Darstellungssatz von Riesz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Theorem
Let f be a bounded linear funktional in a Hilbert space X over [mm] \IK. [/mm] Then there exists a unique y [mm] \in [/mm] X such that, for all x [mm] \in [/mm] X, f(x)=<x,y> (...)
Proof:
If f=0 take y=0. Suppose then that f [mm] \not= [/mm] and consider kerf, which is a colsed space by this proposition (http://nfist.pt/~edgarc/wiki/index.php/Kernel_of_bounded_linear_operator). By the Hilbert space decomposition theorem we then have X=kerf [mm] \oplus [/mm] (kerf)° [° orthogonales Komplement] and, since kerf [mm] \not= [/mm] X, (kerf)° has an element z such that ||z||=1. Note now that, for all x [mm] \in [/mm] X
f(x)z-f(z)x [mm] \in [/mm] ker f
(...) |
Hallo, ich versuche gerade den Beweis des "Darstellungssatzes von Riesz" in der Version: http://nfist.pt/~edgarc/wiki/index.php/Riesz_representation_theorem nachzuvollziehen. Dabei habe ich gleich zu Beginn des Beweises eine Unklarheit. Den Rest habe ich dann verstanden, mal abgesehen davon, dass kerf eine abgeschlossene Menge ist, aber das habe ich mir auch noch nicht genau angeschaut.
Und vielleicht noch ein technische Frage ganz zu Beginn: Wie kann ich denn das orthogonale Komplement richtig darstellen... Jetzt benutzt ich einfach °
Also: Mir ist nicht klar, warum f(x)z-f(z)x [mm] \in [/mm] ker f gelten muss.
Es müsste ja gelten f(f(x)z-f(z)x)=0.
Ich habe versucht das über eine Fallunterscheidung zu lösen:
1) x [mm] \in [/mm] ker(f):
dann gilt f(f(x)z-f(z)x)=f(0*z-f(z)*x)=f(f(z)x)=f(z)*f(x)=f(z)*0=0
2) x [mm] \not\in [/mm] ker(f), also x [mm] \in [/mm] (ker(f))°
aber hier bin ich nicht weiter gekommen.
Kann mir jemand helfen. Das wäre super.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Sa 24.04.2010 | | Autor: | SEcki |
>Den Rest habe ich dann
> verstanden, mal abgesehen davon, dass kerf eine
> abgeschlossene Menge ist, aber das habe ich mir auch noch
> nicht genau angeschaut.
Der KErn jeder stetigen, linearen Abbildung ist abgeschlossen. Das ist ganz leicht, wirklich.
> Und vielleicht noch ein technische Frage ganz zu Beginn:
> Wie kann ich denn das orthogonale Komplement richtig
> darstellen... Jetzt benutzt ich einfach °
[m]\perp[/m]
> Also: Mir ist nicht klar, warum f(x)z-f(z)x [mm]\in[/mm] ker f
> gelten muss.
> Es müsste ja gelten f(f(x)z-f(z)x)=0.
Ja
> Ich habe versucht das über eine Fallunterscheidung zu
> lösen:
Unsinn f(x),f(z) sind Skalare, f ist linear - ziehe also die Sachen raus!
SEcki
|
|
|
| |
|
ja, klar... gut, da hätte ich auch selbst drauf kommen können. ;)
Aber vielen Dank für den Schubs in die richtige Richtung.
|
|
|
|
