Das Bertrandsche Postulat < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Farouk |
Ich habe am Wochenende den Beweis zum Bertrandschen Postulat (Für jedes n>=1 gibt es eine Primzahl p mit n<p<=2n) von Erdös durchgearbeitet und dabei einges nicht verstanden. Vielleicht kann mir jemand helfen?
1. Als erstes mal habe ich schon die bemerkung zum Beweis nicht verstanden. die heiss. Wir werden die Grösse des binominalkoeffizienten
[mm] \vektor{2n\\n} [/mm] so genau abschätzen dass wir zeigen können dass der Binominalkoeffizien zu klein ausfällen würde wenn er keine Primfaktoren im Bereich n<p=<2n hätte. (Wie kann er zu "klein" ausfallen, warum gerade dieser Binominalkoeffizient, ich meine, jeder Binominalkoeffizient ist doch einfach eine Zahl??)
2. Ein Rechenschritt bei der Abschätzung des Binominalkoeffizienten
Es gilt [mm] \bruch{4^n}{2n}=< \vektor{2n\\n} [/mm] =< [mm] \produkt_{p<=\wurzel{2n}} [/mm] 2n * [mm] \produkt_{\wurzel{2n}
(soweit klar aber jetzt zum nächsten schritt)
und damit weil es nicht mehr als [mm] \wurzel{2n} [/mm] Primzahlen p<= [mm] \Wurzel{2n} [/mm] gibt (???)
[mm] 4^n [/mm] <= [mm] (2n)^{1+\wurzel{2n}} [/mm] * ....(dann kommen die letzten beiden Produkte nochmal)
Wie kommt man vom ersten Produkt auf 2n^.....?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Farouk!
> Wir werden die Grösse des binominalkoeffizienten
> $ [mm] \vektor{2n\\n} [/mm] $ so genau abschätzen dass wir zeigen können dass der Binominalkoeffizien zu klein ausfällen würde wenn er keine Primfaktoren im Bereich n<p=<2n hätte.
Der Trick ist der Folgende: es wird versucht, den besagten Binomialkoeffizient durch einige geschickte Überlegungen durch einen größeren- und durch einen kleineren Ausdruck abzuschätzen. In diesem Beweis findet sich auf der rechten Seite das Produkt [mm] $\produkt_{n\leq p\leq 2n} [/mm] p$, welches nach dem Betrandschen Postulat nicht leer sein kann. Folglich nimmt man an, es wäre leer, hätte also den Wert 1, und zeigt, dass dann die anfängliche Abschätzung falsch wird - Widerspruch. Der Binomialkoeffizient ist also zu klein, da sogar die Abschätzung nach oben kleiner als die Abschätzung nach unten wird, wenn das Produkt über den Primzahlen zwischen $n$ und $2n$ leer ist. Verstehst du, wie es gemeint ist?
> 2. Ein Rechenschritt bei der Abschätzung des Binominalkoeffizienten
> Es gilt $ [mm] \bruch{4^n}{2n}=< \vektor{2n\\n} [/mm] $ =< $ [mm] \produkt_{p<=\wurzel{2n}} [/mm] $ 2n * $ [mm] \produkt_{\wurzel{2n}
> (soweit klar aber jetzt zum nächsten schritt)
> und damit weil es nicht mehr als $ [mm] \wurzel{2n} [/mm] $ Primzahlen p<= $ [mm] \Wurzel{2n} [/mm] $ gibt (???)
> $ [mm] 4^n [/mm] $ <= $ [mm] (2n)^{1+\wurzel{2n}} [/mm] $ * ....(dann kommen die letzten beiden Produkte nochmal)
In diesem Schritt wird das Produkt [mm] $\prod_{p\leq \sqrt{2n}} [/mm] 2n$ durch [mm] $(2n)^{\sqrt{2n}}$ [/mm] nach oben abgeschätzt. Dies gründet auf der sehr groben Abschätzung, dass es zwischen $1$ und $n$ höchstens $n$ Primzahlen geben kann. Den noch fehlende Summand $1$ erhält man durch Multiplikation mit $2n$; die linke Seite geht dann in [mm] $4^n$ [/mm] über.
Mh, ist es nun klarer?
Liebe Grüße,
Hanno
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