Das Jordansche Volumen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sind A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] und B [mm] \subseteq \IR^m [/mm] J-messbar, so ist A [mm] \times [/mm] B J-messbar mit vol(A [mm] \times [/mm] B ) = vol(A)*vol(B) |
Hallo,
bei der Klausurvorbereitung hänge ich an dieser evtl. sogar leichten Aufgabe. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Wir haben Jordan-messbar folgendermaßen definiert:
Eine beschraenkte Teilmenge A [mm] \subseteq R^n [/mm] heißt Jordan-messbar, falls
[mm] \overline{vol(A)}=\underline{vol(A)} [/mm] =: vol(A) Jordan-Volumen von A.
Es würde schon reichen wenn mir jemand zeigen könnte, dass das Kreuzprodukt J-messbar ist weil ich dann mit Fubini argumentieren könnte. Noch schöner fände ichs aber, wenn in dem Beweis alles gezeigt würde, da wir Fubini damals noch nciht hatten.
Mein Ansatz dazu ist folgendermaßen:
Seien A [mm] \subseteq W_{1}, [/mm] B [mm] \subseteq W_{2} [/mm] Würfel und [mm] P^1 =(P_{1}, [/mm] ... , [mm] P_{k}), P^2 =(P_{k+1}, [/mm] ... , [mm] P_{n}) [/mm] Partitionen von [mm] W_{1} [/mm] bzw. [mm] W_{2}. [/mm] Dann ist P = [mm] (P_{1}, [/mm] ... , [mm] P_{n}) [/mm] eine Partition von W = [mm] W_{1} \times W_{2}.
[/mm]
Außerdem wissen wir [mm] \overline{A}\times\overline{B} [/mm] = [mm] \overline{A \times B}
[/mm]
Seien [mm] W_{a_{1},..., a_{n}} [/mm] kleine Würfel von W und [mm] W^{1}_{a_{1},..., a_{n}} [/mm] bzw [mm] W^{2}_{a_{1},..., a_{n}} [/mm] kleine Würfel von [mm] W^1 [/mm] bzw. [mm] W^2
[/mm]
Dann Erhalten wir
[mm] \overline{S}(A\timesB,P) [/mm] = [mm] \summe_{W_{a_{1},..., a_{n}} \cap \overline{A \times B} \not= \emptyset}^{}vol(W_{a_{1},..., a_{n}}) =\summe_{W_{a_{1},..., a_{n}} \cap \overline{A } \times \overline{B} \not= \emptyset}^{}vol(W_{a_{1},..., a_{n}}) [/mm] = ?????????? = [mm] \summe_{W^1_{a_{1},..., a_{n}} \cap \overline{A} \not= \emptyset}^{}vol(W^1_{a_{1},..., a_{n}}) [/mm] * [mm] \summe_{W^2_{a_{1},..., a_{n}} \cap \overline{B} \not= \emptyset}^{}vol(W^2_{a_{1},..., a_{n}})
[/mm]
Kann jemand die Stelle an der die Fragezeichen sind genauer ausführen falls das überhaupt gilt. Oder beweist man die Aussage ganz anders.
Ich bin echt froh wenn ihr mir helft und weiß das sehr zu schätzen. Vielen dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 02.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Ich bin immernoch an einer Antwort interressiert ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 06.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
