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Hallo,
erstmal ein dickes Lob an diese Community ! Hier wurde mir nur durch lesen schon sehr viel geholfen. Nun hänge ich aber und komme an eigentlich einfachen Aufgaben nicht weiter ! Es geht um Funktionen mit ihrem Definitions- und Wertebereich.
Und zwar diese Aufgabe mal als Einstieg:
f(x)=1 / [mm] (1+x^2)
[/mm]
Den Definitionsbereich bekomme ich ja jetzt raus indem ich folgendes rechne:
[mm] 0=1/(1+x^2) [/mm] | :1
[mm] 0=1+(x^2) [/mm] |wurzel
0=sqrt(1) +x
x=-1
Hier ist -1 mein Def. Bereich und diesem setze ich in
f(x)=1 / [mm] (1+x^2) [/mm] ein und bekomme mit 0,5 meinen Wertebereich, oder ?
So nun hänge ich aber an folgender Aufgabe fest:
f(x) = [sqrt(-x) / [mm] (x^2-1)] [/mm] + [sqrt(2-4*x) / sqrt(2+4*x)]
ich habe hier erstmal quadriert um die Wurzeln weg zu bekommen, naja und weiter bin ich ehrlich gesagt noch nicht :-/
Ich bitte um Antwort, bin echt so langsam an mir am zweifeln ... :-(
Viele Grüße
Björn
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo djroque,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Da ist aber leider einiges schief gelaufen ...
Definitionsbereich ist die Menge aller Zahlen aus der Grundmenge (im allgemeinen: [mm] $\IR$) [/mm] abzüglich der Definitionslücken.
Bei Funktionen Deiner Art (= gebrochen-rationale Funktionen) sind die Definitionslücken die Nullstellen des Nenners.
Du musst also rechnen: [mm] $1+x^2 [/mm] \ = \ 0$
Hieraus dürftest Du aber keine Nullstellen und damit auch keine Definitionslücken erhalten, da stets gilt: [mm] $1+x^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1 \ > \ 0$ !!
Damit erhältst Du als Definitionsmenge: [mm] $D_x [/mm] \ = \ G \ = \ [mm] \IR$
[/mm]
Der Definitionsbereich ist also die Menge aller x-Werte, die ich in die Funktion einsetzen darf.
Der Wertebereich ist die Menge aller y-Werte, die eine Funktion annehmen kann.
Dazu mal folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Welche y-Werte kann unsere Funktion annehmen?
Also lautet der Wertebereich ... ?
Gruß
Loddar
PS: Du solltest Dir auch nochmal Äquivalenzumformungen / Gleichungumstellen ansehen, da hast Du doch Fehler gemacht!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo djroque!
Meinst Du hier diese Funktion?
(Bitte mach Dich doch auch mit unserem Formeleditor vertraut, das ist gar nicht so schwer ...)
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{-x}}{x^2-1} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{2-4x}}{\wurzel{2+4x}}$
[/mm]
> ich habe hier erstmal quadriert um die Wurzeln weg zu
> bekommen, naja und weiter bin ich ehrlich gesagt noch nicht
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du darfst ja nicht einfach diesen Funktionsterm verändern, indem Du z.B. quadrierst.
Um die Definitionslücken dieser Funktion zu ermitteln, musst Du auf zwei Dinge achten:
1. Keiner der beiden Nenner darf den Wert Null annehmen!
2. Jeder der Wurzelausdrücke (d.h. die Argumente) dürfen nicht negativ werden, da die Wurzelfunktion nur für Werte [mm] $\ge [/mm] \ 0$ definiert ist.
Du musst hier also rechnen:
(1) $-x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
(2) [mm] $x^2 [/mm] - 1 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
(3) $2-4x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
(4) $2+4x \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$
Für den Gesamt-Definitionsbereich musst Du dann diese vier "Lösungen" überlagern, da ja alle vier Bedingungen erfüllt sein müssen.
Kontrollergebnis: [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x \ \in \ \IR \ \left| \ -\bruch{1}{2} \ < \ x \ \le \ 0 \ \right\}$
Gruß
Loddar
[/mm]
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Hi,
erstmal danke für die prompte Antwort !
Ich habe aber dennoch Fragen :-(
Und zwar was meinst Du mit:
Für den Gesamt-Definitionsbereich musst Du dann diese vier "Lösungen" überlagern, da ja alle vier Bedingungen erfüllt sein müssen.
??
Gruß
DjRoque
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mo 22.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo djroque!
Dass diese vier Bedingungen alle gleichzeitig erfüllt sein müssen, ist Dir klar, oder?
Wie lauten denn diese jeweils nach $x_$ umgestellt?
Das "Überlagern" machst Du Dir vielleicht am Zahlenstrahl deutlich, indem Du diese vier Bereiche mal einzeichnest.
Dabei ist dann unser Definitionsbereich derjenige Bereich, der durch alle vier Bereiche markiert ist.
Dabei vereinfacht sich das teilweise, da z.B. die Bedingungen $x \ [mm] \le [/mm] \ 0$ und $x \ [mm] \le [/mm] \ 2$ sich verkürzt darstellen lassen als $x \ [mm] \le [/mm] \ 0$, da jede Zahl kleiner als Null auch automatisch kleiner ist als 2.
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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Ah .. ja ich glaube ich hab es jetzt =)
Also ich habe jetzt raus, dass [mm] $ Dmax \ = \ \left\{ \ x \ \in \ \IR \ \left| \ -\0.5 \ < \ x \ \le \ 0 \ \right\} $[/mm]
Ich danke Dir für die Hilfe ! !
Bis zum nächsten Mal ... *g*
gruß
Dj
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Hallo djroque2005,
> Ah .. ja ich glaube ich hab es jetzt =)
>
> Also ich habe jetzt raus, dass [mm]$ Dmax \ = \ \left\{ \ x \ \in \ \IR \ \left| \ -\0.5 \ < \ x \ \le \ 0 \ \right\} $[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich dachte, der zugehörige Wertebereich muß auch noch bestimmt werden.
Gruß
MathePower
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Hi, djroque,
also: Da muss ich doch auch mal ein bisschen Senf dazugeben!
> Und zwar diese Aufgabe mal als Einstieg:
>
> f(x)=1 / [mm](1+x^2)[/mm]
> Den Definitionsbereich bekomme ich ja jetzt raus indem ich
> folgendes rechne:
> [mm]0=1/(1+x^2)[/mm] | :1
>
> [mm]0=1+(x^2)[/mm] |wurzel
> 0=sqrt(1) +x
Auweh, auweh, auweh!
TU SO ETWAS BITTE NIE WIEDER!!!
Du kannst doch nicht aus einer Summe
[mm] (1+x^{2} [/mm] ist eine Summe(!))
die Wurzel ziehen, indem Du aus jedem einzelnen Summanden die Wurzel ziehst!
Mal ein Beispiel:
[mm] \wurzel{3^{2}+4^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{9+16} [/mm] = [mm] \wurzel{25} [/mm] = 5
Nach Deiner "Rechnung" aber käme raus:
[mm] \wurzel{3^{2}} [/mm] + [mm] \wurzel{4^{2}} [/mm] = 3 + 4 = 7
AUFPASSEN!
Nachtrag:
Da fällt mir noch die Zeile auf, wo Du schreibst:
0 = [mm] 1/(1+x^{2}) [/mm] | : 1
Was meinst Du denn damit?!
Wenn Du eine Gleichung durch 1 dividierst,
ändert sich an dieser Gleichung NICHTS!
Aus dieser Gleichung folgt allenfalls: 1 = 0.
Dies aber entspricht einer falschen Aussage!
Klar, denn mit diesem Ansatz berechnest Du nicht Definitionslücken, sondern mögliche Nullstellen und: die Funktion hat gar keine!
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