Def. n-mal stetig diff'bar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Dude1981 |
hallo,
eine kurze Frage, zu einer Begrifflichkeit, die ich schon lange kennen sollte. Was genau bedeutet "n-mal stetig" diff'bar. Ist ja eigentlich ganz einfach aber ich stoss mich immer wieder an der Definition. Ich versteh darunter "es existieren mind. die ersten n-Ableitungen und diese sind stetig incl. der n-ten" z.B. sinx oder Polynome vom Grad 2n meinetwegen (auf R).
Was mir nicht ganz klar ist, zählen da jetzt auch beliebige Polynome wie Polynome 2-ten Grades im Falle n=5 (5x stetig diff'bar) dazu, meines Erachtens schon die Definition wiederspricht dem nicht.
In der Anwendung krieg ich aber ein Problem, Beispiel Taylor-Entwicklung, wo n+1-fach diff'bar verlangt wird (d.h.) n-fach stetig diff'bar.
Dann nehm ich ein Polynom sagen wir 2-ten Grades her und entwickle es in einem Punkt nach Taylor. Da in meinem Verständnis ein Polynom 2-ten Grades beliebig oft stetig diff'bar ist, kann ich die Taylorentwicklung bel. weit treiben und erhalte als Restglied Null (Ableitung konstant 0, d.h. insbesondere an einer bel. Zwischenstelle).
Kann mich jemand aufklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Sa 05.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> eine kurze Frage, zu einer Begrifflichkeit, die ich schon
> lange kennen sollte. Was genau bedeutet "n-mal stetig"
> diff'bar. Ist ja eigentlich ganz einfach aber ich stoss
> mich immer wieder an der Definition. Ich versteh darunter
> "es existieren mind. die ersten n-Ableitungen und diese
> sind stetig incl. der n-ten" z.B. sinx oder Polynome vom
> Grad 2n meinetwegen (auf R).
> Was mir nicht ganz klar ist, zählen da jetzt auch beliebige
> Polynome wie Polynome 2-ten Grades im Falle n=5 (5x stetig
> diff'bar) dazu, meines Erachtens schon die Definition
> wiederspricht dem nicht.
das stimmt. polynome sind beliebig oft stetig differenzierbar, also insbesondere auch $n$-mal für jedes $n [mm] \in \mathbb{N}$.
[/mm]
> In der Anwendung krieg ich aber ein Problem, Beispiel
> Taylor-Entwicklung, wo n+1-fach diff'bar verlangt wird
> (d.h.) n-fach stetig diff'bar.
> Dann nehm ich ein Polynom sagen wir 2-ten Grades her und
> entwickle es in einem Punkt nach Taylor. Da in meinem
> Verständnis ein Polynom 2-ten Grades beliebig oft stetig
> diff'bar ist, kann ich die Taylorentwicklung bel. weit
> treiben und erhalte als Restglied Null (Ableitung konstant
> 0, d.h. insbesondere an einer bel. Zwischenstelle).
>
> Kann mich jemand aufklären?
mir ist deine frage nicht ganz klar. wenn du ein beliebiges polynom 2ten grades nach taylor entwickelst und zwar mindestens bis zum grad 2, dann erhälst du wieder das ursprüngliche polynom und das restglied verschwindet. z.b. für $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] an der stelle [mm] $x_0 [/mm] = 1$ erhälst du als taylor-entwicklung von grad $2$:
[m] T_2(x, 1) = 1 + 2(x - 1) + 2\frac{(x-1)^2}{2} [/m]
vereinfachst du diesen ausdruck wieder, so erhälst du [mm] $T_2(x, [/mm] 1) = [mm] x^2 [/mm] = f(x)$.
präzisiere deine frage doch bitte, dann kann ich vielleicht eine treffendere antwort schreiben.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Dude1981 |
erstmal hab ich festgestellt, dass bei mir momentan keinerlei Grafiken auf der gesammten Seite angezeigt werden also auch die Formeln nicht, hat wohl mit der Accountsperre zu tun.
Deine Bestätigung der Definition von n-mal stetig diff'bar hat mich aber schon dazu veranlasst an meiner Vorstellung festzuhalten und dadurch hab ich dann festgestellt, dass ich in der Taylor-Entwicklung meines Polynoms nen Fehler hatte. Kommt in der Tat das Polynom selbst raus. Jetzt ist alles klar.
Trotzdem Danke.
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