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Hallo,
ich habe den folgenden Quotienten:
[mm] \bruch {x-2}{x^3}. [/mm] Der Definitionsbereich ist (-unendlich,0) [mm] \cup [/mm] (0,1).
Ich verstehe jedoch nicht ganz wieso. Die offenen Intervalle heißen ja, dass die Werte, die dort stehen nicht mehr zum gültigen Intervall gehören, aber -unendlich gehört doch dazu. 0 gehört natürlich nicht dazu, denn dann wäre der Quotient ja im Nenner=0.
Aber für 1 ist der Qotient dann doch wieder definiert, warum wird dies dann quasi aus dem geschlossenen Intervall "ausgeklammert"?
Danke sehr.
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Hallo, so wie du den Term aufgeschrieben hast, gehören zum Definitionsbereich alle rellen Zahlen, außer Null, hast du diesen Term eventuell aus einer Aufgabe "herausgerissen"? Steffi
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Nein, bzw jein. Es ist die folgende Funktion: [mm] f(x)=\bruch {|x-1|}{x^2} [/mm] und für diese wird unterschieden in x<1, dann lautet die Funktion eben [mm] \bruch {-x+1}{x^2} [/mm] und dafür habe ich gerade die Ableitung angegeben und eben den Definitionsbereich.
Ich hätte auch einfach zum Definitionsbereich gesagt ist definiert für [mm] \IR [/mm] - {0}, aber ich bin mir durch diese Intervallschreibung nicht sicher, ob das damit gemeint ist.
Zumal danach gesagt wird, dass ja die einzige NST für die Ableitung =2 ist (verstehe ich) und f'(x)> 0 für [mm] (-unendlich,0)\cup [/mm] (1,2) und f'(x)<0 für [mm] (0,1)\cup(2, [/mm] unendlich). (verstehe ich nicht)
Ich verstehe diese Schreibweise nicht, zumal hinterher dann nochmal in diesen Intervallen unterschieden wird. f wurde doch ursprünglich definiert für x<1.
Wieso ist die Ableitung einmal < und einmal > 0?
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Hallo, jetzt gibt der Term von oben auch einen Sinn
[mm] f(x)=\bruch{|x-1|}{x^{2}}
[/mm]
jetzt kommt eine Fallunterscheidung:
1. Fall: x<1, somit ist x-1<0, wir können schreiben -(x-1)=-x+1
die Ableitung für diesen Fall hast du ja vorhin schon zusammenhangslos genannt
[mm] f'(x)=\bruch{x-2}{x^{3}}
[/mm]
schauen wir uns nun den Definitionsbereich an
wir haben die 1. Einschränkung x<1 (steht ja oben)
wir haben die 2. Einschränkung [mm] x\not=0 [/mm] (Division durch Null ist nicht definiert)
jetzt zeichne dir mal eine Zahlengerade, zeichne um die 0 und um die 1 einen kleinen Kreis, gehören ja nicht dazu, jetzt zeichne rot ein von [mm] -\infty [/mm] bis auschließlich 0 und von auschließlich 0 bis auschließlich 1, jetzt solltest du zwei rot gezeichnete Intervalle haben, die 0 und 1 gehören ja NICHT zu den Intervallen [mm] ]-\infty,0[\vee]0,1[, [/mm] das sind deine offenen Intervalle,
jetzt zur Ableitung
[mm] f'(x)=\bruch{x-2}{x^{3}}>0
[/mm]
ein Bruch wird dann positiv, wenn Zähler und Nenner positiv sind
ein Bruch wird dann positiv, wenn Zähler und Nenner negativ sind
[mm] f'(x)=\bruch{x-2}{x^{3}}<0
[/mm]
ein Bruch wird dann negativ, wenn Zähler positiv und Nenner negativ
ein Bruch wird dann negativ, wenn Zähler negativ und Nenner positiv
jetzt überlege dir mal, wann das passiert, behalte aber immer im Auge x<1 (steht ja oben)
benutze wieder eine Zahlengerade,
Steffi
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Also ich habe das mit dem Intervall schonmal verstanden. Danke! :o)
Aber warum wird überhaupt geschaut, wann f' größer oder kleiner 0 wird? Nachher wird nämlich geschlussfolgert, dass sich darauf die Monotonie ableiten lässt, aber ich habe bisher die Monotonie immer durch einsetzen von [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] bestimmt und diese Werte eben in f(x) eingesetzt und wieder verglichen.
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Hallo, über die 1. Ableitung bekommst du ja die Stellen, an denen Extremwerte vorliegen, f'(x)=0, ist die 1. Ableitung negativ, so fällt die Funktion, ist die 1. Ableitung positiv, so steigt die Funktion, nehme mal die einfache Funktion
[mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
f'(x)=2x
für x<0 ist f'(x) negativ, f(x) fällt
für x>0 ist f'(x) positiv, f(x) steigt
Steffi
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Guten Morgen!
Ja, das macht SInn, du hast Recht. Aber was gibt mir dann die 2. Ableitung > oder < 0 an im Gegensatz zur ersten Ableitung?
Ist es dann hierbei meistens so, dass ich die Intervalle, in denen die Funktion steigt davon abhängig mache, wo sie für das Stück vorher definiert war oder wofür sie definiert ist, wenn ich die Ableitung habe und ich schaue, wann sie nicht 0 wird?
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Hallo,
du hast ja die notwendige Bedingung [mm] f'(x_0)=0, [/mm] so liegt eine Extremstelle vor, gilt zugleich die hinreichende Bedingung [mm] f''(x_0)<0, [/mm] so ist es ein Maximum, bzw. [mm] f''(x_0)>0, [/mm] so ist es ein Minimum, natürlich muß [mm] x_0 [/mm] in einem Intervall liegen, auf dem die Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist, ist [mm] f''(x_0)=0, [/mm] so hast du die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt, ![[]](/images/popup.gif) hier kannst du alles schön nachlesen, Steffi
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Noch eine Frage zum allgemeinen Vorgehen bei Definitionsbereichen und der Frage, wo die Funktion konvex und konkav ist, also wann eben die genannte 2. Ableitung größer oder kleiner 0 ist.
Gehe ich hin und gucke, für welche Werte wird die Ableitung kleiner oder größer 0 oder kann es sein, dass ich erstmal schauen muss, ob die Ableitung überhaupt negativ oder überhaupt positiv werden kann? Ich bin noch nicht ganz firm mit dem Verfahren hier.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Do 15.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die Ableitung überall 0 ist hast du ne konstante fkt. also muss sie ja irgendwo ungleich 0 sein.
Nur wenn die Ableitung irgendwo null wird, kann sie das Vorzeichen wechseln. Statt also einfach rumzusuchen, wo sie pos oder neg ist sucht man erst die Nullstellen, dann welches Vorzeichen sie links und rechts davon hat.
"ob die Ableitung überhaupt negativ oder überhaupt positiv werden kann?" ist ne komische Frage!
Gruss leduart
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