Definition der eulerschen Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Anabella |
| Aufgabe | a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n \ge \summe_{k=0}^{m} \bruch{1}{k!} [/mm] (für beliebige m [mm] \in \IN)
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] |
Hallo,
bei b bin ich so weit gekommen, dass ich die linke Seite mit dem binomischen Lehrsatz aufgelöst habe und komme nach etwas Umformen auf:
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1*(1-\bruch{1}{n})*...*(1-\bruch{k-1}{n})}{k!}
[/mm]
Kann ich hier nun direkt n gegen unendlich gehen lassen, um auf [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] zu kommen?
Und wie zeige ich am besten a? Ich komme da auf keine schöne Ungleichung bzw. Abschätzung nach unten. (Mir ist klar, dass a direkt aus b folgt, aber man sollte wohl a vor b zeigen)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Anabella,
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n \ge \summe_{k=0}^{m} \bruch{1}{k!}[/mm]
> (für beliebige m [mm]\in \IN)[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
> Hallo,
>
> bei b bin ich so weit gekommen, dass ich die linke Seite
> mit dem binomischen Lehrsatz aufgelöst habe und komme nach
> etwas Umformen auf:
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1*(1-\bruch{1}{n})*...*(1-\bruch{k-1}{n})}{k!}[/mm]
Dies stimmt nicht. Für $n=2$ bekomme ich Ungleichheit.
>
> Kann ich hier nun direkt n gegen unendlich gehen lassen, um
> auf [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm] zu kommen?
Nein. Abgesehen davon, daß die Beziehung ja gar nicht stimmt.
>
>
> Und wie zeige ich am besten a? Ich komme da auf keine
> schöne Ungleichung bzw. Abschätzung nach unten. (Mir ist
> klar, dass a direkt aus b folgt, aber man sollte wohl a vor
> b zeigen)
Warum folgt a) aus b)?
Ich würde erst a) zeigen. Dann folgt zumindest mal, daß die Reihe überhaupt konvergiert, wie Du sicher begründen kannst.
Und für b) zeige zunächst [mm] $\le$ [/mm] und schließe mit a) auf Gleichheit.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
|
