Definitheit und Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei A [mm] \in M2(\IR) [/mm] symmetrisch, det A > 0. [mm] u:\IR^2 \times \IR^2 [/mm] , u(x,y) = txAy, [mm] x\in \IR^2 [/mm] . zeige, dass u(x,x) ungleich 0 ist. |
tx ist bitte als transponiertes x zu lesen (ich kann die zeichen nicht hochstellen) und A ist eine 2 kreuz 2 Matrix mit Eintragungen aus [mm] \IR. [/mm]
Meine Idee zur Lösung wäre, dass, da ja die Determinante > 0 ist, daraus folgt, dass A positiv definit ist (das ist eine Proposition, die wir in der Vorlesung bewiesen haben). Jedoch steht in der Proposition, dass jeder hauptminor von A auch grösser 0 sein muss - habe ich bei einer 2x2 - Matrix überhaupt noch einen Hauptminor?
Wenn A positiv definit ist, folgt dann schon aus der Definition von "positiv definit), dass u(x,x) ungleich beziehungsweise grösser als 0 ist.
A kann natürlich auch negativ definit sein, denn dann ist u(x,x) < 0 für alle x, ich muss nur die Definitheit irgendwie nachweisen.
vielen dank für eure hilfe,
Natalie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Sa 25.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Es sei A [mm]\in M2(\IR)[/mm] symmetrisch, det A > 0. [mm]u:\IR^2 \times \IR^2[/mm]
> , u(x,y) = txAy, [mm]x\in \IR^2[/mm] . zeige, dass u(x,x) ungleich 0
> ist.
> tx ist bitte als transponiertes x zu lesen (ich kann die
> zeichen nicht hochstellen) und A ist eine 2 kreuz 2 Matrix
> mit Eintragungen aus [mm]\IR.[/mm]
>
> Meine Idee zur Lösung wäre, dass, da ja die Determinante >
> 0 ist, daraus folgt, dass A positiv definit ist
Nein.
> (das ist
> eine Proposition, die wir in der Vorlesung bewiesen haben).
> Jedoch steht in der Proposition, dass jeder hauptminor von
> A auch grösser 0 sein muss - habe ich bei einer 2x2 -
> Matrix überhaupt noch einen Hauptminor?
Ja, der obere Linke Eintrag der Matrix ist auch ein Hauptminor.
> Wenn A positiv definit ist, folgt dann schon aus der
> Definition von "positiv definit), dass u(x,x) ungleich
> beziehungsweise grösser als 0 ist.
Genau.
> A kann natürlich auch negativ definit sein, denn dann ist
> u(x,x) < 0 für alle x,
Ja.
> ich muss nur die Definitheit
> irgendwie nachweisen.
Du musst also zeigen, dass die Matrix entweder positiv oder negativ definit ist. Da die Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$ ist, musst du nach der Proposition nur noch zeigen, dass der obere linke Eintrag der Matrix entweder $> 0$ (positiv definit) oder $< 0$ (negativ definit) ist, also das er nicht $0$ ist. Dazu schreib mal die Gleichung der Determinante (die ja $> 0$ ist) hin und nimm an, dass der Eintrag $0$ ist. Da die Matrix symmetrisch ist, folgt jetzt... bekommst du es raus?
LG Felix
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vielen dank für deine hilfe, felix.. auch was die speziellen bilinearformen betrifft.. jetzt sollts eigentlich klappen!
lg,
Natalie
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