Das Lemma von Bezout < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Sa 30.04.2011 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Sei R:= [mm] \IZ [/mm] und I:= [mm] 4\IZ +6\IZ \subset [/mm] R. I:= ist ein Ideal in [mm] \IZ
[/mm]
Zeigen Sie: Es gilt I= [mm] 2\IZ [/mm] |
Ich habe das mal versucht, vielleicht kann jemand drüber gucken ob auch nichts fehlt:
Zu Zeigen I= [mm] 2\IZ [/mm] bzw. [mm] 4\IZ +6\IZ =2\IZ
[/mm]
Beweis über das Lemma von Bezout:
Das Lemma besagt: ggT( a,b) = s*a+t*b mit [mm] s,t\in \IZ
[/mm]
Nun der Beweis:
Es existieren Zaheln mit x= s*a+t*b, mit s,t [mm] \in \IZ, [/mm] die positiv und ungleich = sind. Sei d= s*a+ b*t die kleinste Zahl, dann gilt:
Da ggt (a,b) soqohl a, als auch b teilt, teilt ggT(A,b) auch d. Ist d= 1 , ist ggT (a,b) = 1
Für d>1 muss gezeigt werden, dass d auch der Teiler von a und b ist..
hier habe ich noch Probleme..
Dies besagt das gleiche wie:dass ggT (a,b) [mm] \IZ [/mm] in [mm] a\IZ +b\IZ [/mm] enthalten ist, da sich jedes p*ggT (a.b) darstellen lässt als k*as+k*bt.
Dass [mm] a\IZ +b\IZ [/mm] in ggT (a,b) [mm] \IZ [/mm] enthalten ist, zeigt sich durch:
m*a +n*b = ( m* [mm] \bruch{a}{ggT(a,b)} [/mm] + n* [mm] \bruch{b}{ggT (a,b)} [/mm] ) * ggT (a,b)
Und somit gilt [mm] 4\IZ +6\IZ =2\IZ
[/mm]
kann man das so machen? und wie kann ich zegen, dass d auch b und a teilt?
Danke im voraus
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Ich weiß nicht warum man da so viel drum herum reden muss.
[mm] $\IZ$ [/mm] ist ein Hauptidealring. Und damit gibt es eben diesen einen Erzeuger für jedes Ideal.
ggT(4,6)=2. Fertig.
[mm] $(4)=\{4*r|r\in \IZ\}$
[/mm]
[mm] $(6)=\{6*r|r\in \IZ\}$
[/mm]
Allgemein: R ein Hauptidealring. Jedes Ideal in R [mm] $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ [/mm] wird von einem Element d erzeugt, d.h. [mm] $(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(d)$.
[/mm]
Gelte [mm] $(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(d)\Rightarrow (x_i)\in [/mm] (d)$ und somit [mm] $d|x_i\forall [/mm] i$.
Und wegen [mm] $d\in (x_1,x_2,\ldots,x_n)$ [/mm] gibt es die Gleichung [mm] $d=\sum_{i=1}^n a_ix_i$ [/mm] für gewisse [mm] $a_i\in [/mm] R$. Damit ist jeder gemeinsam teiler der [mm] $x_i$ [/mm] auch ein teiler von d, d.h. [mm] $d=ggT(x_1,x_2,\ldots,x_n)$
[/mm]
> Sei R:= und I:= R. I:= ist ein Ideal
> in
>
> Zeigen Sie: Es gilt I=
> Ich habe das mal versucht, vielleicht kann jemand drüber
> gucken ob auch nichts fehlt:
>
> Zu Zeigen I= bzw.
>
> Beweis über das Lemma von Bezout:
>
> Das Lemma besagt: ggT( a,b) = s*a+t*b mit
>
> Nun der Beweis:
>
> Es existieren Zaheln mit x= s*a+t*b, mit s,t die
> positiv und ungleich = sind. Sei d= s*a+ b*t die kleinste
> Zahl, dann gilt:
> Da ggt (a,b) soqohl a, als auch b teilt, teilt ggT(A,b)
> auch d. Ist d= 1 , ist ggT (a,b) = 1
> Für d>1 muss gezeigt werden, dass d auch der Teiler von
> a und b ist..
Wie kann denn d ein Teiler von a und b sein, wenn d=sa+bt gilt?
>
> hier habe ich noch Probleme..
>
> Dies besagt das gleiche wie:dass ggT (a,b) in
> enthalten ist, da sich jedes p*ggT (a.b) darstellen lässt
> als k*as+k*bt.
> Dass in ggT (a,b) enthalten ist, zeigt sich
> durch:
>
> m*a +n*b = ( m* + n*
> ) * ggT (a,b)
>
> Und somit gilt
>
>
> kann man das so machen? und wie kann ich zegen, dass d auch
> b und a teilt?
Es ist doch d>a. Da ist nichts mit d teilt a!
Du verwechselst d = .... mit d=ggT. Dann wird es ähnlich.
>
> Danke im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Sa 30.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei R:= [mm]\IZ[/mm] und I:= [mm]4\IZ +6\IZ \subset[/mm] R. I:= ist ein Ideal
> in [mm]\IZ[/mm]
Am einfachsten zeigst du:
a) $2$ liegt in $4 [mm] \IZ [/mm] + 6 [mm] \IZ$: [/mm] gib einfach eine Linearkombination von $4$ und $6$ mit ganzzahligen Koeffizienten an, die den Wert 2 hat;
b) $4$ und $6$ liegen in $2 [mm] \IZ$.
[/mm]
Daraus folgt $2 [mm] \IZ \subseteq [/mm] 4 [mm] \IZ [/mm] + 6 [mm] \IZ$ [/mm] und $4 [mm] \IZ [/mm] + 6 [mm] \IZ \subseteq [/mm] 2 [mm] \IZ$, [/mm] womit die Behauptung folgt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 01.05.2011 | | Autor: | julmarie |
ich verstehe nicht so recht, wie ich mithilfe einer Linearkombination zeigen kann, dass 2 in [mm] 4\IZ [/mm] + [mm] 6\IZ [/mm] liegt..
magst du mir das vielleoicht einmal erklären für den Hinweg?
wenn ich jetzt z.B. 2= 4x +6y
0 =8x + 12y -2
wie kann ich das denn jetzt zeigen?
Danke im voraus..
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> ich verstehe nicht so recht, wie ich mithilfe einer
> Linearkombination zeigen kann, dass 2 in [mm]4\IZ[/mm] + [mm]6\IZ[/mm]
> liegt..
Du sollst ja ganz konkret zeigen, dass [mm]2\IZ = 4\IZ + 6\IZ[/mm] gilt. Das heißt alles, was in [mm]2\IZ[/mm] liegt muss auch in [mm]4\IZ + 6\IZ[/mm] liegen und umgekehrt. Wenn du es für einen Erzeuger zeigst, dann reicht das.
>
> magst du mir das vielleoicht einmal erklären für den
> Hinweg?
>
> wenn ich jetzt z.B. 2= 4x +6y
genau du suchst jetzt [mm]x,y\in \IZ[/mm] mit [mm]2=4x+6y[/mm]
> 0 =8x + 12y -2
>
> wie kann ich das denn jetzt zeigen?
gib ganz konkrete x und y an. Ich glaube dir fällt auch eine Linearkombination von 4 und 6 spontan ein, die 2 ergibt.
Damit hast du gezeigt, dass der Erzeuger des Ideal [mm]2\IZ[/mm] in [mm]4\IZ + 6\IZ[/mm] liegt.
Damit gilt, dann das was felix schrieb: [mm] 2 \IZ \subseteq 4 \IZ + 6 \IZ [/mm]
Wenn du jetzt noch zeigen kannst, dass 4 und 6 im Ideal [mm]2\IZ[/mm] liegen, dann gilt doch
[mm] 2 \IZ \subseteq 4 \IZ + 6 \IZ \subseteq 2 \IZ[/mm]
>
> Danke im voraus..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 01.05.2011 | | Autor: | julmarie |
super danke,
aber wie kann man denn zeigen das die zwei Zahlen 4 und 6 in [mm] 2\IZ [/mm] liegen?
in dem man die Menge aufschreibt oder wie funktioniert das?
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> super danke,
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> aber wie kann man denn zeigen das die zwei Zahlen 4 und 6
> in [mm]2\IZ[/mm] liegen?
>
> in dem man die Menge aufschreibt oder wie funktioniert
> das?
>
>
[mm]2\IZ=\{2*z \quad |\quad z\in \IZ \}[/mm]
Auch hier würde es reichen einfach für die 4 und 6 jeweils das z anzugeben.
Das reduziert sich doch nur auf:
[mm]4\in\{2*z \quad |\quad z\in \IZ \},6\in\{2*z \quad |\quad z\in \IZ \}[/mm]
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