Def. holomorpher Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 So 30.04.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion cos*: [mm] \IC \to \IC, [/mm] x+iy [mm] \mapsto [/mm] cos x cosh y - i sin x sinh y, wobei cosh und sinh der Kosinus bzw. der Sinus Hyperbolicus ist.
Definiere auf ähnliche Weise eine holomorphe Funktion sin*, die auf der reellen Achse mit dem Sinus übereinstimmt. |
Hallo Forum,
ich hoffe, es kann mir jemand eine Idee geben, wie ich diese holomorphe Funktion definieren soll. Ich komm leider nicht drauf, wie ich das machen soll.
Ich hab mir zuerst gedacht, dass man einfach den cos mit dem sin und den cosh mit dem sinh aus der gegebenen Funktion einfach vertauscht, um die neue Funktion sin* zu erhalten, aber das wird wohl nicht richtig sein, oder?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Liebe Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sei die Funktion cos*: [mm]\IC \to \IC,[/mm] x+iy [mm]\mapsto[/mm]
> cos x cosh y - i sin x sinh y, wobei cosh und sinh der
> Kosinus bzw. der Sinus Hyperbolicus ist.
> Definiere auf ähnliche Weise eine holomorphe Funktion
> sin*, die auf der reellen Achse mit dem Sinus
> übereinstimmt.
> Hallo Forum,
> ich hoffe, es kann mir jemand eine Idee geben, wie ich
> diese holomorphe Funktion definieren soll. Ich komm leider
> nicht drauf, wie ich das machen soll.
> Ich hab mir zuerst gedacht, dass man einfach den cos mit
> dem sin und den cosh mit dem sinh aus der gegebenen
> Funktion einfach vertauscht, um die neue Funktion sin* zu
> erhalten, aber das wird wohl nicht richtig sein, oder?
Also [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] tauschen ist schonmal eine sehr gute Idee. [mm] $\sinh$ [/mm] und [mm] $\cosh$ [/mm] solltest du allerdings nicht tauschen, ansonsten bekommst du auf der reellen Achse die falsche Funktion raus. Was sich noch aendern koennte ist, dass das $-$ zum $+$ wird. Rechne einfach mal die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen fuer beide Moeglichkeiten aus und schau was passt.
LG Felix
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