Definition der Addition < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Definieren Sie die Addition von Klassen durch [x]+[y]=[x+y]. |
Hallo,
ich bin auf diese Aufgabe gestoßen und frage mich, was da eigendlich gefordert wird?
Anders gesagt, ich verstehe in diesem Zusammenhang den Begriff der Definition nicht, weshalb es mir nicht möglich ist die Aufgabe zu bearbeiten.
Anm:
Zur einführenden Erklärung der modularen Arithmetik, wurde zuvor die Äquivalenzrelation x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x = y mod n benutzt.
Aber auch das hat (mir zumindest) nicht weitergeholfen, zu klären, was hier mit Definieren gemeint ist.
Ich bin für jeden Hinweis/Hilfestellung /Begriffserklärung dankbar.
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Hallo,
> Definieren Sie die Addition von Klassen durch
> [x]+[y]=[x+y].
> Hallo,
>
> ich bin auf diese Aufgabe gestoßen und frage mich, was da
> eigendlich gefordert wird?
> Anders gesagt, ich verstehe in diesem Zusammenhang den
> Begriff der Definition nicht, weshalb es mir nicht
> möglich ist die Aufgabe zu bearbeiten.
>
> Anm:
> Zur einführenden Erklärung der modularen Arithmetik,
> wurde zuvor die Äquivalenzrelation x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x = y mod
> n benutzt.
> Aber auch das hat (mir zumindest) nicht weitergeholfen, zu
> klären, was hier mit Definieren gemeint ist.
>
> Ich bin für jeden Hinweis/Hilfestellung
> /Begriffserklärung dankbar.
ich versuche mich mal an einer Antwort 'auf die Schnelle' (und stelle mal auf 'teilweise beantwortet').
Ich tue mich hier mit der Anweisung 'Definiere' auch schwer, weil die Definition streng genommen ja schon da steht (sofern man mit '[]' Restklassen modulo n meint). Also eigentlich kann man ja nur zeigen, dass dies tatsächlich gilt. Ich gebe dir mal ein kleines Beispiel:
Sei n=10
[mm] 44\equiv{4 \textrm{ mod } 10}, 77\equiv{7 \textrm{ mod } 10}
[/mm]
[mm] 44+77=121\equiv{1 \textrm{ mod } 10}
[/mm]
Auf der anderen Seite ist aber
[mm] 4+7=11\equiv{1 \textrm{ mod } 10}
[/mm]
also gilt offensichtlich (modulo 10)
[4]+[7]=[4+7]=[1]
Hilft dir das eventuell schon weiter?
Gruß, Diophant
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Hallo,
danke Dir für die schnelle Antwort.
So ganz verstehe ich die Argumentation nicht; was jedoch gut an Wissenlücken meinerseits liegen kann.
Sei n=10
$ [mm] 44\equiv{4 \textrm{ mod } 10}, 77\equiv{7 \textrm{ mod } 10} [/mm] $
$ [mm] 44+77=121\equiv{1 \textrm{ mod } 10} [/mm] $
Auf der anderen Seite ist aber
$ [mm] 4+7=11\equiv{1 \textrm{ mod } 10} [/mm] $
also gilt offensichtlich (modulo 10)
[4]+[7]=[4+7]=[1]
Soweit ok, aber muss ich nicht zeigen, dass [x]+[y]=[x+y] für alle x und y gilt.
Dann aber darf es mir nicht gelingen ein Gegenbeispiel zu finden
setze ich nun aber [mm] x_1 [/mm] = 31 , [mm] x_2 [/mm] = 77 gilt
31 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 10
77 [mm] \equiv [/mm] 7 mod 10
und somit 1+7 = 8 [mm] \equiv [/mm] (-2) mod 10.
Mache ich irgendwo einen elementaren Fehler?
Allgemein würde ich das nun so darstellen:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] m+10+y_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = m*10+ [mm] y_2, [/mm] mit [mm] y_1+y_2 \ge [/mm] 10.
Dann gilt
10*m + [mm] y_1 \equiv y_1 [/mm] mod 10 und
10*m + [mm] y_2 \equiv y_2 [/mm] mod 10.
Dann gilt [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 \equiv [/mm] 1 mod 10 aber nur, wenn [mm] y_1+y_2 \ge [/mm] 10.
Ich weiss nicht, ob ich mich hier total verrenne?
Danke Dir für deine Hilfe.
Gruß,
Windbeutel
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Hallo,
> So ganz verstehe ich die Argumentation nicht; was jedoch
> gut an Wissenlücken meinerseits liegen kann.
>
> Sei n=10
>
> [mm]44\equiv{4 \textrm{ mod } 10}, 77\equiv{7 \textrm{ mod } 10}[/mm]
>
> [mm]44+77=121\equiv{1 \textrm{ mod } 10}[/mm]
>
> Auf der anderen Seite ist aber
>
> [mm]4+7=11\equiv{1 \textrm{ mod } 10}[/mm]
>
> also gilt offensichtlich (modulo 10)
>
> [4]+[7]=[4+7]=[1]
>
> Soweit ok, aber muss ich nicht zeigen, dass [x]+[y]=[x+y]
> für alle x und y gilt.
> Dann aber darf es mir nicht gelingen ein Gegenbeispiel zu
> finden
> setze ich nun aber [mm]x_1[/mm] = 31 , [mm]x_2[/mm] = 77 gilt
> 31 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 10
> 77 [mm]\equiv[/mm] 7 mod 10
> und somit 1+7 = 8 [mm]\equiv[/mm] (-2) mod 10.
>
Ja! Aber beachte [mm] (-2)\equiv{8\textrm{ mod }10}.
[/mm]
> Mache ich irgendwo einen elementaren Fehler?
Nein, du hast das nur nicht ganz zu Ende gedacht.
> Allgemein würde ich das nun so darstellen:
> [mm]x_1[/mm] = [mm]m+10+y_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] = m*10+ [mm]y_2,[/mm] mit [mm]y_1+y_2 \ge[/mm] 10.
> Dann gilt
> 10*m + [mm]y_1 \equiv y_1[/mm] mod 10 und
> 10*m + [mm]y_2 \equiv y_2[/mm] mod 10.
> Dann gilt [mm]y_1[/mm] + [mm]y_2 \equiv[/mm] 1 mod 10 aber nur, wenn
> [mm]y_1+y_2 \ge[/mm] 10.
>
> Ich weiss nicht, ob ich mich hier total verrenne?
Hier tust du das (sofern ich es richtig verstanden habe).
Nimm mal zwei Zahlen x=p*n+a und y=q*n+b. Dann zeigt man sehr leicht, dass die Summe x+y in derselben Äquivalenzklasse liegt wie die Summe a+b.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mi 18.01.2017 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Diophant: es ist
[mm] $[x]=\{z: z \sim x\}$.
[/mm]
Definiert man nun $[x]+[y]=[x+y]$, so muss man sicherstellen, dass diese Definition unabhängig ist von der Wahl der Repräsentanten, d.h.:
ist [mm] $x_1 \sim [/mm] x$ und [mm] $y_1 \sim [/mm] y$,
so muss man zeigen: [mm] $[x_1+y_1]=[x+y]$.
[/mm]
Versuch das mal.
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Hallo Fred,
steht hinter dieser Variante nicht der Beweis, dass die Addition von Klassen Wohldefiniert ist?
Und da wird es dann echt kompliziert, da die nächste Aufgabe genau diesen Beweis fordert.
Also Aufgabe 1 verlangt: Definieren Sie die Addition;
Aufgabe 2 verlangt: Zeigen Sie, dass Sie wohldefiniert ist.
D.h. was auch immer der Autor mit "Definiert" meint, es muss etwas anderes als "wohldefiniert" sein.
Liebe Grüße und vielen Dank, dass ihr mit mir über dieser Aufgabe brütet.
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Hallo,
> steht hinter dieser Variante nicht der Beweis, dass die
> Addition von Klassen Wohldefiniert ist?
>
> Und da wird es dann echt kompliziert, da die nächste
> Aufgabe genau diesen Beweis fordert.
> Also Aufgabe 1 verlangt: Definieren Sie die Addition;
> Aufgabe 2 verlangt: Zeigen Sie, dass Sie wohldefiniert
> ist.
> D.h. was auch immer der Autor mit "Definiert" meint, es
> muss etwas anderes als "wohldefiniert" sein.
Nun, definieren kann man vieles. Definieren wir: heute ist Sonntag! Die Methode von Mathematikern, einen Löwen einzufangen ist die folgende Definition:
Der Löwe gilt als gefangen, wenn zwischen mir und dem Löwen ein Gitter ist.
Hernach setzt man sich in den mitgeführten Käfig und klappt von innen die Türe zu - fertig.
Solche willkürlich anmutenden Definitionen verwendet man durchaus auch in der Mathematik, etwa wenn man per Definition
[mm] 0^0=1
[/mm]
setzt. Das ist ein gutes Besipiel für eine Definition, die nicht wohldefiniert ist.
Ein schönes Beispiel für Wohldefinierteit hat man in der Schulmathematik mit der Potenzrechnung. Diese wird für natürliche Exponenten auf die bekannte Art und Weise [mm] (a^n:= [/mm] 'a n-mal mit sich selbst malgenommen') eingeführt. Die Potenzgesetze gewinnt man dann zunächst durch Abzählen. Führt man nun per Definition die Erweiterung der Potenzrechnung etwa auf die ganzen Zahlen ein, und zwar (für [mm] a\ne0) [/mm] mittels
[mm] a^0=1, a^{-k}=\frac{1}{a^k}
[/mm]
dann gelten alle Potenzgesetze nach wie vor. Also ist die Potenzrechnung für ganze Exponenten wohldefiniert.
(Damit die neue 'Addition' wohldefiniert ist, muss sie den gleichen Gesetzen gehorchen wie die 'normale Addition'. Diese Gesetze kannst du etwa ![[]](/images/popup.gif) hier unter dem Punkt Additive Eigenschaften nachlesen.)
Zum Begriff der Wohldefiniertheit ebenfalls ein Link nach Wikipedia.
Nachtrag:
Der eingeklammerte Teil stimmt wohl nicht. Da ich momentan leiider keine Zeit habe, meinen Beitrag entsprechend abzuändern, verweise ich auf die nachfolgende Mitteilung von donquijote.
Gruß, Diophant
PS: ich stelle wieder auf teilweise beantwortet, weil ich auf die eigentliche Aufgabe hier nicht eingegangen bin.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Do 19.01.2017 | | Autor: | donquijote |
> Hallo,
>
> > steht hinter dieser Variante nicht der Beweis, dass die
> > Addition von Klassen Wohldefiniert ist?
> >
> > Und da wird es dann echt kompliziert, da die nächste
> > Aufgabe genau diesen Beweis fordert.
> > Also Aufgabe 1 verlangt: Definieren Sie die Addition;
> > Aufgabe 2 verlangt: Zeigen Sie, dass Sie wohldefiniert
> > ist.
> > D.h. was auch immer der Autor mit "Definiert" meint, es
> > muss etwas anderes als "wohldefiniert" sein.
>
> Nun, definieren kann man vieles. Definieren wir: heute ist
> Sonntag! Die Methode von Mathematikern, einen Löwen
> einzufangen ist die folgende Definition:
>
> Der Löwe gilt als gefangen, wenn zwischen mir und dem
> Löwen ein Gitter ist.
>
> Hernach setzt man sich in den mitgeführten Käfig und
> klappt von innen die Türe zu - fertig.
>
> Solche willkürlich anmutenden Definitionen verwendet man
> durchaus auch in der Mathematik, etwa wenn man per
> Definition
>
> [mm]0^0=1[/mm]
>
> setzt. Das ist ein gutes Besipiel für eine Definition, die
> nicht wohldefiniert ist.
>
> Ein schönes Beispiel für Wohldefinierteit hat man in der
> Schulmathematik mit der Potenzrechnung. Diese wird für
> natürliche Exponenten auf die bekannte Art und Weise
> [mm](a^n:=[/mm] 'a n-mal mit sich selbst malgenommen') eingeführt.
> Die Potenzgesetze gewinnt man dann zunächst durch
> Abzählen. Führt man nun per Definition die Erweiterung
> der Potenzrechnung etwa auf die ganzen Zahlen ein, und zwar
> (für [mm]a\ne0)[/mm] mittels
>
> [mm]a^0=1, a^{-k}=\frac{1}{a^k}[/mm]
>
> dann gelten alle Potenzgesetze nach wie vor. Also ist die
> Potenzrechnung für ganze Exponenten wohldefiniert.
>
> Damit die neue 'Addition' wohldefiniert ist, muss sie den
> gleichen Gesetzen gehorchen wie die 'normale Addition'.
> Diese Gesetze kannst du etwa
> hier
> uner dem Punkt Additive Eigenschaften nachlesen.
Hallo,
an dieser Stelle muss ich widersprechen. Wohldefiniertheit heißt erstmal nur, dass das zu Definiernede eindeutig und widerspruchsfrei festgelegt ist. Somit könnte ich z.B. auch eine "Nicht-Standard"-Addition definieren als [x]+[y]=[2xy-y³], auch das wäre für Resklassen modulo m wohldefinert.
Die Rechenregeln haben erstmal mit der Wohldefiniertheit wenig zu tun. Nach deiner These wäre beispielsweise die Multiplikation zweier nxn-Matrizen nicht wohldefiniert, da sie nicht kommutativ ist.
Die Potenzrechnung ist übrigens auch ein gutes Beispiel für Nichtwohldefiniertheit: Setzt man [mm]a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}[/mm] für [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] und [mm]p,q\in\mathbb{N}[/mm], wenn mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(i) [mm]a\ge 0[/mm], (ii) p gerade oder (iii) q ungerade, so ist das nicht wohldefiniert, weil z.B. dann [mm](-1)^{1/3}=-1[/mm] und [mm](-1)^{2/6}=1[/mm] wäre.
>
> Zum Begriff der Wohldefiniertheit ebenfalls ein Link nach
> Wikipedia.
>
>
> Gruß, Diophant
>
> PS: ich stelle wieder auf teilweise beantwortet, weil ich
> auf die eigentliche Aufgabe hier nicht eingegangen bin.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Do 19.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> > Damit die neue 'Addition' wohldefiniert ist, muss sie den
> > gleichen Gesetzen gehorchen wie die 'normale Addition'.
> > Diese Gesetze kannst du etwa
> > hier
> > uner dem Punkt Additive Eigenschaften nachlesen.
>
> Hallo,
> an dieser Stelle muss ich widersprechen. Wohldefiniertheit
> heißt erstmal nur, dass das zu Definiernede eindeutig und
> widerspruchsfrei festgelegt ist. Somit könnte ich z.B.
> auch eine "Nicht-Standard"-Addition definieren als
> [x]+[y]=[2xy-y³], auch das wäre für Resklassen modulo m
> wohldefinert.
> Die Rechenregeln haben erstmal mit der Wohldefiniertheit
> wenig zu tun. Nach deiner These wäre beispielsweise die
> Multiplikation zweier nxn-Matrizen nicht wohldefiniert, da
> sie nicht kommutativ ist.
> Die Potenzrechnung ist übrigens auch ein gutes Beispiel
> für Nichtwohldefiniertheit: Setzt man
> [mm]a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}[/mm] für [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] und
> [mm]p,q\in\mathbb{N}[/mm], wenn mindestens eine der folgenden
> Bedingungen erfüllt ist:
> (i) [mm]a\ge 0[/mm], (ii) p gerade oder (iii) q ungerade, so ist
> das nicht wohldefiniert, weil z.B. dann [mm](-1)^{1/3}=-1[/mm] und
> [mm](-1)^{2/6}=1[/mm] wäre.
>
ok, dann erstmal vielen Dank für den Hinweis. Ich kann das für mich selbst aus zeitlichen Gründen leider gerade nicht überprüfen, daher habe ich oben einen Hinweis beigefügt.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmals,
ich habe nachgeschlagen:
> Aufgabe 2 verlangt: Zeigen Sie, dass Sie wohldefiniert
> ist.
> D.h. was auch immer der Autor mit "Definiert" meint, es
> muss etwas anderes als "wohldefiniert" sein.
Für die Wohldefiniertheit der Addition von Restklassen muss man zeigen, dass die Definition unabhängig ist von der Wahl der jeweiligen Repräsenanten. Seien [x], [y] zwei Restklassen modulo n. Dann sollst du hier zeigen, dass die Gleichung
[x]+[y]=[x+y]
gilt, unabhängig davon, welche Repräsentanten konkret addiert werden.
Rechnen wir als Beispiel wieder modulo 10. Es ist sicherlich
[14]+[27]=[4]+[7]=[1]
Und dieses Verhalten muss eben allgemein gezeigt werden.
Hier habe ich ein recht brauchbares Skript zu der Thematik gefunden.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Sa 21.01.2017 | | Autor: | Windbeutel |
Ich danke Euch allen für eure Hilfestellung.
Den Beweis der Wohldefiniertheit habe ich bereits problemlos hinbekommen.
Dass die erste Aufgabe, d.h. die Aufforderung die Aufgabe zu definieren, Interpretationssache bleibt muss ich wohl hinnehmen, zumal es zu der Aufgabe keine Lösung des Autors gibt.
Vielen Dank nochmal
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> Definieren Sie die Addition von Klassen durch
> [x]+[y]=[x+y].
> Anm:
> Zur einführenden Erklärung der modularen Arithmetik,
> wurde zuvor die Äquivalenzrelation x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x = y mod
> n benutzt.
Für die Restklassen der modularen Arithmetik ist die Aufgabenstellung sinnvoll, für Klassen allgemein aber sinnlos.
Beispiel:
Klasse A enthält die Zahlen 1 und 3, Klasse B alle anderen natürlichen Zahlen.
Dann wäre einerseits A+B=[1]+[2]= [1+2]=[3]=A,
aber andererseits A+B=[1]+[4]= [1+4]=[5]=B,
die Addition wäre nicht wohldefiniert.
Deine Anmerkung war also nichts Nebensächliches, sondern eine Voraussetzung für die Bearbeitung des Problems!
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