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| Aufgabe | Das archimedische Prinzip:
Zu jeder festen positiven Zahl h und jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutige ganze Zahl k, so dass (k-1)h [mm] \le [/mm] x < kh. |
heisst das nun lediglich, dass eine reelle Zahl zwischen zwei ganzen Zahlen steht?
also ich wähle h=1, dann finde ich für x=0.25
k= 1 sowie k-1=0.
genauso finde ich diese für x=0.75 oder x=0.33.
Das scheint mir etwas zu banal jetzt. Verstehe ich das so richtig?
Herzlich
Alfred Gäbeli
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> Das archimedische Prinzip:
> Zu jeder festen positiven Zahl h und jeder reellen Zahl x
> gibt es eine eindeutige ganze Zahl k, so dass (k-1)h [mm]\le[/mm] x
> < kh.
> heisst das nun lediglich, dass eine reelle Zahl zwischen
> zwei ganzen Zahlen steht?
Hallo,
nein, die Aussage, daß jede reelle Zahl zwischen zwei eindeutig bestimmten benachbarten ganzen Zahlen steht, ist eine Folgerung aus der ersten.
Mal ein Beipiel:
nehmen wir [mm] x=\wurzel{2}, h=\bruch{1}{1000}.
[/mm]
Dann wissen wir, daß es ein eindeutig bestimmtes k [mm] \in \IZ [/mm] gibt mit
[mm] \bruch{k-1}{1000}\le\wurzel{2}\le\bruch{k}{1000}.
[/mm]
Es ist übrigens nicht nett von Dir, daß Du verschweigst, daß Du auch in einem anderen Forum gepostet hast. Beachte in Zukunft bitte die Forenregeln und mach so etwas nicht mehr ohne Hinweis.
LG Angela
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Vielen Dank für dein Beispiel! Ich werde mir das zu Gemüte führen und noch mit ein Paar anderen Beispielen durchdenken. Fragen tauchen sicherlich noch auf.
Bzgl. Crossposting.
Es tut mir wirklich leid, dass ich gegen die Forumregeln verstossen habe! Zu meiner Verteidigung aber folgendes. Mein Studium beginnt erst im September. Zur Vorbereitung habe ich mir das Lehrbuch zur Vorlesung gekauft. Ich habe geduldig 4Tage - ohne Erfolg - auf eine Antwort im anderen Forum gewartet. Leider gibt es momentan niemanden sonst den ich diesbzgl. fragen könnte. Würde ich bereits studieren, so hätte ich schon lange einen Tutor um rat gefragt.
Trotzdem mein Fehler.
Nochmals vielen Dank für deine Antwort!
Einen schönen Abend!
Alfred Gäbeli
edit: Den link hätte ich fast vergessen.
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=494732&hilight=das+archimedische+prinzip
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für dein Beispiel! Ich werde mir das zu
> Gemüte führen und noch mit ein Paar anderen Beispielen
> durchdenken. Fragen tauchen sicherlich noch auf.
>
> Bzgl. Crossposting.
> Es tut mir wirklich leid, dass ich gegen die Forumregeln
> verstossen habe! Zu meiner Verteidigung aber folgendes.
> Mein Studium beginnt erst im September. Zur Vorbereitung
> habe ich mir das Lehrbuch zur Vorlesung gekauft. Ich habe
> geduldig 4Tage - ohne Erfolg - auf eine Antwort im anderen
> Forum gewartet. Leider gibt es momentan niemanden sonst den
> ich diesbzgl. fragen könnte. Würde ich bereits studieren,
> so hätte ich schon lange einen Tutor um rat gefragt.
die Verteidigung hat leider das Thema verfehlt. Denn: Was hat Dein Studium mit dem Crossposting zu tun? Oder, dass Du einen Tutor sonst um Rat gefragt hättest?
Der Sinn der Angabe von Crosspostings ist es, dass Du Antwortgebern eventuell unnötige Arbeit ersparen kannst - weil die sich dann auch da informieren können, was Dir bereits mitgeteilt wurde und vielleicht auch genauer sehen, wo's hakt...
> Trotzdem mein Fehler.
Dennoch sei Dir verziehen.  (Ich geh' davon aus, dass Du in Zukunft den Link mitangeben wirst - und hoffe auch, dass Du, trotzdem Du später mal einen Tutor direkt ansprechen kannst - und das auch sollst - dennoch den MR ab und an besuchen wirst. Sei es zum selber fragen, sei es, um anderen zu helfen!)
Gruß,
Marcel
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Also ich hab mich jetzt ziemlich gründlich, glaube ich jedenfalls, damit beschäftigt. Ich habe mit Wolframalpha einige Beispiele durchgerechnet.
Was ist nun aber der Nutzen dieses Wissens? Wie bringt mich das weiter?
Als ich in der Grundschule Pythagoras gelernt habe, wusste ich, dass wenn ich zwei seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kenne, die dritte berechnen kann.
Liegt es vielleicht daran, dass ich den Beweis des Satzes nicht verstehe?
Herzlich
Alfred Gäbeli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 21.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich hab mich jetzt ziemlich gründlich, glaube ich
> jedenfalls, damit beschäftigt. Ich habe mit Wolframalpha
> einige Beispiele durchgerechnet.
> Was ist nun aber der Nutzen dieses Wissens? Wie bringt
> mich das weiter?
> Als ich in der Grundschule Pythagoras gelernt habe, wusste
> ich, dass wenn ich zwei seiten eines rechtwinkligen
> Dreiecks kenne, die dritte berechnen kann.
Grundschule? Da war ich froh, wenn wir ein wenig mehr als die Grundrechenarten konnten. Auf was für einer Grundschule warst Du? Eine für hochbegabte? Oder wie habt ihr Wurzelziehen gelernt?
> Liegt es vielleicht daran, dass ich den Beweis des Satzes
> nicht verstehe?
Du verstehst vielleicht eher nicht den Nutzen. Zeige mir doch mal, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen: Also zeige: In einer jeden, noch so kleinen, [mm] $\epsilon$-Umgebung ($\epsilon [/mm] > 0$) um eine reelle Zahl findet man eine rationale Zahl. (Kurz sagt man: [mm] $\IQ$ [/mm] liegt dicht in [mm] $\IR\,.$)
[/mm]
(Natürlich ist diese Aussage nur dann interessant, wenn die reelle Zahl irrational ist!)
Sowas bringt Dir schon alleine in der Informatik viel, denn dann weißt Du: Auch eine jede irrationale Zahl kann ich mit (einer zur gewünschten Approximation passenden) rationalen Zahl beliebig gut approximieren. ( Natürlich gibt es auch im Computer weitere Einschränkungen bzgl. der Rechengenauigkeit, aber die lassen wir mal alle außer Acht - vor allem, da ich mich da eh nur sporadisch auskenne! )
Gruß,
Marcel
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