Darstellungsmöglichkkeitn pi < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Mo 16.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
ich habe mal eine Frage bezüglich der Darstellungsmöglichkeiten der Kreiszahl pi.
Und zwar ist es doch so, dass es verschiedene Darstellungsmöglichkeiten der Zahl pi gibt:
Zum Beispiel indem man den Umfang eines Kreises bestimmt, indem man den Kreisumfang durch regelmäßige n-Ecke annähert. Wobei die Näherung dabei umso besser ist, je größer das n gewählt wird. Oder es gibt ja das wallisische Produkt welches eine Wert für pi/2 angibt. Oder man kann pi als Kettenbruch angeben, und, und, und....
Es scheint ja also eine Menge Methoden zu geben pi darzustellen. Was ich mich dabei allerdings Frage ist folgendes:
Woher weiß man denn wirklich, dass all diese Ausdrücke wirklich auch exakt dieselbe Zahl pi darstellen. Denn wirklich ausrechnen, ob diese Ausdrücke auch tatsächlich an allen Dezimalstellen mit pi übereinstimmen kann man ja niemals.
Denn auch wenn man es für "zig"-viele Dezimalstellen testet, kann man sich doch niemals sicher sein dass nicht doch an der
"(zig+1)"-ten Stelle ein Unteschied auftritt?
Kann jemand dazu vielleicht etwas sagen?
Lieben Gruß,
Yonca!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo yonca,
Deine Überlegungen zur Kongruenz der verschiedenen Lösungsmöglichkeiten zur Bestimmung von Pi sind schon richtig. Pi ist eine irrationale Zahl, und je nachdem, welche Verfahren man ansetzt, kommt man zu leicht unterschiedlichen Zahlenfolgen. Ob dies schlimm ist oder nicht, das muss jeder selbst entscheiden. In der Praxis begnügt man sich meist mit 5 bis 10 Nachkommastellen, alles andere wäre übertrieben. In der Algebra arbeitet man häufig ja mit dem Symbol [mm] \pi [/mm] und damit lässt sich natürlich auch weiterarbeiten, wenn es um Vielfache oder Teile von Pi geht.
Wenn Du Dich für die verschiedenen Methoden interssierst, mit denen man Pi approximieren kann, so kann ich Dir ein kleines Buch darüber empfehlen:
"Pi- die Story" von Jean-Paul Delahaye.
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo,
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> ich habe mal eine Frage bezüglich der
> Darstellungsmöglichkeiten der Kreiszahl pi.
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> Und zwar ist es doch so, dass es verschiedene
> Darstellungsmöglichkeiten der Zahl pi gibt:
>
> Zum Beispiel indem man den Umfang eines Kreises bestimmt,
> indem man den Kreisumfang durch regelmäßige n-Ecke
> annähert. Wobei die Näherung dabei umso besser ist, je
> größer das n gewählt wird. Oder es gibt ja das
> wallisische Produkt welches eine Wert für pi/2 angibt.
> Oder man kann pi als Kettenbruch angeben, und, und,
> und....
> Es scheint ja also eine Menge Methoden zu geben pi
> darzustellen. Was ich mich dabei allerdings Frage ist
> folgendes:
>
> Woher weiß man denn wirklich, dass all diese Ausdrücke
> wirklich auch exakt dieselbe Zahl pi darstellen. Denn
> wirklich ausrechnen, ob diese Ausdrücke auch tatsächlich
> an allen Dezimalstellen mit pi übereinstimmen kann man ja
> niemals.
> Denn auch wenn man es für "zig"-viele Dezimalstellen
> testet, kann man sich doch niemals sicher sein dass nicht
> doch an der
> "(zig+1)"-ten Stelle ein Unteschied auftritt?
>
> Kann jemand dazu vielleicht etwas sagen?
>
> Lieben Gruß,
> Yonca!
Hallo Yonca,
bei den "unterschiedlichen Methoden", Pi darzu-
stellen, muss man zwei Kategorien unterscheiden:
Einerseits simple Näherungswerte, wie etwa
[mm] \pi\approx3
[/mm]
[mm] \pi\approx\sqrt{10}
[/mm]
[mm] \pi\approx\frac{22}{7}
[/mm]
[mm] \pi\approx\frac{355}{113}
[/mm]
die offensichtlich einfach unterschiedlich genaue
Approximationen darstellen, und andererseits Dar-
stellungen als Grenzwerte von Zahlenfolgen oder
Reihen, welche [mm] \pi [/mm] (als Grenzwert) exakt wiedergeben.
Beispiele dazu:
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{1} [/mm] - [mm] \frac{1}{3} [/mm] + [mm] \frac{1}{5} [/mm] - [mm] \frac{1}{7} [/mm] + [mm] \frac{1}{9} [/mm] - [mm] \dots [/mm] = [mm] \frac{\pi}{4}$
[/mm]
[mm] $\frac21 \cdot \frac23 \cdot \frac43 \cdot \frac45 \cdot \frac65 \cdot \frac67 \cdot \frac87 \cdot \frac89 \cdot \dots [/mm] = [mm] \frac{\pi}2$
[/mm]
[mm] $\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots= \frac{\pi^2}6$
[/mm]
[mm] $\frac{\sqrt{8}}{9801} \cdot\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4 n)! \cdot (1103+26390 n)}{(n!)^{4} \cdot 396^{4 n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}$ [/mm]
Der Nachweis, dass unterschiedliche Reihen tatsächlich
exakt denselben Grenzwert [mm] \pi [/mm] haben, erfolgt dabei
nicht etwa durch das Ausrechnen und Vergleichen
vieler Dezimalstellen, sondern durch Mittel der höheren
Mathematik. Solche Beweise können unter Umständen
kompliziert sein, aber sie garantieren (falls sie denn
überhaupt richtig sind) wirklich exakte Übereinstim-
mung und nicht nur ein schwammiges Ungefähr.
Eine "Kunst" der Mathematik ist eben genau die,
dass man mit ihren Mitteln logisch streng beweisen
kann, dass verschiedene Zahlenfolgen den gleichen
Grenzwert haben. Beispiele für solche Nachweise
zu liefern, würde hier allerdings zu weit führen.
Die Bemerkung
"Pi ist eine irrationale Zahl, und je nachdem, welche
Verfahren man ansetzt, kommt man zu leicht unter-
schiedlichen Zahlenfolgen. Ob dies schlimm ist oder
nicht, das muss jeder selbst entscheiden."
von Infinit in seiner Antwort "Man hofft" ist nach
meiner Ansicht wenigstens teilweise irreführend.
Sie trifft natürlich nur auf Approximationen und
nicht auf exakte Reihendarstellungen von [mm] \pi [/mm] zu.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mo 16.05.2011 | | Autor: | yonca |
Vielen Dank erstmal für die Antworten.
Dann weiß ich jetzt erstmal soweit bescheid!
Gruß, Yonca!
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