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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Di 03.04.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die folgenden Funktionen und geben Sie Defintions- und (ggf. näherungsweise) Wertebereich an. Sie die einzelnen Funktionen gerade, ungerade, injektiv, monton wachsend oder fallend, beschränkt?
[mm] $y=\bruch{1}{30}(x^4+15x)$
[/mm]
[mm] $y=\bruch{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24}$ [/mm] |
Insbesondere hab ich keine Ahnung wie ich auf den Wertebereich kommen soll. Gibt es da einen Trick?
[mm] $y=\bruch{1}{30}(x^4+15x)$ [/mm] ist weder ungerade noch grade, auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert und weder monton wachsend noch monton fallend (also dann auch nicht beschränkt?)
Wertebereich...
[mm] $y=\bruch{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24}$
[/mm]
Da fällt mir auf Anhieb nur zu ein dass sie für [mm] \IR [/mm] def. sein müsste.
Muss ich erst vereinfachen sprich ausmultiplizieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Di 03.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
Definitionsbereich ist ja (vereinfacht): Die Werte, die du ohne Schwierigkeiten in die Funktion einsetzen kannst. Du darfst zum Beispeil nicht durch 0 teilen, darauf ist zu achten.
Das ist ja hier kein Problem.
Der Wertebereich. Also ich kenne folgende "Tricks" :
Bilde die Ableitung und suche Hoch- bzw. Tiefpunkte. Findest du
sowohl Hochpunkt, als auch Tiefpunkt, hast du deinen Wertebereich; nachdem du die genauen Koordinaten ausgerechnet hast, kannst du dann den y-Wert nehmen. Wobei bei mehreren Hoch- bzw. Tiefpunkten immer die größte bzw. kleinste y-Koordinate zu wählen ist.
Findest du nur einen Hochpunkt, kannst du in deinem Fall deine Funktion mal betrachten bei
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty } [/mm] betrachten.
Findest du einen Tiefpunkt, betrachte doch mal [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}.
[/mm]
Vielleicht helfen die Tricks ja.
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 03.04.2007 | | Autor: | Tea |
Hm ...
Das hört sich ja alles gut an aber ich verstehe es nicht wirklich.
Kannst du mir dein Vorgehen mal am Beispiel [mm] $\bruch{x^2+1}{x}$ [/mm] zeigen?
DANKE
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> Hm ...
> Das hört sich ja alles gut an aber ich verstehe es nicht
> wirklich.
>
> Kannst du mir dein Vorgehen mal am Beispiel
> [mm]\bruch{x^2+1}{x}[/mm] zeigen?
>
> DANKE
Hi,
bei dem Beispiel ist es recht simpel.
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen außer der 0 definiert, da ja, wie gesagt, nicht durch 0 geteilt werden darf.
Ferner siehst du, dass der x-Wert 0 keine Nullstelle des Zählers ist. Das, und, dass es Nennernullstelle ist, ist
die hinreichende Bedingung für die Existenz einer Polstelle. Jetzt musst du noch klären, ob sie Vorzeichenwechsel
besitzt oder nicht.
Nach einsetzen von Zahlen hinreichend nahe an der Stelle 0 siehst du, dass Vorzeichenwechsel vorliegt.
Also hast du auch schon den Wertebereich!
[mm] $$\Rightarrow\qquad \mathbbm{D}_{f}=\mathbbm{R}\backslash\{0\}\qquad\text{und}\qquad\mathbbm{W}_{f}=\mathbbm{R}$$
[/mm]
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 03.04.2007 | | Autor: | Tea |
so ähnlich hab ich mir das auch gedacht
aber als Lösung habe ich [mm] $W=\IR\backslash(-2,2)$ [/mm] angeben und das würde auch mit meiner Skizze übereinstimmen
Wo liegt der Fehler?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal,
versuchen wir doch mal "stur" zu berechnen, welche Funktionswerte y angenommen werden können:
Also [mm] \frac{x^2+1}{x}=y \Rightarrow x^2+1=xy \Rightarrow x^2-xy+1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left(x-\frac{y}{2}\right)^2-\frac{y^2}{4}+1=0 \Rightarrow \left(x-\frac{y}{2}\right)^2=\frac{y^2}{4}\red{-}1 [/mm] thx @ Kroni
Das ist in [mm] \IR [/mm] nur lösbar, wenn [mm] \frac{y^2}{4}-1\ge [/mm] 0 ist
also [mm] \frac{y^2-4}{4}\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow y^2-4\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow y^2\ge [/mm] 4 [mm] \Rightarrow |y|\ge [/mm] 2
Damit hat man den WB bestimmt, nämlich alle [mm] y\ge [/mm] 2 und alle [mm] y\le [/mm] -2
Gruß
schachuzipus
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Hallo zusammen und huch?
Wo werden denn bei der Funktion [mm] f(x)=\frac{x^2+1}{x} [/mm] die Werte zwischen (-2;2) angenommen?
zB [mm] f(x)=1\gdw \frac{x^2+1}{x}=1\gdw x^2-x+1=0\gdw (x-\frac{1}{2})^2=-\frac{3}{4}
[/mm]
Das klappt in [mm] \IR [/mm] nicht
Also [mm] D=\IR\backslash\{0\} [/mm] und [mm] \IW=\IR\backslash [/mm] (-2;2)
Gruß
schachuzipus
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:30 Di 03.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
habe mir mal vorhin die Funktion [mm] (x^2+1)/x [/mm] plotten lassen, und kann nicht besätigen, dass [mm] \IW=\IR, [/mm] denn die Kurve macht bei x=1 bzw x=-1 eine Kurve, und dort liegt ein TP bzw HP vor.
Dadurch, dass man durch die Monotonieuntersuchung sieht, dass dort ein TP bzw HP vorliegt, und der Graph von "oben" kommt, für x>0 aber x nahe bei 0, und dann fällt, bei x=1 eine Tiefstelle hat, und dann wieder ins unendliche "flüchtet", ist der Bereich zwischen [0;2[ auf jeden fall schonmal nicht in der Wertemenge.
Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen zum Ursprung, kann man dann sagen, dass [mm] W=\IR [/mm] \ ]-2;2[ ist.
Schönen Gruß,
KRoni
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Stimmt, ich hab' mich in flüchtiger Hektik mit dem Wertebereich vertan.
Merken: Hoch- und Tief mit einbeziehen, so auch [mm] z.\,B. [/mm] bei der Funktion 4. Grades.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 10.04.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | | [mm] y=\bruch{4x-x^2}{3} [/mm] |
Können wir es mal damit versuchen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 10.04.2007 | | Autor: | Tea |
Ich hab es mal versucht...
[mm] y=\bruch{4x-x^2}{3}
[/mm]
ich denke, dass [mm] $D=\IR$ [/mm] weil der Nenner nicht $0$ werden kann.
Jetzt wird abgelitten um Hp/Tiefpunkt zu finden. [mm] $y'=\bruch{4-2x}{3}$.
[/mm]
Die Bedingung Ableitung $=0$ muss erfüllt sein, also $x=2$
Daraus folgt ein postives $y$, also ist [mm] $f(2)=\bruch{4}{3}$ [/mm] ein Maximum. Nennt man das Hochpunkt?!
Ich mache [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bzw. [mm] \limes_{n\rightarrow-\infty} [/mm] erhalte [mm] $-\infty$ [/mm] bzw. [mm] $-\infty$ [/mm]
Also geht der Wertbereich von [mm] \bruch{4}{3} [/mm] bis - unendlich.
Wie schreibe ich das auf?
Alles komisch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 10.04.2007 | | Autor: | Tea |
Im Speziellen zu dem $lim$ habe ich noch eine Frage.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4x-x^2}{3}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^2{\bruch{4}{x}-1}}{3} [/mm] = (da [mm] \bruch{4}{x}) [/mm] für x gegen unendlich gegen 0 [mm] \bruch{{x^2}-1}{3}=-\infty
[/mm]
Aber wie geht s für [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{4x-x^2}{3}
[/mm]
???
Ist [mm] \bruch{4}{-\infty} [/mm] auch 0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Di 10.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
So schlicht ist Deine Idee mit Ausklammern nicht. Aber Du machst hier einen Rechenfehler:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4x-x^2}{3} \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^2*\red{\left(}\bruch{4}{x}-1\red{\right)}}{3} \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty}\left(x^2*\bruch{\bruch{4}{x}-1}{3}\right) \ = \ \infty*\bruch{0-1}{3} \ = \ \infty*\left(-\bruch{1}{3}\right) \ = \ -\infty[/mm]
Das funktioniert dann für [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] analog ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
deine 1. Ableitung ist richtig, weiterhin deine Überlegung an der Stelle x=2 liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt, jetzt solltest du begründen, warum es ein Hochpunkt ist, Daraus folgt ein positives y ist so nicht korrekt, 1. Möglichkeit: über die zweite Ableitung oder 2. Möglichkeit: die Parabel ist nach unten geöffnet, weil vor [mm] x^{2} [/mm] das Vorzeichen minus steht,
Hochpunkt und Maximum, bzw. Tiefpunkt und Minimum sind mathematisch das Gleiche,
Schreibweise: [mm] D=\{y; y\in\IR; y\le\bruch{4}{3}\}
[/mm]
Noch ein Hinweis: Funktion immer zeichnen, man sieht eine ganze Menge!!
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Di 10.04.2007 | | Autor: | Tea |
Ich weiß, dass es sich bei obiger Funktion um eine Parabel handelt, möchte sie jedoch als Beispiel brauchen, um mir das Vorgehen fassbarer zu machen.
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