Definition von <= bei lin. Op. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Do 23.10.2014 | | Autor: | Samyy |
Hallo,
Sei H ein Hilbertraum und [mm] $T,S:H\rightarrow [/mm] H$ zwei Projektionen in H. Dann sehe ich manchmal die Notation [mm] $T\leq [/mm] S$. Was hat das zu bedeuten?
Verwendet man dieses Symbol nur im Zusammenhang mit Projektionen, oder hat dies auch für allgemeine lineare Abbildungen einen Sinn?
Würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Do 23.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
man schreibt für zwei s.a. Operatoren $S,T [mm] \in [/mm] L(H)$ [mm] $S\le [/mm] T$ falls die entsprechende Ungleichung für die zugehörigen quadr. Formen gilt, d.h. [mm] $\le [/mm] <x|Tx>$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] H$.
Insbesondere macht also die Schreibweise für beliebige lineare Operatoren keinen Sinn. Andererseits brauchen die Operatoren auch keine Projektoren zu sein.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:53 Fr 24.10.2014 | | Autor: | Samyy |
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Fr 24.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Sei H ein Hilbertraum und [mm]T,S:H\rightarrow H[/mm] zwei
> Projektionen in H. Dann sehe ich manchmal die Notation
> [mm]T\leq S[/mm]. Was hat das zu bedeuten?
Ergänzend: für beliebige Projektionen T und S macht T [mm] \le [/mm] S keinen Sinn. Ich denke , Du hast vergessen zu sagen, dass T und S Orthogonalprojektionen sein sollen, also idempotent und selbstadjungiert.
>
> Verwendet man dieses Symbol nur im Zusammenhang mit
> Projektionen, oder hat dies auch für allgemeine lineare
> Abbildungen einen Sinn?
Wie mein Vorredner schon sagte: für selbstadjungierte Operatoren.
FRED
>
> Würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte.
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Fr 24.10.2014 | | Autor: | Samyy |
Hallo fred97,
Danke auch dir für deine Antwort.
Sehe ich das richtig, dass ich die selbstadjungiertheit nur bei komplexen Hilberträumen voraussetzen muss? Im reellen fall macht die definiton doch auch für nicht s.a. opratoren Sinn oder?
Des weiteren hast du recht. Ich dachte an orthogonalprojektionen, die dann per def idempotent sind. Andere Projektionen kenne ich ehrlich gesagt auch nicht. Kannst du mir sagen, was das ist?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Fr 24.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> Danke auch dir für deine Antwort.
>
> Sehe ich das richtig, dass ich die selbstadjungiertheit nur
> bei komplexen Hilberträumen voraussetzen muss?
> Im reellen
> fall macht die definiton doch auch für nicht s.a.
> opratoren Sinn oder?
Ja, das kann man machen, aber üblich ist das nicht.
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> Des weiteren hast du recht. Ich dachte an
> orthogonalprojektionen, die dann per def idempotent sind.
> Andere Projektionen kenne ich ehrlich gesagt auch nicht.
> Kannst du mir sagen, was das ist?
Ganz allgemein: ist V ein Vektorraum und P:V [mm] \to [/mm] V linear, so heißt P eine Projektion, wenn [mm] P^2=P [/mm] ist.
FRED
>
> Grüße
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