De l'Hospital (Bernoulli) Def. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:04 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | SATZ:De l' Hospital (bernulli)
1) Seien f und g: $ [mm] U_\varepsilon (x_0) [/mm] $ -> $ [mm] \IR [/mm] $ differenzierbar und $ [mm] f(x_0)=g(x_0)=0, \exists lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $
=> $ [mm] \exists lim_{x->x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $
2) Seien f,g: [mm] (x_0-\epsilon, x_0) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] differenzierbar
[mm] lim_{x->x_0} [/mm] f(x) = [mm] lim_{x->x_0} [/mm] g(x) = [mm] \infty
[/mm]
=> $ [mm] \exists lim_{x->x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $
3
Seien f,g :(K, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] differenenzierbar
[mm] lim_{x->\infty} [/mm] f(x) = [mm] lim_{x->\infty} [/mm] g(x) =0 oder [mm] \infty
[/mm]
=> $ [mm] \exists lim_{x->x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $
4) [mm] x_0 [/mm] = - [mm] \infty [/mm] |
Das sind die Definitionen der Vorlesung.
1) gibt an den fall 0/0
2) gibt an den fall [mm] \infty/\infty
[/mm]
ABer ich verstehe die Fälle 3 und 4 nicht.
SInd bei 3 zwei fälle? Da ja steht
> [mm] im_{x->\infty} [/mm] f(x) = [mm] lim_{x->\infty} [/mm] g(x) =0 oder [mm] \infty
[/mm]
Außerdem frage ich mich, warum der Definitionsbereich immer anders gewählt wurden. Was steckt dahinter=?
Ich danke für jede Antwort.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> SATZ:De l' Hospital (bernulli)
>
> 1) Seien f und g: [mm]U_\varepsilon (x_0)[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> differenzierbar und [mm]f(x_0)=g(x_0)=0, \exists lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
>
> => [mm]\exists lim_{x->x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
>
> 2) Seien f,g: [mm](x_0-\epsilon, x_0)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] differenzierbar
> [mm]lim_{x->x_0}[/mm] f(x) = [mm]lim_{x->x_0}[/mm] g(x) = [mm]\infty[/mm]
> => [mm]\exists lim_{x->x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
>
> 3
> Seien f,g :(K, [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] differenenzierbar
> [mm]lim_{x->\infty}[/mm] f(x) = [mm]lim_{x->\infty}[/mm] g(x) =0 oder
> [mm]\infty[/mm]
> => [mm]\exists lim_{x->x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x->x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
>
> 4) [mm]x_0[/mm] = - [mm]\infty[/mm]
> Das sind die Definitionen der Vorlesung.
da stehen keine Definitionen, sondern Aussagen!
> 1) gibt an den fall 0/0
> 2) gibt an den fall [mm]\infty/\infty[/mm]
> ABer ich verstehe die Fälle 3 und 4 nicht.
>
> SInd bei 3 zwei fälle? Da ja steht
> > [mm]lim_{x->\infty}[/mm] f(x) = [mm]lim_{x->\infty}[/mm] g(x) =0 oder
> [mm]\infty[/mm]
Ja: Gemeint sind die Unterfälle:
[mm] $$\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }g(x)=0$$
[/mm]
oder
[mm] $$\lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }g(x)=\infty\,.$$
[/mm]
> Außerdem frage ich mich, warum der Definitionsbereich
> immer anders gewählt wurden. Was steckt dahinter=?
Es gibt halt verschiedene Fälle, wann de l'Hospital anwendbar ist. Bei
- 1.) Steht ein Formel, falls [mm] $f(x_0)=g(x_0)=0$ [/mm] ist, und wenn man
"irgendwie" mit [mm] $x\,$ [/mm] auf [mm] $x_0$ [/mm] zuläuft, wo man evtl. de l'Hospital anwenden kann. Insbesondere sind [mm] $f(x_0)$ [/mm] und [mm] $g(x_0)$ [/mm] beide definiert.
Beachte hier aber: [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] ist eine feste Zahl, [mm] $x_0 \in \IR\,.$
[/mm]
- 2.) Hier läuft man von links an [mm] $x_0\,,$ [/mm] und es muss auch die Voraussetzung [mm] $\lim_{x_0 > x \to x_0}f(x)=\lim_{x_0 > x \to x_0}g(x)=\infty$ [/mm] erfüllt sein. (Warum hier nichts über den Fall steht, dass beide [mm] $=0\,$ [/mm] sind: Keine Ahnung...)
Hier gibt's aber kein [mm] $f(x_0)$ [/mm] und kein [mm] $g(x_0)\,,$ [/mm] da [mm] $x_0 \notin (x_0-\varepsilon,x_0)\,.$
[/mm]
Wieder: [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] fest!
Bei 3.) hat man halt sozusagen eine Grenzwertaussage, die man evtl., sofern die Voraussetzungen gegeben sind, benutzen kann, wenn man $x [mm] \to \infty$ [/mm] laufen läßt. Man fordert hier quasi, dass der Definitionsbereich "wenigstens ein linksoffenes Intervall" um [mm] $\infty$ [/mm] ist - salopp gesprochen.
Was [mm] $x_0=-\infty$ [/mm] bei 4.) heißen soll: Keine Ahnung. Vielleicht, dass man in 3.) anstatt $x [mm] \to \infty$ [/mm] auch $x [mm] \to -\infty$ [/mm] schreiben kann, und dann sollte der Definitionsbereich [mm] $(-\infty,K)$ [/mm] sein oder sowas.
Aber ich denke mal, was hier so (wie ich finde, unschön) verpackt ist:
Es gibt halt verschiedene Voraussetzungen, wann man, für [mm] $x_0 \in \IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] de l'Hospital zur Berechnung von
[mm] $$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$$
[/mm]
unter Verwendung der Existenz (und Berechnung) von
[mm] $$\lim_{x \to x_0}\frac{f('x)}{g'(x)}$$
[/mm]
anwenden kann.
[mm] $f(x_0)$ [/mm] kann halt existieren, aber dann muss [mm] $f\,$ [/mm] stetig an [mm] $x_0$ [/mm] sein, gleiches gilt für [mm] $g\,,$ [/mm] wenn man die Diff'barkeitsforderung auf einer [mm] $x_0$-Umgebung [/mm] von [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] beachtet, aber man braucht hier auch [mm] $f(x_0)=g(x_0)=0\,,$ [/mm] was man dann auch äquivalent zu [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=0$ [/mm] schreiben könnte (analog für [mm] $g\,$).
[/mm]
Beachte übrigens, dass Dein [mm] $f\,$ [/mm] eigentlich nicht zwingend schon in der Form aus 1.) sein muss, um 1. drauf anzuwenden. Ist etwa
$f:[a,b] [mm] \to \IR$
[/mm]
und [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$ so, dass der Rest der Bedingungen erfüllt ist, dann kannst Du de l'Hospital auf eine entsprechende Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] anwenden.
Also: In den Fällen oben steht eigentlich nur: Wann kann ich de l'Hospital anwenden?
Und grob gesagt, stehen dann da die Fälle (natürlich jeweils mit weiteren Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen):
1.) [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] fest, [mm] $f(x_0)$ [/mm] und [mm] $g(x_0)$ [/mm] existieren und ich laufe $x [mm] \to x_0$ [/mm] auf einer [mm] $x_0$-Umgebung.
[/mm]
2.) [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] fest, [mm] $f(x_0)$ [/mm] und [mm] $g(x_0)$ [/mm] existieren nicht und ich laufe $x [mm] \to x_0$ [/mm] auf einer [mm] $x_0$-Umgebung.
[/mm]
3.) Ich laufe mit $x [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
4.) ? Ich laufe mit $x [mm] \to -\infty$?
[/mm]
Vielleicht hilft's aber, auch mal in Wiki reinzuschauen. Der Artikel dort ist, soweit ich mich erinnere und auch soweit ich das auf die Schnelle gesehen habe, wirklich gut!
Ansonsten, ich sag's immer wieder gerne: In der Bibliothek nach dem Heuser, Analysis I schauen!
Gruß,
Marcel
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