Dedekindringe und ihre Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 So 22.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Sei A ein Ring, [mm] I_1, I_2, I_3 [/mm] Ideale in A, [mm] I:=I_1\cap(I_2+I_3) [/mm] und [mm] J:=I_1 \cap I_2 [/mm] + [mm] I_1 \cap I_3. [/mm]
Zeigen Sie dass I=J gilt wenn
1) A ein diskreter Bewertungsring (DVR) ist.
2) A ein Dedekindring ist. |
Hallo zusammen,
also Fall 1) ist ja ein Spezialfall von Fall 2), denn DVRs sind ja auch Dedekindringe.
Ich vermute wir sollen mir 1) beginnen da dies uns helfen wird Aufgabe 2) zu lösen.
Teil 1)
Wenn A ein DVR ist, dann wäre die Aufgabe ja relativ einfach -- vorausgesetzt dass meine Überlegungen stimmen sollten.
In Bewertungsringen sind die Ideale ja total geordnet durch Inklusion.
Angenommen [mm] I_1 \subset I_2 \subset I_3. [/mm]
Dann gilt [mm] J=I_1 \cap I_3 [/mm] + [mm] I_1 \cap I_3 [/mm] = [mm] I_1+I_1=I_1=I_1\cap(I_2+I_3) [/mm] = I.
Und ganz ähnlich kommt zu dem selben Ergebnis bei den anderen beiden Inklusionsreihenfolgen.
Teil 2)
Beginnen wir mit I [mm] \supseteq [/mm] J.
Sei x [mm] \in [/mm] J. Dann ist x=a+b, a [mm] \in I_1 \cap I_2 [/mm] und b [mm] \in I_1 \cap I_3, [/mm] insbesondere a [mm] \in I_2 [/mm] und b [mm] \in I_3, [/mm] und somit x [mm] \in I_2 [/mm] + [mm] I_3. [/mm] Da x aber auch in [mm] I_1 [/mm] ist, muss x [mm] \in I_1 \cap (I_2+I_3) [/mm] sein.
Und nun zur anderen Inklusion: I [mm] \subseteq [/mm] J.
Sei x [mm] \in [/mm] I. Dann ist x=a+b, a [mm] \in I_2 [/mm] und b [mm] \in I_3. [/mm]
Wir müssen nun c [mm] \in I_1 \cap I_2 [/mm] und d [mm] \in I_1 \cap I_3 [/mm] finden mit x=c+d, denn dann ist x in J.
Da A ein Dedekind ist, kann man jedes allgemeine Ideal (0) [mm] \neq [/mm] I [mm] \neq [/mm] A in eindeutig in Primideale faktorisieren:
[mm] I=\produkt_{i=1}^{n}p_i^{r_i}, p_i [/mm] Primideale in A, [mm] r_i \in \IN. [/mm]
Also zerlegen wir unsere Ideale der Aufgabe:
[mm] I_1 [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{l}p_i^{r_i}
[/mm]
[mm] I_2 [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{m}q_i^{s_i}
[/mm]
[mm] I_3 [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}u_i^{t_i}
[/mm]
Diese Zerlegungen kann man bestimmt verwenden um die Hypothese zu zeigen. Nur wie?
Ich freue mich auf eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Mo 23.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Vilietha!
> Sei A ein Ring, [mm]I_1, I_2, I_3[/mm] Ideale in A,
> [mm]I:=I_1\cap(I_2+I_3)[/mm] und [mm]J:=I_1 \cap I_2[/mm] + [mm]I_1 \cap I_3.[/mm]
> Zeigen Sie dass I=J gilt wenn
> 1) A ein diskreter Bewertungsring (DVR) ist.
> 2) A ein Dedekindring ist.
>
> also Fall 1) ist ja ein Spezialfall von Fall 2), denn DVRs
> sind ja auch Dedekindringe.
> Ich vermute wir sollen mir 1) beginnen da dies uns helfen
> wird Aufgabe 2) zu lösen.
>
> Teil 1)
> Wenn A ein DVR ist, dann wäre die Aufgabe ja relativ
> einfach -- vorausgesetzt dass meine Überlegungen stimmen
> sollten.
> In Bewertungsringen sind die Ideale ja total geordnet
> durch Inklusion.
> Angenommen [mm]I_1 \subset I_2 \subset I_3.[/mm]
> Dann gilt [mm]J=I_1 \cap I_3[/mm] + [mm]I_1 \cap I_3[/mm] =
> [mm]I_1+I_1=I_1=I_1\cap(I_2+I_3)[/mm] = I.
> Und ganz ähnlich kommt zu dem selben Ergebnis bei den
> anderen beiden Inklusionsreihenfolgen.
Das kannst du so machen. Ist aber evtl. etwas muehsam, da es es sechs Moeglichkeiten gibt.
Alternativ kannst du auch mit Hauptidealen arbeiten [mm] $(p^i)$, [/mm] wobei $p$ das (bis auf Assoziiertheit eindeutige) Primelement ist. Wenn du dir ueberlegst, was [mm] $(p^i) \cap (p^j)$ [/mm] und [mm] $(p^i) [/mm] + [mm] (p^j)$ [/mm] ist, bist du hier schnell fertig.
> Teil 2)
> Beginnen wir mit I [mm]\supseteq[/mm] J.
> Sei x [mm]\in[/mm] J. Dann ist x=a+b, a [mm]\in I_1 \cap I_2[/mm] und b [mm]\in I_1 \cap I_3,[/mm]
> insbesondere a [mm]\in I_2[/mm] und b [mm]\in I_3,[/mm] und somit x [mm]\in I_2[/mm] +
> [mm]I_3.[/mm] Da x aber auch in [mm]I_1[/mm] ist, muss x [mm]\in I_1 \cap (I_2+I_3)[/mm]
> sein.
>
> Und nun zur anderen Inklusion: I [mm]\subseteq[/mm] J.
> Sei x [mm]\in[/mm] I. Dann ist x=a+b, a [mm]\in I_2[/mm] und b [mm]\in I_3.[/mm]
> Wir müssen nun c [mm]\in I_1 \cap I_2[/mm] und d [mm]\in I_1 \cap I_3[/mm]
> finden mit x=c+d, denn dann ist x in J.
> Da A ein Dedekind ist, kann man jedes allgemeine Ideal (0)
> [mm]\neq[/mm] I [mm]\neq[/mm] A in eindeutig in Primideale faktorisieren:
> [mm]I=\produkt_{i=1}^{n}p_i^{r_i}, p_i[/mm] Primideale in A, [mm]r_i \in \IN.[/mm]
>
> Also zerlegen wir unsere Ideale der Aufgabe:
> [mm]I_1[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{l}p_i^{r_i}[/mm]
> [mm]I_2[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{m}q_i^{s_i}[/mm]
> [mm]I_3[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n}u_i^{t_i}[/mm]
Ich wuerde jeweils die gleichen Primideale verwenden, also [mm] $I_1 [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}$, $I_2 [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n p_i^{f_i}$ [/mm] und [mm] $I_3 [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^n p_i^{g_i}$. [/mm] Dann kannst du damit arbeiten.
Weisst du, wie du [mm] $I_1 [/mm] + [mm] I_2$ [/mm] und [mm] $I_1 \cap I_2$ [/mm] durch die Primidealzerlegungen ausdruecken kannst?
Wenn ihr das noch nicht hattet: du kannst evtl. verwenden, dass zwei Ideale $I$ und $J$ in $R$ genau dann gleich sind, wenn [mm] $I_P [/mm] = [mm] J_P$ [/mm] in [mm] $R_P$ [/mm] ist fuer alle Primideale $P$ (also in den Lokalisierungen). Da die Lokalisierungen entweder Koerper (falls $P = 0$) oder DVRs (falls $P [mm] \neq [/mm] 0$) sind kommst du mit 1) weiter.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Di 24.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
(verklickt)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Di 24.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort.
Teil 1)
> > Wenn A ein DVR ist, dann wäre die Aufgabe ja relativ
> > einfach -- vorausgesetzt dass meine Überlegungen stimmen
> > sollten.
> > In Bewertungsringen sind die Ideale ja total geordnet
> > durch Inklusion.
> > Angenommen [mm]I_1 \subset I_2 \subset I_3.[/mm]
> > Dann gilt [mm]J=I_1 \cap I_3[/mm] + [mm]I_1 \cap I_3[/mm] =
> > [mm]I_1+I_1=I_1=I_1\cap(I_2+I_3)[/mm] = I.
> > Und ganz ähnlich kommt zu dem selben Ergebnis bei den
> > anderen beiden Inklusionsreihenfolgen.
>
> Das kannst du so machen. Ist aber evtl. etwas muehsam, da
> es es sechs Moeglichkeiten gibt.
>
> Alternativ kannst du auch mit Hauptidealen arbeiten [mm](p^i)[/mm],
> wobei [mm]p[/mm] das (bis auf Assoziiertheit eindeutige) Primelement
> ist. Wenn du dir ueberlegst, was [mm](p^i) \cap (p^j)[/mm] und [mm](p^i) + (p^j)[/mm]
> ist, bist du hier schnell fertig.
Also dass es nur ein Primelement bis auf Assoziiertheit ist verständlich, da die Dimension von A ja nur 1 ist. Aber wie kann man sehen oder zeigen dass alle Ideale I [mm] \in [/mm] A Hauptideale von Potenzen von diesem einen einzigen Primelement sind?
Auf jeden Fall ist es natürlich eleganter die Aussage mit diesen Hauptidealen zu zeigen. Es gilt [mm](p^i) \cap (p^j)=p^{min\{i,j\}}[/mm] und [mm](p^i) + (p^j)=p^{max\{i,j\} }[/mm]. Und für [mm] I_1=(p^i), I_2=(p^j), I_3=(p^k) [/mm] haben wir dann:
[mm] I_1 \cap I_3 [/mm] + [mm] I_1 \cap I_3 [/mm] = [mm] p^{max\{min\{i,j\},min\{i,k\}\}} [/mm] = [mm] p^{min\{i, max\{j,k\}\}} [/mm] = [mm] I_1 \cap (I_2+I_3). [/mm] 
Teil 2)
> > Beginnen wir mit I [mm]\supseteq[/mm] J.
> > Sei x [mm]\in[/mm] J. Dann ist x=a+b, a [mm]\in I_1 \cap I_2[/mm] und b
> [mm]\in I_1 \cap I_3,[/mm]
> > insbesondere a [mm]\in I_2[/mm] und b [mm]\in I_3,[/mm] und somit x [mm]\in I_2[/mm] +
> > [mm]I_3.[/mm] Da x aber auch in [mm]I_1[/mm] ist, muss x [mm]\in I_1 \cap (I_2+I_3)[/mm]
> > sein.
> >
> > Und nun zur anderen Inklusion: I [mm]\subseteq[/mm] J.
> > Sei x [mm]\in[/mm] I. Dann ist x=a+b, a [mm]\in I_2[/mm] und b [mm]\in I_3.[/mm]
> > Wir müssen nun c [mm]\in I_1 \cap I_2[/mm] und d [mm]\in I_1 \cap I_3[/mm]
> > finden mit x=c+d, denn dann ist x in J.
> > Da A ein Dedekind ist, kann man jedes allgemeine Ideal (0)
> > [mm]\neq[/mm] I [mm]\neq[/mm] A in eindeutig in Primideale faktorisieren:
> > [mm]I=\produkt_{i=1}^{n}p_i^{r_i}, p_i[/mm] Primideale in A,
> [mm]r_i \in \IN.[/mm]
> >
> > Also zerlegen wir unsere Ideale der Aufgabe:
> > [mm]I_1[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{l}p_i^{r_i}[/mm]
> > [mm]I_2[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{m}q_i^{s_i}[/mm]
> > [mm]I_3[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n}u_i^{t_i}[/mm]
>
> Ich wuerde jeweils die gleichen Primideale verwenden, also
> [mm]I_1 = \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}[/mm], [mm]I_2 = \prod_{i=1}^n p_i^{f_i}[/mm]
> und [mm]I_3 = \prod_{i=1}^n p_i^{g_i}[/mm]. Dann kannst du damit
> arbeiten.
Wie kommt es dass man alle der drei Ideale mit den selben Primidealen darstellen kann? Vereinigst du einfach die Menge der relevanten Primideale und setzt dann die Potenz gleich 0 von den Primidealen welche du nicht verwendest in den Prim-Darstellungen der drei Ideale?
> Weisst du, wie du [mm]I_1 + I_2[/mm] und [mm]I_1 \cap I_2[/mm] durch die
> Primidealzerlegungen ausdruecken kannst?
Also mir ist nicht eingefallen wie dies gehen könnte. Aber wir hatten vor Kurzem Primärzerlegungen behandelt, und es gab einen einzigen Satz über Primideale, und zwar dass man Radikal-Ideale in noetherschen Ringen eindeutig in Primideale (Durchschnitts-Darstellung) zerlegen kann. In Dedekindringen A kann man ja allgemein alle Ideale (außer (0) und A) in Primideale zerlegen in Produkt-Darstellung. Aber wie geht man denn nun genau vor?
> Wenn ihr das noch nicht hattet: du kannst evtl. verwenden,
> dass zwei Ideale [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] in [mm]R[/mm] genau dann gleich sind, wenn
> [mm]I_P = J_P[/mm] in [mm]R_P[/mm] ist fuer alle Primideale [mm]P[/mm] (also in den
> Lokalisierungen). Da die Lokalisierungen entweder Koerper
> (falls [mm]P = 0[/mm]) oder DVRs (falls [mm]P \neq 0[/mm]) sind kommst du mit
> 1) weiter.
Dieser Weg gefällt mir. Wir hatten Dedekindringe ja definiert als noethersche Integritätsbereiche mit dim(A)=1 und [mm] A_p [/mm] ein DVR ist für alle Primideale (außer (0)).
Es frägt sich nun jedoch wie man zeigen kann, dass zwei Ideale [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] in [mm]A[/mm] genau dann gleich sind, wenn [mm]I_p = J_p[/mm] in [mm]A_p[/mm] ist fuer alle Primideale [mm]p[/mm]. (Intuitiv ist dies natürlich logisch. Aber mathematisch...)
Wenn [mm] A_p [/mm] für p=(0) ein Körper ist dann sind alle Ideale in der Lokalisierung ja 0, also ist dies auch kein Problem.
Aber warum ist [mm] A_p [/mm] für p=(0) ein Körper?
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Hallo Vilietha!
> Teil 1)
> > > Wenn A ein DVR ist, dann wäre die Aufgabe ja
> relativ
> > > einfach -- vorausgesetzt dass meine Überlegungen stimmen
> > > sollten.
> > > In Bewertungsringen sind die Ideale ja total
> geordnet
> > > durch Inklusion.
> > > Angenommen [mm]I_1 \subset I_2 \subset I_3.[/mm]
> > > Dann gilt [mm]J=I_1 \cap I_3[/mm] + [mm]I_1 \cap I_3[/mm] =
> > > [mm]I_1+I_1=I_1=I_1\cap(I_2+I_3)[/mm] = I.
> > > Und ganz ähnlich kommt zu dem selben Ergebnis bei
> den
> > > anderen beiden Inklusionsreihenfolgen.
> >
> > Das kannst du so machen. Ist aber evtl. etwas muehsam, da
> > es es sechs Moeglichkeiten gibt.
> >
> > Alternativ kannst du auch mit Hauptidealen arbeiten [mm](p^i)[/mm],
> > wobei [mm]p[/mm] das (bis auf Assoziiertheit eindeutige) Primelement
> > ist. Wenn du dir ueberlegst, was [mm](p^i) \cap (p^j)[/mm] und [mm](p^i) + (p^j)[/mm]
> > ist, bist du hier schnell fertig.
>
> Also dass es nur ein Primelement bis auf Assoziiertheit ist
> verständlich, da die Dimension von A ja nur 1 ist.
Das hat mit der Dimension nicht viel zu tun 
Es haengt etwas davon ab wie ihr DVRs definiert habt. Wenn ihr sie z.B. als lokale Hauptidealbereiche, die keine Koerper sind, definiert habt, ist das recht klar.
Ist $p$ zumindest das Primelement, so kannst du jedes Element $x [mm] \neq [/mm] 0$ darstellen als $x = e [mm] \cdot p^n$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $e [mm] \in R^\ast$. [/mm] (Dabei ist $n = [mm] \nu(x)$, [/mm] falls [mm] $\nu [/mm] : R [mm] \setminus \{ 0 \} \to \IN$ [/mm] die diskrete Bewertung ist.)
> Aber
> wie kann man sehen oder zeigen dass alle Ideale I [mm]\in[/mm] A
> Hauptideale von Potenzen von diesem einen einzigen
> Primelement sind?
Ist $I$ ein Ideal [mm] $\neq [/mm] 0$, so gibt es $n := [mm] \min\{ n' \in \IN \mid \nu(x) = n' \text{ fuer ein } x \in I \setminus \{ 0 \} \}$, [/mm] und es gilt $I = [mm] \langle p^n \rangle$. [/mm] (Folgt beides direkt mit der Darstellung $x = e [mm] p^m$ [/mm] mit $e, m$ passend.)
> Auf jeden Fall ist es natürlich eleganter die Aussage mit
> diesen Hauptidealen zu zeigen. Es gilt [mm](p^i) \cap (p^j)=p^{min\{i,j\}}[/mm]
> und [mm](p^i) + (p^j)=p^{max\{i,j\} }[/mm].
Genau andersherum: beim Schnitt hast du das Maximum, bei der Summe das Minimum.
(Der Schnitt entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, die Summe dem groessten gemeinsamen Teiler. Das ist uebrigens allgemein in Hauptidealbereichen so, und auf reiner Idealebene auch in Dedekindringen.)
> Und für [mm]I_1=(p^i), I_2=(p^j), I_3=(p^k)[/mm]
> haben wir dann:
> [mm]I_1 \cap I_3[/mm] + [mm]I_1 \cap I_3[/mm] =
> [mm]p^{max\{min\{i,j\},min\{i,k\}\}}[/mm] = [mm]p^{min\{i, max\{j,k\}\}}[/mm]
> = [mm]I_1 \cap (I_2+I_3).[/mm]
Das musst du dementsprechend auch anpassen
> Teil 2)
> > > Beginnen wir mit I [mm]\supseteq[/mm] J.
> > > Sei x [mm]\in[/mm] J. Dann ist x=a+b, a [mm]\in I_1 \cap I_2[/mm] und
> b
> > [mm]\in I_1 \cap I_3,[/mm]
> > > insbesondere a [mm]\in I_2[/mm] und b [mm]\in I_3,[/mm] und somit x [mm]\in I_2[/mm] +
> > > [mm]I_3.[/mm] Da x aber auch in [mm]I_1[/mm] ist, muss x [mm]\in I_1 \cap (I_2+I_3)[/mm]
> > > sein.
> > >
> > > Und nun zur anderen Inklusion: I [mm]\subseteq[/mm] J.
> > > Sei x [mm]\in[/mm] I. Dann ist x=a+b, a [mm]\in I_2[/mm] und b [mm]\in I_3.[/mm]
> > > Wir müssen nun c [mm]\in I_1 \cap I_2[/mm] und d [mm]\in I_1 \cap I_3[/mm]
> > > finden mit x=c+d, denn dann ist x in J.
> > > Da A ein Dedekind ist, kann man jedes allgemeine Ideal (0)
> > > [mm]\neq[/mm] I [mm]\neq[/mm] A in eindeutig in Primideale faktorisieren:
> > > [mm]I=\produkt_{i=1}^{n}p_i^{r_i}, p_i[/mm] Primideale in
> A,
> > [mm]r_i \in \IN.[/mm]
> > >
> > > Also zerlegen wir unsere Ideale der Aufgabe:
> > > [mm]I_1[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{l}p_i^{r_i}[/mm]
> > > [mm]I_2[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{m}q_i^{s_i}[/mm]
> > > [mm]I_3[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n}u_i^{t_i}[/mm]
> >
> > Ich wuerde jeweils die gleichen Primideale verwenden, also
> > [mm]I_1 = \prod_{i=1}^n p_i^{e_i}[/mm], [mm]I_2 = \prod_{i=1}^n p_i^{f_i}[/mm]
> > und [mm]I_3 = \prod_{i=1}^n p_i^{g_i}[/mm]. Dann kannst du damit
> > arbeiten.
>
> Wie kommt es dass man alle der drei Ideale mit den selben
> Primidealen darstellen kann? Vereinigst du einfach die
> Menge der relevanten Primideale und setzt dann die Potenz
> gleich 0 von den Primidealen welche du nicht verwendest in
> den Prim-Darstellungen der drei Ideale?
Genau.
> > Weisst du, wie du [mm]I_1 + I_2[/mm] und [mm]I_1 \cap I_2[/mm] durch die
> > Primidealzerlegungen ausdruecken kannst?
>
> Also mir ist nicht eingefallen wie dies gehen könnte. Aber
> wir hatten vor Kurzem Primärzerlegungen behandelt, und es
> gab einen einzigen Satz über Primideale, und zwar dass man
> Radikal-Ideale in noetherschen Ringen eindeutig in
> Primideale (Durchschnitts-Darstellung) zerlegen kann. In
> Dedekindringen A kann man ja allgemein alle Ideale (außer
> (0) und A) in Primideale zerlegen in Produkt-Darstellung.
> Aber wie geht man denn nun genau vor?
Wie oben ist die Summe von zwei Idealen gleich dem ggT und der Schnitt der kgV. Ist also $I = [mm] \prod P_i^{e_i}$ [/mm] und $J = [mm] \prod P_i^{f_i}$, [/mm] so ist $I + J = [mm] \prod P_i^{\min\{ e_i, f_i \}}$ [/mm] und $I [mm] \cap [/mm] J = [mm] \prod P_i^{\max\{ e_i, f_i \}}$ [/mm] (und $I [mm] \cdot [/mm] J = [mm] \prod P_i^{e_i + f_i}$, [/mm] wenn wir schon dabei sind).
Das muss man allerdings erstmal zeigen...
> > Wenn ihr das noch nicht hattet: du kannst evtl. verwenden,
> > dass zwei Ideale [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] in [mm]R[/mm] genau dann gleich sind, wenn
> > [mm]I_P = J_P[/mm] in [mm]R_P[/mm] ist fuer alle Primideale [mm]P[/mm] (also in den
> > Lokalisierungen). Da die Lokalisierungen entweder Koerper
> > (falls [mm]P = 0[/mm]) oder DVRs (falls [mm]P \neq 0[/mm]) sind kommst du mit
> > 1) weiter.
>
> Dieser Weg gefällt mir. Wir hatten Dedekindringe ja
> definiert als noethersche Integritätsbereiche mit dim(A)=1
> und [mm]A_p[/mm] ein DVR ist für alle Primideale (außer (0)).
Ich vermute auch dass das der angedachte Weg war, vor allem wenn man Teil (a) beachtet
> Es frägt sich nun jedoch wie man zeigen kann, dass zwei
> Ideale [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] in [mm]A[/mm] genau dann gleich sind, wenn [mm]I_p = J_p[/mm]
> in [mm]A_p[/mm] ist fuer alle Primideale [mm]p[/mm]. (Intuitiv ist dies
> natürlich logisch. Aber mathematisch...)
Ich vermute, ihr hattet das Resultat schon, moeglicherweise aber nicht explizit
Betrachte die kurze Sequenz $0 [mm] \to [/mm] I + J [mm] \to [/mm] R [mm] \to [/mm] R/I [mm] \to [/mm] 0$. Diese ist genau dann exakt, wenn $I + J = I$ ist, also wenn $J [mm] \subseteq [/mm] I$ gilt.
Wenn ihr jetzt den Satz hattet: eine kurze Sequenz $0 [mm] \to [/mm] A [mm] \to [/mm] B [mm] \to [/mm] C [mm] \to [/mm] 0$ ist genau dann exakt, wenn fuer jedes Primideal (oder Maximalideal) $P$ die Sequenz $0 [mm] \to A_P \to B_P \to C_P \to [/mm] 0$ exakt ist, dann kannst du das hier anwenden: ist [mm] $J_P \subseteq I_P$ [/mm] fuer alle $P$, so ist fuer alle $P$ die Sequenz $0 [mm] \to [/mm] (I + [mm] J)_P \to R_P \to (R/I)_P [/mm] = [mm] R_P/I_P \to [/mm] 0$ exakt. Dann ist aber auch $0 [mm] \to [/mm] I + J [mm] \to [/mm] R [mm] \to [/mm] R/I [mm] \to [/mm] 0$ exakt, womit $J [mm] \subseteq [/mm] I$ gilt.
(Fuer [mm] $(R/I)_P \cong R_P/I_P$ [/mm] betrachte die Abbildung [mm] $R_P \to (R/I)_P$, [/mm] $r/s [mm] \mapsto [/mm] (r + I)/s$. Diese ist offenbar wohldefiniert (da [mm] $(R/I)_P$ [/mm] ein [mm] $R_P$-Modul [/mm] ist und somit die Abbildung [mm] $R_P \to (R/I)_P$, [/mm] $x [mm] \mapsto (1_{R/I})/1 \cdot [/mm] x$ ein wohldefinierter [mm] $R_P$-Modul-Homomorphismus [/mm] ist. Weiterhin ist sie offenbar surjektiv, und fuer den Kern gilt [mm] $\ker [/mm] = [mm] \{ r/s \in R_P \mid (r + I)/s = 0/1 \} [/mm] = [mm] \{ r/s \in R_P \mid \exists s' \not\in P : s' r \in I \} [/mm] = [mm] \{ r/s \in R_P \mid r \in I \} [/mm] = [mm] I_P$. [/mm] Mit dem Homomorphiesatz folgt dann [mm] $R_P/I_P \cong (R/I)_P$.)
[/mm]
Falls ihr den Satz mit den kurzen Sequenzen nicht hattet, musst du anders argumentieren bzw. die Aussage "von Hand" zeigen.
> Wenn [mm]A_p[/mm] für p=(0) ein Körper ist dann sind alle Ideale
> in der Lokalisierung ja 0,
Oder der ganze Koerper
> also ist dies auch kein Problem.
> Aber warum ist [mm]A_p[/mm] für p=(0) ein Körper?
Ist $P = (0)$, so ist $R [mm] \setminus [/mm] P = R [mm] \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Also ist die Nennermenge gleich allen Elementen [mm] $\neq [/mm] 0$, womit die Lokalisierung gleich dem Quotientenkoerper ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
> Wenn ihr jetzt den Satz hattet: eine kurze Sequenz [mm]0 \to A \to B \to C \to 0[/mm]
> ist genau dann exakt, wenn fuer jedes Primideal (oder
> Maximalideal) [mm]P[/mm] die Sequenz [mm]0 \to A_P \to B_P \to C_P \to 0[/mm] exakt ist...
Mit exakten Sequenzen habe ich bisher noch nie etwas gemacht. In der Vorlesung hatten wir bei den exakten Sequenzen eigentlich nur das Schlangenlemma gehabt, und auch danach habe ich keinen Satz in meinen Mitschriften gefunden welcher dem Satz von dir entspricht.
Was das von Hand zeigen von deiner Aussge
> Betrachte die kurze Sequenz $ 0 [mm] \to [/mm] I + J [mm] \to [/mm] R [mm] \to [/mm] R/I [mm] \to [/mm] 0 $.
> Diese ist genau dann exakt, wenn I + J = I ist, also wenn $ J [mm] \subseteq [/mm] I $ gilt.
betrifft, so hatte ich bisher leider keine erfolgversprechende Idee. Wie würdest du denn hier vorgehen?
Eigentlich würde ja sogar die '=>' ausreichen, denn wenn wir diese auf unsere beiden Ideale I und J von früher verwenden sind wir ja schon fertig, da wir die Inklusion 'J [mm] \supseteq [/mm] I' ja schon haben. Und eigentlich brauchen wir ja gar nicht mehr als genau diese Aussage, oder? Also den anderen Satz von dir welcher besagt dass I=J in A genau dann wenn [mm] I_p=J_p [/mm] in [mm] A_p [/mm] für alle Primideale p in A würden wir ja dann gar nicht benötigen.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Vilietha!
> > Wenn ihr jetzt den Satz hattet: eine kurze Sequenz [mm]0 \to A \to B \to C \to 0[/mm]
> > ist genau dann exakt, wenn fuer jedes Primideal (oder
> > Maximalideal) [mm]P[/mm] die Sequenz [mm]0 \to A_P \to B_P \to C_P \to 0[/mm]
> exakt ist...
>
> Mit exakten Sequenzen habe ich bisher noch nie etwas
> gemacht. In der Vorlesung hatten wir bei den exakten
> Sequenzen eigentlich nur das Schlangenlemma gehabt, und
> auch danach habe ich keinen Satz in meinen Mitschriften
> gefunden welcher dem Satz von dir entspricht.
>
> Was das von Hand zeigen von deiner Aussge
> > Betrachte die kurze Sequenz [mm]0 \to I + J \to R \to R/I \to 0 [/mm].
> > Diese ist genau dann exakt, wenn I + J = I ist, also wenn [mm]J \subseteq I[/mm]
> gilt.
> betrifft, so hatte ich bisher leider keine
> erfolgversprechende Idee. Wie würdest du denn hier
> vorgehen?
Ich wuerde eher direkt zeigen, dass [mm] $I_P \subseteq J_P$ [/mm] fuer alle $P$ impliziert $I [mm] \subseteq [/mm] J$. Das ist vermutlich einfacher
> Eigentlich würde ja sogar die '=>' ausreichen, denn wenn
> wir diese auf unsere beiden Ideale I und J von früher
> verwenden sind wir ja schon fertig, da wir die Inklusion
> 'J [mm]\supseteq[/mm] I' ja schon haben. Und eigentlich brauchen wir
> ja gar nicht mehr als genau diese Aussage, oder? Also den
> anderen Satz von dir welcher besagt dass I=J in A genau
> dann wenn [mm]I_p=J_p[/mm] in [mm]A_p[/mm] für alle Primideale p in A
> würden wir ja dann gar nicht benötigen.
Nunja, ich denke es ist trotzdem einfacher den Satz direkt zu zeigen. Bzw. eine Inklusion (die ich oben beschrieben habe).
Wenn du den $R$-Modul $M := R/J$ und den $R$-Untermodul $N := (I + J)/J$ betrachtest, dann ist $I [mm] \subseteq [/mm] J$ aequivalent zu $N = [mm] \{ 0 \}$.
[/mm]
Wie ich zuvor geschrieben hab kannst du zeigen, dass [mm] $N_P [/mm] = [mm] (I_P [/mm] + [mm] J_P)/J_P$ [/mm] und [mm] $M_P [/mm] = [mm] R_P/J_P$ [/mm] ist, womit aus [mm] $I_P \subseteq J_P$ [/mm] folgt [mm] $N_P [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] fuer alle $P$. Sei nun $n [mm] \in [/mm] N$. Es folgt also $n/1 = 0/1$ in [mm] $M_P$ [/mm] fuer alle $P$. Wenn du daraus $n = 0$ folgern kannst, folgt $N = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] und somit $I [mm] \subseteq [/mm] J$.
(Um das zu zeigen brauchst du, dass jedes echte Ideal in einem Primideal enthalten ist - was man recht einfach zeigen kann wenn man das Auswahlaxiom hat, da maximale Ideale prim sind. Zumindest in kommutativen Ringen mit Eins, aber darum geht es hier ja.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 So 29.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich hoffe dass ich es mit diesen Hinweisen nun hinbekommen werde.
Viele Grüße,
Vilietha
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