja
[mm] $P_A[/mm] [t] = det(A - [mm] t*E_3) [/mm] = 0$ berrechnen.
ist [mm] $E_3$ [/mm] in diesem Fall dann die Matrix
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x^2 \end{pmatrix}$ [/mm] ?
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:59 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V:= \{p \in \mathbb{R}[x] | deg(p) \le 2\}[/mm] der
> R-Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten in R und Grad
> [mm]\le 2[/mm]. Sei [mm]s: V \times V \rightarrow \mathbb{R}[/mm] die
> symmetrische Bilinearform definiert über die Vorschrift
>
> [mm]s(p,q) := p(-2) * q(-2).[/mm]
>
> Finden Sie die Darstellungsmatrix von [mm]s[/mm] bezüglich der
> Basis [mm](1,x,x^2)[/mm] und führen Sie eine
> Hauptachsentransformation durch.
> Geben Sie den Rang und den Ausartungsraum von [mm]s[/mm] an.
>
> Hi
>
> also als Darstellungsmatrix habe ich:
>
> [mm]A:= \begin{pmatrix} 4 & 4x & 4x^2 \\ 4x & 4x^2 & 4x^3 \\ 4x^2 & 4x^3 & 4x^4 \end{pmatrix}[/mm]
Das ist Unfug ! Gegeben ist die Basis $ [mm] \{1,x,x^2\} [/mm] $. Setzt man
[mm] p_0(x)=1, p_1(x)=x [/mm] und [mm] p_2(x)=x^2,
[/mm]
so ist die Abb.-Matrix gegeben durch
[mm] (s(p_i,p_j))
[/mm]
FRED
>
> Wenn ich nun Eigenwerte berrechnen will, dann muss ich ja
> [mm]$P_A[/mm] [t]= det(A - [mm]t*E_3)[/mm] = 0$ berrechnen.
>
> ist [mm]E_3[/mm] in diesem Fall dann die Matrix
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x^2 \end{pmatrix}[/mm] ?
>
>
>
> lg
|
|
|
| |
|
Also dann versteh ich es nicht, dann erhalte ich ja z.b.
[mm] $s(p_0, p_0) [/mm] = s(1,1) = 1*(-2) * 1*(-2) = 4$
[mm] $p(p_0, p_1) [/mm] = s(1,x) = 1*(-2) * x*(-2) = 4x$
...
oder was mache ich da falsch?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also dann versteh ich es nicht, dann erhalte ich ja z.b.
>
> [mm]s(p_0, p_0) = s(1,1) = 1*(-2) * 1*(-2) = 4[/mm]
Nein. Es ist [mm]s(p_0, p_0) = p_0(-2)*p_0(-2)=1[/mm]
> [mm]p(p_0, p_1) = s(1,x) = 1*(-2) * x*(-2) = 4x[/mm]
Nein. Es ist [mm]s(p_0, p_1) = p_0(-2)*p_1(-2)=-2[/mm]
FRED
>
> ...
>
> oder was mache ich da falsch?
>
>
> lg
|
|
|
| |
|
aah ok, also erhalte ich dann die Darstellungsmatrix:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & -8 \\ 4 & -8 & 16 \end{pmatrix}$
[/mm]
So sollte es passen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mo 01.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> aah ok, also erhalte ich dann die Darstellungsmatrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & -8 \\ 4 & -8 & 16 \end{pmatrix}[/mm]
>
> So sollte es passen?
Ja
FRED
|
|
|
|
