Dedekindringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Fr 18.11.2011 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Schließen Sie mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes, dass ein Ideal in einem Dedekindring von höchstens zwei Elementen erzeugt ist. Zeigen Sie ferner, dass ein Dedekindring mit nur endlich vielen Primidealen ein Hauptidealring ist. |
Hallo!
Also ich sehe noch nicht ganz, was diese Aussage mit dem Chinesisches Restsatz zu tun haben könnte....
Ein Dedekindring ist ja erstmal ein eindimensionaler, noetherscher ganz abgeschlossener IB. Damit sind doch schonmal alle Primideale relativ prim. Hilft das? Ob das aber mit allgemeinen Idealen ungleich 0 auch so aussieht? Hilft einem da die eindeutige Primzerlegung? Dann könnte man ja den CRS anwenden, aber ich seh nicht, wie man da Erzeuger des Ideals finden sollte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Fr 18.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Schließen Sie mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes, dass
> ein Ideal in einem Dedekindring von höchstens zwei
> Elementen erzeugt ist. Zeigen Sie ferner, dass ein
> Dedekindring mit nur endlich vielen Primidealen ein
> Hauptidealring ist.
>
> Also ich sehe noch nicht ganz, was diese Aussage mit dem
> Chinesisches Restsatz zu tun haben könnte....
Sei $I$ ein Ideal [mm] $\neq [/mm] 0$ im Dedekindring $R$ und sei $f [mm] \in [/mm] I [mm] \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Das Ideal $I$ enthaelt $(f)$, womit $I$ genau einem Ideal in $R/(f)$ entspricht, und zwar $I/(f)$. Wenn du zeigen kannst, dass es ein Element [mm] $\hat{g} [/mm] := g + (f) [mm] \in [/mm] R/(f)$ gibt mit $I/(f) = [mm] (\hat{g})$, [/mm] und ist $I = (f, g)$.
Um das zu zeigen, benutze den chinesischen Restsatz mit $R/(f)$ und damit, dass $R$ ein Dedekindring ist 
> Hilft einem da die eindeutige Primzerlegung?
Wenn du die Primidealzerlegung meinst: ja.
Zum zweiten Teil der Aufgabe: hattet ihr den schwachen Approximationssatz fuer Dedekindringe? Falls nicht: es reicht zumindest aus zu zeigen, dass jedes Primideal [mm] ($\neq [/mm] 0$) ein Hauptideal ist.
LG Felix
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