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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 So 07.06.2009 | | Autor: | herben |
| Aufgabe | Zeigen Sie, mit Hilfe der Eigenwerte, dass die Matrix [mm] A:=\pmat{ 4 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1} [/mm] positiv definit ist.
Hinweis: Berechnen Sie nicht die Eigenwerte, sondern [mm] det(A-\lambda I_4) [/mm] für [mm] \lambda=0,1,2,4 [/mm] und 6. |
Hallo, also ich hab ne Frage zu dieser Aufgabe. Die einzelnen Determinanten sind
det(A)=4
[mm] det(A-I_4)=-2
[/mm]
[mm] det(A-2I_4)=4
[/mm]
[mm] det(A-4I_4)=-20
[/mm]
[mm] det(A-6I_4)=28
[/mm]
woran sehe ich nun, dass A positiv definit ist. Ich denke mal dass die Vorzeichen so alternieren ist kein Zufall...insbesondere ist mir nicht klar, warum gerade die Werte 0,1,2,4,6 benutzt werden, die Eigenwerte sind es nicht.
Vielen Dank im Voraus.
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> Zeigen Sie, mit Hilfe der Eigenwerte, dass die Matrix
> [mm]A:=\pmat{ 4 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
> positiv definit ist.
> Hinweis: Berechnen Sie nicht die Eigenwerte, sondern
> [mm]det(A-\lambda I_4)[/mm] für [mm]\lambda=0,1,2,4[/mm] und 6.
> Hallo, also ich hab ne Frage zu dieser Aufgabe. Die
> einzelnen Determinanten sind
> det(A)=4
> [mm]det(A-I_4)=-2[/mm]
> [mm]det(A-2I_4)=4[/mm]
> [mm]det(A-4I_4)=-20[/mm]
> [mm]det(A-6I_4)=28[/mm]
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> woran sehe ich nun, dass A positiv definit ist. Ich denke
> mal dass die Vorzeichen so alternieren ist kein
> Zufall...insbesondere ist mir nicht klar, warum gerade die
> Werte 0,1,2,4,6 benutzt werden, die Eigenwerte sind es
> nicht.
> Vielen Dank im Voraus.
Hallo,
Du hast eine symmetrische Matrix vorliegen, und ich gehe davon aus, daß bekannt ist, daß diese positiv definit ist, wenn sie nur positive Eigenwerte hat.
Es kommt also darauf an, nachzuweisen, daß alle Eigenwerte positiv sind.
Was sind die Eigenwerte? Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms [mm] \chi_A(x)=det(A-xI_4).
[/mm]
Du hast nun berechnet, daß
p(0)=4>0
p(1)=-2<0
p(2)=4>0
p(4)=-20<0
p(6)=28>0.
Die Wahl der Stellen, die Dir empfohlen wurden zu berechnen, sind kein kompletter Zufall, sondern sie sind von Deinen Chefs mit Bedacht ausgewählt, um Dir Mühe zu sparen.
p ist ein Polynom 4. Grades. Du weißt, daß die Funktion stetig ist und höchstens vier Nullstellen in [mm] \IR [/mm] hat.
Was erhältst Du nun aus den obigen 5 Funktionswerten mithilfe des Zwischenwertsatzes?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 So 07.06.2009 | | Autor: | herben |
ach...das ist cool...da wär ich nie drauf gekommen. wegen des zwischenwertsatzes existieren dann nullstellen zwischen 0 und 1, zwischen 1 und 2 usw...4 stück, alle positiv.
vielen dank.
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> ach...das ist cool...da wär ich nie drauf gekommen.
Hallo,
naja, etwas gestutzt habe ich zuerst auch. Das mit den Determinanten "verkleidet" die Situation.
> wegen
> des zwischenwertsatzes existieren dann nullstellen zwischen
> 0 und 1, zwischen 1 und 2 usw...4 stück, alle positiv.
genau.
> vielen dank.
gern geschen.
Gruß v. Angela
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